1 1 の整数部分を a1 (x)，小 x 数部分を b1 (x) とする．もし，b1 (x) Ë 0 ならば，b1 (x) の逆数の整数部分 x は 0 < x < 1 を満たす実数とする．x の逆数 3 関数 f(x) を次の式で定義する．ただし，a は正の定数とする． f(x) = ¡3 + を a2 (x)，小数部分を b2 (x) とする．以下同様に，bn (x) Ë 0 ならば，bn (x) の逆数の整数部分を an+1 (x)，小数部分を bn+1 (x) (n = 2; 3; Ý) とする． Z x 0 (t ¡ a)et dt このとき，次の問に答えよ． ただし，実数の整数部分とはその実数を超えない最大の整数，小数部分とは その実数から整数部分を引いた数である．このとき，次の問に答えよ． p 3¡ 5 に対して，an (x) (n = 1; 2; 3; Ý) を求めよ． (1) x = 2 q (2) p; q (p > q) を 1 以外に公約数をもたない自然数とする．x = に対し p r と表す．もし ，r Ë 0 ならば，q と r も 1 以外に公約数を て，b1 (x) = q もたないことを示せ． (1) f(2) 5 0 かつ f(3) = 0 となるように，a の値の範囲を定めよ． (2) a = 2 のとき，関数 y = f(x) の増減，極値，曲線の凹凸および変曲点を 調べて，そのグラフをかけ． （ 大阪教育大学 2008 ） (3) x が有理数ならば，ある n に対して bn (x) = 0 となることを示せ． （ 大阪教育大学 2008 ） 2 平面上の放物線 C : y = x2 について，次の問に答えよ． (1) C 上の異なる 2 点における接線が直交するとき，その交点の y 座標を求めよ． (2) 点 P(p; q) から C へ 2 本の接線が引けるとき，p; q が満たすべき条件を 求めよ． (3) 点 P(p; q) が (2) の条件を満たすとき，点 P から C へ引いた 2 本の接線の 4 ¡! 平面上の異なる 2 点 A，B をとり，jABj = l とする．c を正の定数とし ， ¡! ¡ ! ¡! ¡! PA ¢ PB = c をみたす点 P を考える．AQ = 2AP をみたす点を Q とし，線 ¡! ¡! 分 BQ 上に点 R を AP ¢ PR = 0 となるようにとる． ¡! ¡! ¡ ! (1) A，B の中点を M とする．jPMj2 を jPAj2 ，jPBj2 ，c を用いて表せ． ¡! ¡ ! (2) l2 を jPAj2 ，jPBj2 ，c を用いて表せ． ¡! (3) jPMj を l と c を用いて表せ． ¡! ¡! ¡! (4) jARj + jBRj = 2jPMj を示せ． (5) 点 P と点 R の軌跡はそれぞれどのような図形を描くか，図示せよ． 傾きの積を q で表せ． （ 大阪教育大学 2007 ） （ 大阪教育大学 2008 ） 5 放物線 y = x2 + bx + 1 について，次の問に答えよ． ひとつのさいころを繰り返し投げ，k 回目に出た目を ak とする．また，n 回 8 目までのそれらの積 a1 a2 Ýan を bn とおく．このとき次の問に答えよ． (1) 原点 O から放物線に引いた二つの接線の方程式を求めよ． (1) bn が奇数となる確率を n を用いて表せ． (2) (1) で求めた二つの接線とこの放物線との接点を P; Q とするとき，二点 P; Q を通る直線の方程式を求めよ． (2) bn の一の位が 5 となる確率を n を用いて表せ． (3) bn の一の位が 1 または 9 となる確率を pn とおき，bn の一の位が 3 または (3) 線分 PQ と放物線で囲まれる部分の面積を S1 とし，線分 OP と線分 OQ と 7 となる確率を qn とおく． 放物線で囲まれる部分の面積を S2 とする．このとき，S1 と S2 の比を求めよ． ‘ pn+1 ; qn+1 をそれぞれ pn ; qn を用いて表せ． （ 大阪教育大学 2006 ） ’ pn ; qn をそれぞれ n を用いて表せ． （ 大阪教育大学 2007 ） 6 関数 f(x) を次のようにおく． f(x) = e2x + ex + e¡x ¡ 3 ¡ 6ex ¡ 6e¡x + 12 e¡2x 9 (1) t = ex + e¡x ¡ 3 とする．f(x) を t の式で表せ． (2) x は実数全体を動くとする．f(x) の最大値と最小値を求めよ． (3) 実数 a に対して f(x) = a をみたす実数 x の個数を求めよ． （ 大阪教育大学 2007 ） k; l; m を相異なる自然数とするとき，次の問に答えよ． (1) 等差数列 fan g の第 k 項，第 l 項，第 m 項をそれぞれ p; q; r とするとき， k(q ¡ r) + l(r ¡ p) + m(p ¡ q) = 0 が成り立つことを示せ． (2) 逆に，実数 p; q; r に対して，k(q ¡ r) + l(r ¡ p) + m(p ¡ q) = 0 が 成り立つならば，第 k 項が p，第 l 項が q，第 m 項が r となる等差数列が存 在することを示せ． 7 実数 x; y は，4x2 (y ¡ 1) = x2 y2 ¡ xy + 3 を満たしながら動くとする．こ のとき，次の問に答えよ． (1) xy = p とおくとき，y を用いずに x と p の関係を表す等式を求めよ． (2) xy を最小にするときの x と y の値を求めよ． （ 大阪教育大学 2006 ） （ 大阪教育大学 2006 ） 10 二つの自然数が互いに素であるとは，二つの自然数の最大公約数が 1 である ことをいう．三つの自然数が互いに素であるとは，三つの自然数からどの二 つの自然数を選んでも，その選んだ二つの自然数が互いに素になることをい う．このとき，次の問に答えよ． (1) 任意の自然数 k に対して，連続する二つの自然数 k と k + 1 は互いに素で あることを示せ． (2) n を 3 以上の奇数とする．n 2 は奇数であるから，ある自然数 k があって， n 2 = 2k + 1 と表せる．このとき，三つの自然数 n; k; k + 1 は互いに素で あることを示せ． (3) 三つの互いに素な自然数を三辺の長さとする直角三角形は無数にあること を示せ． （ 大阪教育大学 2006 ）
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