(1) a+b (2) - SUUGAKU.JP

1
3
a; b; c を自然数とするとき，次の不等式を示せ．
(1) 2a+b = 2a + 2b
(1) 次の不等式を示せ．
(2) 2a+b+c = 2a + 2b + 2c + 2
(3)
2a+b+c
=
2a+b
n は自然数とする．次の問に答えよ．
+
2b+c
+
2c+a
n
P
¡4
k=1
（大阪教育大学 2012 ）
1
<2
k2
(2) x > 0 のとき，次の不等式を示せ．
x¡
x3
< sin x < x
6
(3) 次の極限を求めよ．
2
m を 9 以下の自然数とする．箱の中に m 枚のカードが入っており，それぞ
lim
れのカードに 1; 2; Ý; m の数字がひとつずつ書かれている．ただし，異
n!1
なるカードには異なる数字が書かれているものとする．この箱からカードを
n
1 P
1
$
<
k sin
n k=1
k
（大阪教育大学 2012 ）
1 枚引き，そのカードに書かれた数字を記録してから元に戻す．この操作を
2 回繰り返す．1 回目に引いたカードに書かれた数字を a，2 回目に引いた
カードに書かれた数字を b とし，また，a を十の位，b を一の位とする，2 桁
の数を n とする．次の問に答えよ．
4
平行四辺形 OABC は OA = BC = 1; OC = AB = r; ÎAOC = µ を満た
す．ただし，r > 0 かつ 0 < µ < ¼ とする．このとき，次の問に答えよ．
(1) a + b が 3 で割り切れる確率と n が 3 で割り切れる確率は等しいことを示せ．
1
(2) a + 2b を 3 で割った余りと n を 3 で割った余りが等しくなる確率が
と
3
なる m をすべて求めよ．
（大阪教育大学 2012 ）
(1) OB2 + AC2 は µ の値によらず一定であることを示し，その値を r を用いて
表せ．
(2) µ が 0 < µ < ¼ の範囲を動くとき，OB + AC の最大値とそのときの µ の値
を求めよ．
（大阪教育大学 2011 ）
5
27 2 n¡1
# ;
で与えられる数列 fan g の，初項から第 n 項ま
10 3
での和を bn と表すとき，次の問に答えよ．
一般項が an =
(1) 数列 fbn g の一般項を求めよ．
y2
x2
+
(2) 楕円
2
2 = 1 の面積を Sn で表すとき．Sn が
43
81
#
#
¡ bn ;
+ bn ;
2
10
最大になる自然数 n と，そのときの Sn の値を求めよ．
（大阪教育大学 2011 ）
6
次のようなゲームを考える．成功の確率が p (0 < p < 1)，失敗の確率が
q (= 1 ¡ p) であるような試行を A と B の 2 人が行い，先に成功した方を
7
¡!
平面上に，点 O，A を jOAj = 1 であるようにとる．O を中心に A を反時計
¼
¼
回りに，
回転させた位置にある点を B，
回転させた位置にある点を
6
2
¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡!
C とする． a = OA; b = OB; c = OC と表す．次の問に答えよ．
¡
! ¡
! ¡
!
(1) b を a ; c を用いて表せ．
(2) 4OAB の面積と 4OBC の面積をそれぞれ求めよ．
(3) 直線 AC と直線 OB との交点を D とする．また，B を通って直線 AC に平
¡
!
¡! ¡
!
¡!
行な直線と，直線 OA との交点を E とする． d = OD; e = OE と表す．
¡
!
¡
!
このとき，j d j と j e j をそれぞれ求めよ．
(4) 次の式を満たす点 P の存在する領域の面積を求めよ．
¡!
¡
!
¡
!
OP = s e + t c ;
(0 5 s; 0 5 t; 1 5 s + t 5 2)
勝ちとする．なお，A が勝つ確率が B が勝つ確率より大きいとき，ゲームは
A に有利であるといい，A が勝つ確率と B が勝つ確率が等しいとき，ゲーム
は公平であるという．このとき，次の問に答えよ．
(1) A から始めて，以後交互に試行を行う．すなわち，ABABABÝ という順で
試行を行う．このとき，p の値にかかわらずゲームは A に有利であることを
示せ．
(2) A から始めるが，A が 1 回に対して，B は 2 回試行を行えるとする．すな
わち，ABBABBÝ という順で試行を行う．p がどのような値のとき，ゲー
ムは公平になるか．
(3) (2) において，ゲームが公平であるとき，q についての等式 q = q2 + q4 +
q6 + Ý が成り立つことを示せ．
（大阪教育大学 2011 ）
（大阪教育大学 2010 ）
8
9
自然数 n に対して，
In =
Z
¼
2
0
点 P は数直線上の原点から出発して，
「確率 p で +1，確率 1 ¡ p で +2 」の
移動を繰り返す．ただし 0 5 p 5 1 とする．このような移動を繰り返して自
n
sin x dx
然数 n の点に到達する確率を pn と表す．次の問に答えよ．
(1) p1 ; p2 ; p3 を p を用いて表せ．
とおく．次の問に答えよ．
(2) pn ; pn+1 ; pn+2 の間の関係式を求めよ．
(1) 定積分 I1 ; I2 ; I3 を求めよ．
(3) an = pn+1 ¡ pn (n = 1) とおくとき，数列 fan g が満たす漸化式を求めよ．
(2) 次の不等式を証明せよ．
(4) p と n を用いて，一般項 pn を表せ．
(5) 数列 fpn g の極限を調べよ．
In = In+1
（大阪教育大学 2010 ）
(3) 次の漸化式が成り立つことを証明せよ．
In+2 =
n+1
I
n+2 n
(4) 次の極限値を求めよ．
lim
n!1
I2n+1
I2n
（大阪教育大学 2010 ）

Download Report