1 3 a; b; c を自然数とするとき,次の不等式を示せ. (1) 2a+b = 2a + 2b (1) 次の不等式を示せ. (2) 2a+b+c = 2a + 2b + 2c + 2 (3) 2a+b+c = 2a+b n は自然数とする.次の問に答えよ. + 2b+c + 2c+a n P ¡4 k=1 ( 大阪教育大学 2012 ) 1 <2 k2 (2) x > 0 のとき,次の不等式を示せ. x¡ x3 < sin x < x 6 (3) 次の極限を求めよ. 2 m を 9 以下の自然数とする.箱の中に m 枚のカードが入っており,それぞ lim れのカード に 1; 2; Ý; m の数字がひとつずつ書かれている.ただし ,異 n!1 なるカードには異なる数字が書かれているものとする.この箱からカードを n 1 P 1 $ < k sin n k=1 k ( 大阪教育大学 2012 ) 1 枚引き,そのカードに書かれた数字を記録してから元に戻す.この操作を 2 回繰り返す.1 回目に引いたカード に書かれた数字を a,2 回目に引いた カードに書かれた数字を b とし,また,a を十の位,b を一の位とする,2 桁 の数を n とする.次の問に答えよ. 4 平行四辺形 OABC は OA = BC = 1; OC = AB = r; ÎAOC = µ を満た す.ただし,r > 0 かつ 0 < µ < ¼ とする.このとき,次の問に答えよ. (1) a + b が 3 で割り切れる確率と n が 3 で割り切れる確率は等しいことを示せ. 1 (2) a + 2b を 3 で割った余りと n を 3 で割った余りが等しくなる確率が と 3 なる m をすべて求めよ. ( 大阪教育大学 2012 ) (1) OB2 + AC2 は µ の値によらず一定であることを示し,その値を r を用いて 表せ. (2) µ が 0 < µ < ¼ の範囲を動くとき,OB + AC の最大値とそのときの µ の値 を求めよ. ( 大阪教育大学 2011 ) 5 27 2 n¡1 # ; で与えられる数列 fan g の,初項から第 n 項ま 10 3 での和を bn と表すとき,次の問に答えよ. 一般項が an = (1) 数列 fbn g の一般項を求めよ. y2 x2 + (2) 楕円 2 2 = 1 の面積を Sn で表すとき.Sn が 43 81 # # ¡ bn ; + bn ; 2 10 最大になる自然数 n と,そのときの Sn の値を求めよ. ( 大阪教育大学 2011 ) 6 次のようなゲームを考える.成功の確率が p (0 < p < 1),失敗の確率が q (= 1 ¡ p) であるような試行を A と B の 2 人が行い,先に成功した方を 7 ¡! 平面上に,点 O,A を jOAj = 1 であるようにとる.O を中心に A を反時計 ¼ ¼ 回りに, 回転させた位置にある点を B, 回転させた位置にある点を 6 2 ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! C とする. a = OA; b = OB; c = OC と表す.次の問に答えよ. ¡ ! ¡ ! ¡ ! (1) b を a ; c を用いて表せ. (2) 4OAB の面積と 4OBC の面積をそれぞれ求めよ. (3) 直線 AC と直線 OB との交点を D とする.また,B を通って直線 AC に平 ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! 行な直線と,直線 OA との交点を E とする. d = OD; e = OE と表す. ¡ ! ¡ ! このとき,j d j と j e j をそれぞれ求めよ. (4) 次の式を満たす点 P の存在する領域の面積を求めよ. ¡! ¡ ! ¡ ! OP = s e + t c ; (0 5 s; 0 5 t; 1 5 s + t 5 2) 勝ちとする.なお,A が勝つ確率が B が勝つ確率より大きいとき,ゲームは A に有利であるといい,A が勝つ確率と B が勝つ確率が等しいとき,ゲーム は公平であるという.このとき,次の問に答えよ. (1) A から始めて,以後交互に試行を行う.すなわち,ABABABÝ という順で 試行を行う.このとき,p の値にかかわらずゲームは A に有利であることを 示せ. (2) A から始めるが,A が 1 回に対して,B は 2 回試行を行えるとする.すな わち,ABBABBÝ という順で試行を行う.p がどのような値のとき,ゲー ムは公平になるか. (3) (2) において,ゲームが公平であるとき,q についての等式 q = q2 + q4 + q6 + Ý が成り立つことを示せ. ( 大阪教育大学 2011 ) ( 大阪教育大学 2010 ) 8 9 自然数 n に対して, In = Z ¼ 2 0 点 P は数直線上の原点から出発して, 「 確率 p で +1,確率 1 ¡ p で +2 」の 移動を繰り返す.ただし 0 5 p 5 1 とする.このような移動を繰り返して自 n sin x dx 然数 n の点に到達する確率を pn と表す.次の問に答えよ. (1) p1 ; p2 ; p3 を p を用いて表せ. とおく.次の問に答えよ. (2) pn ; pn+1 ; pn+2 の間の関係式を求めよ. (1) 定積分 I1 ; I2 ; I3 を求めよ. (3) an = pn+1 ¡ pn (n = 1) とおくとき,数列 fan g が満たす漸化式を求めよ. (2) 次の不等式を証明せよ. (4) p と n を用いて,一般項 pn を表せ. (5) 数列 fpn g の極限を調べよ. In = In+1 ( 大阪教育大学 2010 ) (3) 次の漸化式が成り立つことを証明せよ. In+2 = n+1 I n+2 n (4) 次の極限値を求めよ. lim n!1 I2n+1 I2n ( 大阪教育大学 2010 )
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