［重回帰の決定係数 R 2 ］ 2015年度 秋学期 金曜4限 決定係数 ＝ 回帰によって説明できる変動÷ Yの全変動 ∑ ∑ 応用計量経済分析 B 第6回 SY1： X1とYの共分散のn倍 2015.10.30 SY2： X2とYの共分散のn倍 担 当： 石 川 達 哉 （[email protected]） SYY： Yの分散のn倍 教育用ホームページはhttp://www1.meijigakuin.ac.jp/~ishikawa 明治学院大学 2015年度 秋学期 ［自由度調整（修正）済決定係数 44 ［偏相関係数］ ］ 指定教科書の自由度調整済決定係数 X1を一定としたときのＹとX2の偏相関係数： RY2・1 ＝ ：サンプル数、 ：定数項以外の説明変数の数 説明変数増加による見かけ上の当てはまりの良さを修正 ∞≦ X2を一定としたときのＹとX1の偏相関係数： RY1・2 ≦１ （注）他の教科書では、 を定数項含む説明変数の数として、 以下の式を採用することが多い 自由度調整済決定係数 ＝ 1 明治学院大学 2015年度 秋学期 ただし、 RY1 ： YとX1の単純相関係数 RY2 ： YとX2の単純相関係数 1 R12 ： X1とX2の単純相関係数 45 明治学院大学 2015年度 秋学期 46 ［正規分布とｔ分布］ ［回帰係数のｔ検定(1)］ 中心極限定理：分布がどのようなものであって も、特定の平均値と分散を持つ母集団からとられ た標本の分布は、標本数が大きくなるにつれて正 規分布に近づく ⇒ 回帰係数がゼロではないことを統計学的に検証。回帰係数は ゼロとする帰無仮説を棄却できれば、本来主張したい対立仮説を 支持できる。その棄却域の確率を有意水準として、有意水準に応 じた判定を行う 母集団が正規分布する場合の大標本 ⇒ 標本分散に基づく平均値の検定は正規分布に 拠って行うことができる 母集団が正規分布する場合の小標本 ⇒ 標本分散に基づく平均値の検定は t分布に 拠って行うことができる。平均μ、分散σ2の正規 分布に従う母集団から得たn個の標本に関して、 次式で与えられるTは自由度 (n-1) のt分布に従う T＝ t 検定：t分布に拠る回帰係数の有意性検定 導出過程から明らかなように、推定係数は確率変数を定義式 に含むため、確率変数である（確率変数ではない説明変数も定 義式に含む） 推定モデルにおける誤差項は正規分布（平均ゼロ、一定の分 散を持つ）に従う確率変数 n （ X－ ） ˆ σ t分布：分布の形状は自由度のみに依存。自由 度が大きくなるにつれて、正規分布に近づく 分子が正規分布する変数、分母がカイ二乗（ ） 分布する変数を自由度で除した値の平方根によっ て与えられる変数はt分布に従う 横軸上の数値は中央（例：シャドー部分の内側） に95%の確率を含む区間 54 明治学院大学 2015年度 秋学期 明治学院大学 2015年度 秋学期 ［回帰係数の ｔ 検定（2）］ ［単純回帰における回帰係数の ｔ値］ 回帰係数はゼロだとする仮説（帰無仮説）を棄却することによって、 回帰係数が有意である（ゼロではない）と判定 帰無仮説 H0：β＝0 対立仮説 H1：β≠0 tβˆ 55 ［両側検定］ t 値＝回帰係数の推定値÷回帰係数の標準誤差 回帰方程式の標準誤差＝残差分散の正の平方根 残差分散＝残差平方和÷（サンプル数－説明変数の数－１） t ˆ ＝ ˆ β ＝ ˆ βˆ σ 棄却域 ˆ 0) (β s ˆ ˆX) ˆ ＋β ・残差： û i ＝Yi Ŷi Yi (α i uˆi n2 X2 s 2 X 2 2 2 1 ＝ ・̂ の分散： sˆ ＝s ＋ 2 2 2 n ( X X ) nX (X ) 2 2 ・残差分散： s ＝ 回帰係数とその標準誤差に基づいて 算出される統計量の絶対値が t 以上 の値であれば、回帰係数がゼロであ ることは稀（確率p以下）にしか起こら ないので、帰無仮説は棄却される p （シャドー部分の面積＝確率）： ・ t 以上の値をとるか、－t 以下の値をとる確率 ・ t は、有意水準と自由度に応じた固有の値 ⇒ t 分布表 ex. 有意水準5%、自由度20ならば、t は2.086 明治学院大学 2015年度 秋学期 2 ・ ̂ の分散： s ˆ ＝ 56 s2 s 2n ＝ 2 2 ( X X ) nX (X ) 2 明治学院大学 2015年度 秋学期 58
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