第 4章
エ ネル ギ ー方程式
流体 の温度が 一様 で ない場 合 ,温 度 は従属変数 とな り位 置 (r,υ ,2)と 時 間 ιの 関数 として
表 わせ る 連続 の 人 と運動 方程式か し流体 の速度分布 を知 るこ とがで き,こ こで 述べ るエ ネル
キ ー方程式 を解 くことで ,流 体 の 温度分布 を知lる こ とがで きる エ ネルギ ー方程式 は ,エ ネル
ギ ー保存員Jの 数学的 表現 であ り,流 体 の微小な要素 (以 降,こ こでは検杏体積 と系 とい う用語 を
適11使 い分け る)に 加え られ た熱 と仕事が 系の エ ネルギ ー蓄積 量に等 しい とい う,熱 力学第 1
法則 (Arst lal.Or therinO(lynani6)に はか な らな い エ ネルギ ー保存 !円 を 考え るにあた り
慮 せねば な らない もの としては ,以 下 の よ うな ものがあ る
`
1 内部 エ ネル ギ ー (internal energy):F
2運 動 エ ネル ギー (kine● c energy):κ
3位 置エ ネルギ ーあ るいは ,重 力 に よる仕事
4黎 云導 eat COnductiOn)に よる熱 移rlj
5化“学反応お よび電流 (電 熱器 を挿 人 した場 合など)に よって生 じる熱
6法 線 方に よる仕 (圧 カー体積仕 事
7せ ん Prr力 に よるイト17(流 体 の粘性 に よって 散逸 され る熱
(1〕
l・
)
)
ここでは対流 に よつて ,エ ネルギ ー を流体 自身が持 ちi△ み ,ま た持 ち去ることもあ慮 して,熱
力学第 1法 員11)に したが って ,‐ ネルギ ー (1,2,3),熱 (4,5)そ してイ
「 事 (6,7)に つ いて,以 下
の保 存則で考 え る
:
系の エ ネルギ ーの 増 lJu
こ
よ
つ
て+系 帰る
=は 第
な
熱
+剰 こ
さ
れ
碑
1'lftttl旧
ぅ
(41)
(1)の 系の内部エ ネルギ ーは,系 が 有する固有のエ ネルギーである これは,系 が (巨 視的に
見て)静 上 してい るときに,流 体を構成する分子の運動エ ネルギーなどに l.づ くものとして定
義 される -11に 内部エ ネルギ ーの値 をfHl定 することはできないが ,熱 力学 1/Jに は,系 の状態
変化にともなう内部エ ネルギ ー変化量が意味を持 つ
(2)の 運動 エ ネルギ ーは ,系 が 巨視的に 見て運動 しているときに定 ltさ れるものである 巨
祝的な意味 での運動 とい うのは,あ るまとまつたサの流体を考えたとき,こ の 平均 1に として定
1) t<oJbhz,'c,>a] ii:, A$l:?jr'.c6,
l{ t ft+i:
td
r_
-(
d, i htlt'r"r#ct E| L z.
31
第 4章
エ ネルギ ー方程式
k標
義 され る速度 に基づ くとい う意味 であ る なお この エ ネルギ ーは ,(系 に対 して外部的な)l■
を定義す るこ とに よつて は じめて 定義 され る ものであ り (第 81節 を参 l12),外 部 エ ネル ギ ー
エ ル ーと
ル ー
(CXtCrnal cilcrgy)と よばれ ,個 々の分 了の持つ 運ellェ ネ ギ に対 して外部運動 ネ ギ
い う場合 もあ る すなわ ち,巨 視 的 に て 系が静 正してお り.(外 部 )運 jllエ ネルギ ーはゼ ロで
る分 rが 運動 してお り,系 は内部エ ネルギ ーを有 して い
あ って も,系 の 内き出こは流体 を構成す 'こ
るとい うことに な る
の
(3)の 位 置エ ネルギ ーは 第 32節 で述べ た通 り垂力を用いて定義 され ,系 に対 して 重力 す
る仕 事が位置エ ネルギ ーの変化 量となる したが つて ,こ の 影響 は位置エ ネルギ ー もし くは重
llに
力に よる仕事 のいずれか の 形で 考慮すれば よい 以 降 にお いて ,4r・ 「 1定 され た検査 体積に
い
ので
,IT」 常 これ に関す る位置
閃す るエ ネルキ ー保 存員1を 考 え るが ,検 査体社 は 固定 されて る
エ ネルギ ーの 時間変化景 はゼ ロ とな る 検全体積が 閉鎖系で あれば この ままで よいが ,こ こで
れ 系)で あ り,流 れ に ともな う位置 エ ネルギ ー変化量 (重 力 に よる仕
てい る系 は ,H放 系 (浙 し
tを ,力 に よる仕事 として 孝慮 す る なお,位 置エ ネ
い
ここでは ,こ オ
せねば
らな
`え
な
事
考慮
)も
ルギ ーは 系 に対 す る基準 面を設定 しては じめ て定義 され るものであ り,こ れ も外部 エ ネルギ ー
であ る
4.1
系 の エ ネ ル ギ ー の増 加 (蓄 積 量 )
Ⅸ (41)に あ るよ うな △ι,△ ク,△ 2か らな る検 杢体積 を考 え ,こ れ に 期す るエ ネルギ ー収
支を孝え る い ま,あ るII亥 1`で の検査体積のエ ネルギ ー を σ ィとし,エ ネルギ ーの流 出入に
にエ ネルギ ーが CI`+△
な った とす る この とき,単 位時 間あ た りに
よって微 小時 間 △
`に
`後
検合体積 に蓄積 され るエ ネルギ ー 偽 d)2)は ,内 部エ ネルギ ー と運動 エ ネルギ ーの 2つ をあわ
せた もので
,
蓄積量
=△
生上壁 二≦上
`=≦
+1畳 2堕
={翁
量 F士
二上
r△ ν△ Z
}△
2)
“
エネルギーと地動エ ネルギーであり
ここに,Ё と オ はそれぞれ串在責童あえうの内‖∫
3)
2+υ
2+じ
2)で
2=(1/2)(■
ぁる
■ =(1/2)l‐
重力場を考えてい るので,第 32節 で述べたようなボテ ンシャル Ψ (単 位質■あた りの位置
いが ,ボ テンシャル
エ ネルギー)が 存在 し,こ れによるエ ネルギ ー蓄積量 も考慮せねばな
',な
は11置 のみのi剣 数で11‖ 1に 依イ
「 しないので ,∂ Ψ/υ ι=0と なる ただし,南 il■ の,Tlり ,流 れ 系
では流れにともな うエ ネルギ ー変化 も考慮せねばならず,ポ テンシャルの実質微分はゼ ロとは
,
な らない
2)
7(選 勁
l箔 ?言 lr奄 絆[1‖ 隊
3)
/t杓 ,1エ ネルギ
流束 Li質 ■流 東● テ (■
ρ
雪獅
]′ ル
L「 盛Fを ぁ
[`務 洋
″
[嘉 イ
ト
1ス ↑
極れ楷萱
騎離僣
♯
:σ
ない
“
'
42
(ρ ,飢
,9t,ユ
(ρ
K)L
系が得るエ ネルギ ー
,2,%,E,κ
)レ
+△.
応力 γは正 の値 の時 の向 き
E軸 方向 に関 してのみ示 してあ る
図 41:検 査体積に関するエネルギー収支
4.2
系が 得 るエ ネル ギ ー
流体自身が流れとともに持ち込むエネルギーと,流 れとともに持ち去るエネルギーの差,す な
わち,系 が得るエネルギーを求める このとき,α =■ ,ν =ν ,2=Z面 から単位蒔商あたうに
検沓体積へ流入するエネルギー oLnは ,内 部エネルギーと運動エネルギーについて (位 置エ
ネルギ ーは 重力に よる仕事 として 考慮す る).
△
z
。in={し ρ
めに+儘 ρ
わ卜
}△ υ
+{Oρ
めv+0″
)″
}△
2△ T
■ )△ r△ υ
+{Oρ 助
12+鰤 ρ
0
)￨″
“
同様に ■=τ +△r,y=ν +△ y,2-2+△ 2面 から単位時間あた りに検査体積か ら流出す
6
r i. )r,{-
Qrou!
ll,
Qr""" = {1"16)1.+o, + @ok\pr5"} ayl".
+ {@ot) o+4 +
+
L/:h:c\,
{t
@ot?;
,*or} a,a'
o'\]"*o" + @pk)|.+^.} L,a!.
U*tmt:
*geffiaL tt t:^ttl?Aaa-tuI
-|l,
第 4章
エ ネルギー方程式
△01=01in-91て
",t
― {堕 聾 tF堕
墾 世塑
≒
拳
望 咀 十堕 塾
tデ 璽 墾
+… +… +…
}A2A1/M
(45)
4.3
系 が 得 る熱
系が得る熱 としては,熱 伝導によるものと,そ の他の要体によるものとに分けて考える
いま,熱 伝準 (第 62節 を参‖
0)に よつて ,=z,υ =υ ,Z=Z面 から単位時間あたりに検
茶体積に流入する熱 92hlは
,
Q2i": qtlr\a\z
+
qlll\z\r
+ s.
6)
"ArLu
“
熱伝導 に よつて 単位時間あ た りに ■=z+△
熱 12。 ntは
E,y=ν +△ υ,z=z+△ z画 か ら流 出す る
,
* qelrlal\z\r
Q2""t = qr .*a,AgAz
+ q.
o7)
.+t.AaAy
,=(%,9v,“ 2)は それぞオtの 軸方向についての単位時間 41位 面積あた りの熱の移動量 (熱
流東 (hctt nux))で ベ クトルである
伝導以外 の要因によるものとして,9′ を定義 し,こ れを化学反応などによる単位時間 中
位体積あた りの発熱景であるとする
以 Lよ り単位時間あた りに系が得 る熱は
al・
,
△02
=
△ν
△Z
●2h-02ぃ ■+9′ △■
=
―
J主 菫
(・
・
it二
z
+9′ △T△ ν△
4.4
」二 十
鰊
+甲
)△
Z△ ν△2
(48)
系 に な され る仕 事
[事 としては,応 力 (法 線応力とせん的i応 力)と 外力 (電 力)に よるもの
検杏体横になされるイ
が考えられる 応力は単位面積あたりに働 く力であるので,こ れに単位時間あたりの変位 (速
度)を 乗じることによつて,単 位時間 単位面積あたりに検査体積が受ける仕事を求めることが
11
系にな され る仕事
で きる 同様 に■ 力に関 しては ,■ 力加速度 を単位 質量あ た りの検全体積に働 く力であ ると考
える と,こ れに単位時 間あた りの変位 (速 度)を 乗 じる ことに よって,単 位時 間 単位 質 十あた
りの検 全体積 にな され る仕事 を求め ることがで きる 具体的には以 下の ように求め られ る
4_4_■
応 力 に よ る仕 事
応力 は 単位 山i積 あた りの 力で ,面 積力 (surface Force)で あ る 山i積 力 とい うのは山iを 通 して
作用 し,そ の 大きさが 面積 に比例す る力 をい う 応力 に よる仕事 を考 える場 合,第 61節 で 詳
し く述べ るが ,応 力 を 単位時間 単位面積あた りの運動量移動 (運 動量流東 (mOmentum nux))
と解釈 し,応 力が 作用す る山iを 通 して運動量が移動 す る と考 えた方が 理解 しやす い この よ う
に応力 を運jll量 流 束 と考 え るときは ,運 動 量が それぞれ の座 標 軸の 正の方向に移動 す るよ うな
応 力の 向 きを 巨と定 め る 本 出で は この よ うな応 力 を 7と 表 す ことにす る この ァ は 第 3章
で述べ た応 力 σ とは異な り
,
(49)
の関係にある 7の 具体的なFJA分 は,式 (341)に 負号をつけたものとなる
本書では第 3章 にある応 力 σ を流体の変形を表す ものとし,式 (49)で 定義 される応カ ァを
運動量の収支を表すために用いる 具体的に例えば ご″成分を考えると,σ は検全体積か わ外へ
向かっているとき E,そ して 7は 軸の正の方向に向いているときlEと な り,図 (41)か らは
『
σ =-7と なることは理解 しに く
い しかしながら,力 の向きを考えると,ら ¨L+△ ェーσTェ ト
が 正味の力で あ り,連 rlj量 収支を考えると,%“ ト ー rt,[.+△ ,が 流人とな り,σ =-7で あ
ることがわかる
具体的な仕事 を 7_“ を例にとって考 えてみる 図 (41)に おいて ,7=T面 で ■ 7ェ >0
であれば ,こ れは検査体積に
て運動量が流人する向きとなり,υ を単位時間あた りの変位
'1し
tば ,検 査体積は単位時
と考えオ
間 単位面積あた り (_,z)卜 だけのイ
[事 を受けることになる
■―■+△ ∫而では _,L■ △r>0は 検合体積から運動量が流出する向きとな り,検 合体積は
単位時間 単位面積あた り (■ )卜 +△ Tの 仕事を l囲 に対 してすることになる したが って
“
検査体積は単位時間 単位面積あた り正味 (■ ,7)￨ご ― (‐ ,2)￨″ 十△工の仕事を受けることにな
i,σ
る 解釈は異なる力
=-7で あることを考慮 して σ で考えることもで きる ほかの応カ
成分についても同様 に考えることがで きて,最 終的に次式を得る
tι
l.・
,
・ 単位時 FEDあ た りに検杏体機 になされる仕事 (検 杢体積に流入するエ ネルギ ー):ll n
r、
ν.g前 において 単位時間あた りに検杏体積になされ る仕事
、
"鳴
'Vr={(■
Wり
,ι
υ)卜 +(■ 20)卜 )△ υ
△z,
)L+(‐ υ
υ
={(動 ,0,+(7υ ν
)し +(■ ,T)lυ }△ 2△ ″
,
レ
ン
r)￨`+(2メ r)に }△ ′△ν
L={(■
・
・ )lz+(■ υ
.
"""1),
86
エ ネルギ ー方程式
第 4幸
%n=7,+WtJ+"'
(410)
Ъllt
。単位蒔 商あ た めに検査体積が す る仕事 (検 査体積か ら流 出す るエ ネルギ ー)￨ン シ
r+△ ■,ν +△ ν
,2+△ Z面 において単位蒔商あたうに検査体積がする仕事
△ ,'ち +△ ッ,Й ち十△2),
(ち 十
“
И4+△ =={(‐ ,・ )=十 △=+(‐ vυ )=+△ +(‐ 2T).+△ =)△ υ△Z,
“
ル
′
十(っ yυ )し 十△υ十(■ zυ )ル +△ ν}△ Z△ E,
)υ +△ υ
+△ υ={(■
υ
・し
レシЪ+△ z={(‐
・“
)L十 △ Z+(多
υυ)L十 △ Z+(空
2υ )2+△
Z)△ Z△ ν
,
N、ut=N、+△ +レ ′y+△ υ+ル シ写+△ ´
(411)
“
4.42
重 力 に よる仕 事
重力は体積力 (body fOrcc)で あ り,流 体の 単位質量あた りに働 く力である 電力が働 く場に
おいては,位 置のみの関数であるポテ ンシヤル Ψが存在し,重 力加速度は (詳 しくは第 32節
参照 ),
無
= 冨
J= 可 , 9Z= az'
' 9・
(41o
9=― ▽Ψ
これは,単 位質量あた りの流体に働 く力であるとも解釈で き,質 量が ρ△ェ△ν△〃の流体に働
く重力は (ρ △″△ν△Z),と なる したがつて,着 日している検査体積の単位時間あた りの変位
(速 度)を (鶴 ,υ ,で )と すると,重 力によりlFt体 になされる仕事は単位時間あた り
,
ws : P (ug" + I'gu +lDgz) A.fL1,L',
ws =
(i . i)pLrAuAz.
L/:At,>A,
frs =
*
(4.12)
p b'g.
(413)
tJlJ'.r6t, rio rt
+tg! +Ing")
V
A,EAyLz
aHr.(t &rl"(,
44
-
―
△
ρ
(1:+υ :¥+υ :;+tt::)△ ν
=
―′
"t =
T△
響
37
系にな され る仕 事
Z
Δ ,△ ν△ Z
ρ(′ g)△ r△ υ△Z
+げ ▽
τ
△
△
Z=ρ 響△
△ふ
= ρ
ェ
動
ν
{響
}△
v△
■
0
“
ここで,Ψ は時間に依存しないので ,∂ Ψ/∂ t=0で あることを用 いた
以上より,単 位時間あた り,単 位質量あた りの流体に対して重力によってなされる仕事は,ポ
テ ンシャ,レ (Ψ )の 減少分の実質微分に等 しいこ とがわかる
4.4.3
ま とめ
より,単 位時間あた りに検奄体積になされる仕事
以
「
△″ =Iy n― ン
′。
ut+"ち
={…
+
+…
+上
」LJ2L±
+…
+…
(△ II)は
,
+…
二生 塾」2L+…
2も ・
+…
}
×△τ△ン△z
+(ρ υ,α +ρ υ,υ
+`“ θz)△
={…
『
△υ△2
+…
+,十
十
+…
…
+…
+…
ζ型三望1■ ビ
1・2些 塾L
it二
+…
}
x△ ■△ν△z
+(″ クェ+ρ υ′υ+′ υθぇ)△ ″△υ△Z
(415)
38
エ ネルギ ー方程式
第 4章
4.5
熱 力学第 1法 則 の適用
り,(△ 3,△ υ,△ Z,△ ι
)→ 0と した極限を考えて,微 分の定
式 (42),(45),(48).(415)よ
義 を用いると
,
△
11+△ 02+△ ″
,
`=△
+
D責ρ
DЁ
ρ
Dt
15「
=(等 +等 +等 )+≒ が2+幾が2+Ψ
+Ψ
+ρ ■9=+ρ υ′y+ρ υ g`+9′
ρ甲
+7+7+Ψ
+7+Ψ
,
件0
iめ +¨
=く ▽ の
・ Ⅳ レ リ +バ
式 (414)を 用 いてポテ ン シヤル Ψ を含 んだ 形で 表す と
,
ρ甲
=く ‐ の+に
・
"わ +こ
に●
これは全 エ ネルギ ー (tOta1 0nergy)(力 十 力 +Ψ )に 関する変化の式である
式 (417)の 専出にあた り,連 iptの 式 (式 (210))を 用 いて得 られる次式を利用した
:
雫 +雫 +呼 +響
=ρ
(1:+υ ::+υ 3;+υ 3:)+i{避
+響 +7+2競
昇
}
=0
45
39
熱力学第 1法 貝1の 適用
pε
=ρ
1418)
モ汀
'
等 +雫 +7+呼
=ρ
Elκ
(419)
l】
「
式 (416)は ,運 動方程式 を用い るとさらに簡単な形 となる このために まず,以 下の 場係式
を用いる
:
ρ
)+ン フ▽
警 =ρ l(:72)_:4げ め=:ρ l(ラ フ
)(フ
・ 呵}評 は・
刊∈働+に・
愕
=ρ
(フ
ρ
(等
+υ
inЙ
l‐
D
等),
+υ
等
+υ
等
+υ
等
)=ρ
(υ 等
+υ τ
警
υ +υ 響
争・%+υυ
%+υ 傷 弊・
+υ
+υ
+υ υ
+・ ,υ
:等
%+υ
+鶴 tll%
υ
等)
2o
“
ここで ,式 (323)を 式 (420)に 代 入す る と
,
ρ
鮮 等 等 等)=υ (等・等+等
υ
芦ω
千
(響 +7+♀ 景
(等 +等 +♀覧
)+ズ "+吻 の
+υ
+υ
+υ
+υ
)十
)
+υ
,
40
第 4章
エ ネルギー方程式
ρみ
ρ
警 =`Ⅳ り十
“
したが って ,式 (421)を 式 (416)に 代 入す ると最終的に
(421)
,
ρ
鰐鍔 鍔 抑鋤
ェ
リ
=(等 +場 +等 )十 “
=:子 )
島+σ ェ
“
%十 σ
(σ
+(%T%+%ッ %+σ υ
=等 )+(σ
′
警+σ 警+σ 22警 )+″ ・
z″
`τ
ρ
手―lVの +lJ▽ め-91
(422)
ここで,応 力に 閃しては σT=σ であることから,以 ドの式を用いた (第 9革 参11):
(テ
4.6
[▽
σl)=(▽
[σ
l 1)―
(σ
T:▽ i/)=(▽
σ テ1)―
〔
(σ
)
(423)
:▽ フ
ニ ュ ー トン流体 の エ ネ ル ギ ー 方 程式
uざ ,式
式 (422)が 般的 なエ ネルギ ー方程式 であ るが ,と くに流体が ニ ユー トン流体であオ
せ
い
る
す
なわ ち
て
さらに具体
的に
出き表
を
む
は式
用
おけ
る応
σ
含
項
力
(346)を
(422)に
ロ
る
とみなせ
をゼ
場合
率
体積粘性 η
,
,
(σ
卿
%+σ ry傷
+σ T2等
=― p(%+%+段
,7傷
,等
″υ
υン
υ
)+←
)+← %+σ %+σ
+μ
{(3サ
`ッ
%+σ
″
等
)
;)
―(%+%+響
:μ
+σ
)2+2μ
+:;)2+(傷
{(3:)2+(男 )2+(各 ;)2}￨
+:誉
μΦ
)2+(%十 :;)2}
(424)
4.fi ::r-
l' 7 iitt-rior:
?.)t{-,ijitrt
4L
テンツル形式で 占くと
,
:▽ 7)=(▽
(σ
フ])―
la
(ワ
￨▽ σl)=― p(▽ フ)+μ Φ
(425)
または
,
llΦ
=(▽
Iσ
フl)―
(テ I▽
7)
σl)+p(▽
(426)
ここでと くに a:プ を,圧 力以外の1き 力 として
,
σ
i′
= p6.+″ IJ,
(427)
として表す と
,
(σ
:▽ フ)=-2(▽
7)+(a:▽ l ),
(428)
を得るので
,
2o
y),
μΦ ‐ (ケ ￨▽
“
―
とも表せ る 0は 散逸 関数 (dis● :,“ iOn func“ on)と よばれ ,μ Oは 流体 の 粘性 に よつて 散逸
され る単位 Pf問 単位体積あ た りの 熱 であ ると解釈で きる
以 Lよ り,体 積粘性 '単 η をゼ ロ とみなせ る場 合 ,ニ ユー トン流体 についてのエ ネルギ ー 方程
式は
,
ρ
+u霧
(平
+υ
等
+υ
::)
=(等 +等 +等 )2(%+%+等 )
―(%+%+%)2+2μ {(%)2+(%)2+(段
:μ
+μ
{(3サ
;)2}
十
::)2+(%+:静 )2+(%+:;)2}+9′
,
42
エ ネルギー方程式
第 4■
′
+″
ρ
″
Ⅳめ+μ Φ
誓―Fの ―
30)
“
4.7
簡便 な形
ニュー トン流体に関するエ ネルギ ー方程式が式 (430)と して表せることがわかったが ,ま だ
温度分布を￨"接 求めることがで きる形にはなっていない ここでは まず,熱 力学を用いて内.VI
エ ネルギ ー jを ,フ ー リエの熱伝導の法則 (Fouriers laⅣ of heat cOnduct10n)(第 62節 を
参I16)を 川1い て熱流束 ,を ,そ れぞれ温度 Tを 用いて表す そして特別な条件の場合,エ ネル
ギ ー方程式が さらにどのように簡略化されるかについて述べ る
,
471
内部 エ ネル ギ ー Ё を
Tで 表 す
1成 分で 単相の (問 鎖)系 に関しては,ギ プスの相律 (ph¨ e rule)か ら,そ の状態を規定す
る自由度は 2と なる した力'っ て,阜 7責 事あえ うの内部エ ネルギ ー Ё に関しては,こ れを
l・
,
Tの 関数 と考えると
例えば,阜 在費皇あ/_う の体積
,
'と
dЁ
=(:;)Td'十
(431)
(:旱 ),d・
―
6
σソ は ,体 積 一定 の 条件 において 単位 質 量あた りの流体 を l K IJす るのに必 要な熱 であ り,定
容比熱 (spcdAc heat at cOnstant Ю lume)と ヽヽう
ここで ,さ らに,熱 力学 第 1法 員1か ら,o■ /∂ ヵ Tは
,
ヽ
＾
あ＾
″
Ｔ
， ノ
ρ
一
１
Ｔ
ｒ
ヽ
／ ｆ ｌ ヽ
〓
︲︱
ヽ ｌ ｊ ノ
／′
＾
鑢一
″
ら
わ
な
す
＾
ソ
ｐ
一
´
Ｓ
〓
＾
Ｅ
ここ ,は ili責 畠あえうのエントロピー (OntrOpy)で ある さらに,マ クスウェルの関係式
￨■
(MaXWen relatぉ n)か ら
,
＾
ν
Ｔ
ヽ
ヽｌｊノ
のフ
〓
′︲︱
︲ ′
ヽ１
／
／
＾
“＾
″
(43o
を用 い ると
,
，
一
′
ｆｌヽ
(4.31)
︱
／
Ｔ
t.{
の面
Ｔ
〓
(4.34)
︲︲′
ヽ１
ノ
／ ′ ︱ ヽ
＾
”一
″
li
(434)
^.1\^t
b
L E o*Fft,}tt,
47
4S
簡使な形
ギ={T(弁 ),-2}響 +の 警
,
等 霧 等+υ 等={7(弁 ),一 ,}(響 霧
+毬
+の
(警
+υ
+υ
+u器 +υ
+υ
:等
等+υ 等)
+υ
響
)
(435)
さらに,D'/つ ιを以下のように書き換える
連続の式 (式 (210))か ら
,
T+7+響 +%
=2%+υ %十
υ
斃+留
+ρ
(斃
+%+3;)=0
(436)
(V 7)
Dρ
り,
―
つ まり
,
解=ズ ▽ら
ここで,ρ
3η
“
=1/'で あることを用いると
,
等=2ツ =ヂ 警=:0め
等+ι 響
+υ
,
%+υ 響=,(警 +%+努
)
30
“
式 (438)を 式 (435)へ 代 入すると
,
の警
響={T(解 ),p}:lVめ 十
,
+%+響
解 響 響+υ 等={7(弁 ),一 ′
}:(鰐
+υ
+υ
)
44
第 4章
+の
エ ネルギ ー方程式
(等
+υ
努 等+‐ 霧)
39)
+υ
“
以 たよ り,式 (439)を 式 (430)へ 代入す ると,ニ ュー トン流 体 に関 して ,内 部 エ ネルギ ー を
温度で書 き換 えた式 として最終的 に
,
ρ
の器―Fの
T(多
),Ⅳ
+ゲ
め+″ Φ
.
ρ (誓 +υ 需 等+Ψ 綴
+υ
Cッ
+等
=(等
十
)
等
)T(:争 ),(%+%+3サ
)+μ
Φ+91
`0
“
4;'fり
′t∬ l下 康 」2節 豹
か ら κを離 の縮 導
鼈
とし,こ れが 定であるとすると,熱 流東 こは
,
∂T
r= κ 5[,
■
9υ
= l・
∂T
rm証 ∞ ndllcivo
“
“
υ7
5,' 92= κ 57'
7=― κ▽T
(441)
これを■lい ると,式 (440)は
2T
σ
ρ
ソ
呈
等=κ ▽
の(霧 需
ρ
+τ
,
T(各
+υ
),lVめ
+″
。
十
イ
.
)
%+υ 等
И
η
“
牙ξ
薔
半考
誉
テ
ぶ f判裏饗
響響
置
帯
鮮 lどぉ
禦[肇 1
Oは
,ま ,低
っ
るし
た
が
て
き
以
層ぷ堺
磁 蹴織鐘射考
躊 ]縫ギ
fiよ￡
督
は
よ
槙
=κ
(等
1今
る なお,μ
Φ
+イ
+等 十
等)T(鰐 )。 (帰 +%+響 )十 μ
,る
`:,ン
り
非粘性流体 においてはゼロであ
:昔
た
;:ζ
粘度であった り音速 よりも十分
47
47.3
簡使な形
45
理 想 気体 の 場合 の近 似
(鵬J ga3)の 場 合は
理想気体
,
(:争 ),=子
(443)
,
であ るので ,式 (439)は
,
誓=の 警
,
1:+u8:+υ ::+υ 3:=Cり
(1浮
+・
:Ittυ 3慧
+01:)
`→
“
したが って ,式 (430)は 最終的に
,
2Tバ ▽
の警=κ ▽
め
ρ
,
の幅 霧 等+υ 等)=κ (第 +等 +等 ),(盤 +%+警 )
ρ
+τ
+υ
(445)
なお ,理 想気体で は ,ジ ュールの実験か ら,式 (456)(後 出)に おいて
(446)
(1等 )T=0,
であ り,さ らに
,
,
(447)
(弊 )P T,
であるので,以 下のマイヤーの関係式 (Mayerヽ relatlon)を 得る
σp― σッ='R
:
(448)
46
エネルギー方程式
第1章
ここに,れ は流体のモル数であ り,2は 気体定数である σPは 圧カ ー
定の条14■ こおいて,単
位質量あた りの流体 を lK Lげ るのに必要な熱であ り,定 圧比熱 (speciHC heat at constmt
pressurc)と よばれる これにより,Cソ を c″ で表す ことがで きる
474
定圧 の 場合の近似
liえ
られる熱は q♂ Tと 書ける したがって,熱 力学第 1法 則より
ν一定であるので,系 に
,
dE=OPdr―
(449
Pdν
これよ り,cPを 一定 とみなせるときの
Dの 実質微分は
,
υ
1:+ι 3:十 :;+υ 8:
=CP(響
+包
需 得+υ ::)― P(平 +υ 響 等+lt製;),
+υ
響=ら 警
これ に 式
+υ
いo
P響
(438)を ft入 す る と
,
∂E
∂E
a+υ
房
+υ
=ら (各
υE
万
+“
誓=ら 等
+υ
∂E
房
綴+υ 等+υ 等);(警 +%+努 ),
;Ⅳ
カ
(451)
式 (451)を 式 (430)へ 代 入して式 (441)を 用い ると
,
ρ
%(等 +Z等
+υ
+等 +等 )
%+υ 等
)=κ (事
′
ら警― の=κ ▽
“
2■
Φ
μ
=ゲ =。
(452)
47
簡使な形
47
47.6
非圧 縮性 流体 の場合 の近 似
比熱 の定義か ら
,
CP-0ッ
ー
(:争 )P― (:手 ),=(:亭 )p+ρ (:子 )p― (:手 ),
(453)
ル は車金贅豊あえうの流体のエンタルビー (enthal")で ある ここで,3を Tと
数 として次 の よ うに表す
dЁ
=(等
:
),dT+(需 )′
″
関
'の
・→
“
これ よ り
,
(等 ),― (甕:),十 (警 ;)T(鰐 :)「
(455)
式 (455)を 式 (453)へ 代 入す る と
,
C″
―‐+(:;)T}(:半 )P
`ル
(456)
{ν
式 (456)に お いて ,オ イラーの連鎖律 か ら
,
(:半
)p=―
(:争 ),(::)7,
(457)
で あ り,こ れは非圧縮性流 体であれば 0で あ るので
,
9p― σν
(458)
,
を得る さらにリ
トFL縮 性流体の 連続 の式 (式 (212))を 用 い ると,結 果 として式 (442)は 式
(452)と 同 じ式 となる
4.7.6
lll体
固体 の 場合 の近 似
であれば,式 (452)で さらに
,υ
'=(υ
,υ
)=0と
して
,
48
第 4卓
エ ネルギー方程式
ρ
Ⅲ等=κ (事 +等 +等 )
2T
ρ
ら霧=κ ▽
第 5章
拡散方程式
これ まで の 基礎 方程式 は流体 が純物 質であ る場 合を
て きた
1,2,
,1の 成分が含 まれ てい る場 合を 考え,系 は 多成分 (,‐`え
ここでは ,流 体 中に さらに
,■ )か ら成 る とす る ここで
,
あ る 1つ の成 分に着 日し, さらに この 成分が どの ような式 に したが つて移動 (fr散 )し て行 くか
を考 える 本書で は この基礎 となる方程式 を拡散方程式 とよぶ
方程式 は着 H成 分の 質量あ るいはモル数についての保存則であ り,こ れ を解 くことに よつ
て ,着
":散 日成分 の濃度 を矢
￨る ことがで きる なお ,濃 度 は質量基準 とモル基準で 表 す方法があ り
前者で 表 した場 合 の濃 度 を質量濃 度 (nlasS COncentration)と よび ,`成 分 につ い ては ρ,kg
ll1 3で 表 し,密 度 を 意味す る 後 者で表 した場 合の濃度 はモル濃度 (illolar concentration)と
よばれ ,c`mol ln 3で 表す ただ し,化 学反応が起 こる系を考 えて もlllら かであ るが ,着 日成
分 に関す る質量 の増減 はな いが ,モ ル 数につ いては増減 の 可能性があ る
移動 l■ 象論 的な
方をす ると,流 れは連 411iの 輸 送であ り,外 部 か ら力が 加え られ なけれ
ば ,流 れ は生 じず ,運
`え 動世 も伝 え られ るこ とはな い これ に対 して伝熱 はエ ネルギ ーの輸送で
tる
ここ
あ り 流体が 静 正して いて も (同 体 :1で も)分 1の 振動 に よってエ ネルギ ーが 伝 え らオ
,
1)こ
で述べ る拡散は ,多 成分系にお いて定 義 され ,こ の うちの特定成分 の物 質の輸 送であ る
の際 ,あ る まとまった 皐の流体 要素 (以 降 ,流 体塊 とよぶ )を 考 え,こ れ による平均 的な速度 を
tが ゼ ロ,す なわ ち,口 視的な流れ (対 流 )は な く静 1卜 して い る よ うに見 えて
定義 した場 合,こ オ
も,実 Nに は この平均 llな i雪 動 とはIH対 ￨つ な運Fllと して定義 され る微視 ￨￨な 分 r運 動が 存
これが 拡散 (difrtlSiOn)と よばれ る ものであ る2)こ の ように ,拡 散は着 日成分 に 関 して の`:し
,対
流 に対す る相 対的な分子論的輸 iム を意 味す る 別 の r_現 をすれば ,対 流 に よる物 質移動 は 巨視
的な流れが 存在す る場 合にのみ 定義 され るの に対 し,分 論 的な物 質移動 は常 に存在 して い る
「
とい うことにな る lkに 拡 散 とい う場 合,こ れ ら両者 を含 む意味 で 用 い るこ とも多い と く
に口t者 を￨ズ lu lし たい場 合,後 者を分子拡散 (In。 leCular dinusion)と よぶ ことが ある ここで定
義 され た「 1視 r● な 立場 での i充 体塊 の平均速度 こそが ,こ れ まで 述べ て きた連続 の 式 ,運 動 方IT
l・
,
式 ,そ して エ ネルギ ー 方程式 におけ る流体 の速度 に 対応 す る もので あ る
以上のことか ら,拡 散 を具体的に記述す るためには ,対 流に よるもの と,分 子拡散 によるもの
,な い 対流 に よる拡 散 は,オ イラー表示 による座標 ,す なわ ち,空 間に
とを κ別 しなければ な ′
定 され た座標 (こ こでは以 降 ,固 定座標 とよぶ )に よって定義 され る ものであ る これ に対 し
「
て分子拡 散 は ,対 流 に対す る相対的な (着 日成分 の)物 質移動 であ り,こ の速度は対流 を表す速
度 に対 して相対的な もの として定義 され る この速度 を拡散速度 ((H魚 :SiOn vclocity)と よぶ
以 ドでは ,ま ず 対流 に よる拡 散 と分 子‖:散 の 両者を考慮 した ,着 Π成分に関す る一般的 な物 質
収 支を ιえ.次 に この物質移動 を対読出こよる もの と分 子拡散 に よるもの とに分け る この うら
,
')
,)
|L+':,1:f"J Lt'/r+t)t\hyl{)4t.! /aFd$fi (scrf.linusiu,) r:?r,-a]l4ilj1,,.
+rE'&X, (,,,,L\s dilfnsioD).
difiushn) L
6IljrL6.
jlEfifi
(c""ccnt.ation diffusio!),
67"r,ljle$Sff
(or.tinary
第 う章 拡散方程式
さらに分 r拡 散によるものを,フ ィックの拡散第 1法 則 (Fick's irst law OF di■ ■
,on)3)を 用
いて具体n,に 表し,最 終lltな l17散 方程式を導 く41
(♪
√
■
)=レ ,(NЙ )J.
∼.(Ⅳ
ν
l),L+△ 7
a+L?/
o
図
2
2+△
α
51:検 査体積に関する成分 人 の物質1丈 支
5.1 物 質 収 支
51.1 質量基準の場合
いま,成 分力
'(,=1,… ,→ から成る系を考える この中で着目する成分を Aと する 時刻
ιにおいて検査体積内の着H成 分 Aの 質量濃l■ (密 度)を な に とし,こ の後.対 流,分 子拡散
そして化学反応によって質量の流出人があり,△ ι後の着日成分 Aの 質量濃度が ρA卜 +△ tと
なつたとする このとき,着 日成分 Aの 単位時間あたりの蓄積量は
,
,
pelr+t,
AI
- pal' n-n.,n-
次 に,図 (51)に おい て ,着
kgln 2 s-1だ け流入 し,ご
(51)
H成 分 A力 '単 位時 間 単位面積あた り,2‐ E面 か ら ぃな ).L
=2+△
α面か い (NA)"“ +△
=kgm 2s lだ け流出す るもの と
す る 同様 に ν軸 ,z軸 方向 に関 して も考え ることがで き,最 終 的に着 H成 分 Aに 関す る単位
時間あた りの 質 ii収 支は
,
△ω△υ△2
―
単位時間あたりの蓄積量
△Z+('VA)ッ v△ 2△ r+(NA)″
=('VA)“ に△ν
―
△ν
lz△ ″
lr位 時間あたりの流入景
r) -ltt- ) 'rvtafifi.o*F[t ll{ttl'.
4) ,l&rflr'atE*rt, L, t: (Bird, et.l.2oo2)t:!h.
J,r
51
―
{
}
単ft時 間あた りの 流 ‖1量
+
物質収支
RA△ τ△υ△2
(5υ
Lじ る質 量
単位時 間あた りに化学 反はで ′
―
ここで ,(△ 〕,△ υ,△ z、 △
`)→
0と した極限 を考 えて微分の定義 を用い ると
,
響+攣 +鞣 +呼 =鳳
00
等 +Ⅳ 工)=R‐
成分 Aに 関す る質■ 1又 支式 (連 続 の 式)で あ る 式 の 中に 含 まれて い る変数 はす
式 (53)力 ｀
べ て 日定座標系に関す るものであ る なお,RAは 検査体積 I● で 単位時 間 'ユ 位体積あた りに
化学 反応に よって 生 じる成 分
「
Aの 質量 であ る
また
,
A=((pvA)● ￨(NA)y,(NA)`)￨
は,対 流 と分 r拡 散による物質移動を含んだ,固 定座標系 に対す る結合質量流束 (combincd
mass nux)で あ り,ベ タトルである 移動する物質がそれぞれの座標軸の 正の 方向に移動す
る場合を Fと 定 め るので ,こ れが 正であれば (ω =E.′ =ν ,Z=2)面 では流 入とな り
,
← =2+△ ″,y=υ 十 △ッ,Z=z+△ 2)miで は流出 となる .lし くは第 6 3Fiを 参照
式 (53)を 令成分について加え ると,今 成分に関する質量収支 (連 続 の式)が 得 られ
,
＋
＋
一
銭一
の所
等=R― Q解 +Ⅳ め=R=。
等十
(5→
ここに
,
″ =Σ ″:.
R=Σ
島 , ρ=Σ
2
化学反応に よる成分全体の質量の増減はないので ,R=oと なる 式 (55)が 今成分につい
ての質 li収 支式であ り,こ れを均 一な流体 と解釈すれば ,第 2軍 で述べ た純物質の流体につい
ての連続の式 に対応す る
512
モル 基準 の 場合
濃度をモル基準で 表 した場合 も同様 に考えることができて,成 分が (1=1._,7ι )か ら成る
系 を考 え,こ の中で清 Hす る成分を Aと する 時刻 ιにおいて要素内の着 日成分 Aの モル濃
第 5章
拡散方程式
のモ
度を cA Iと し,こ の後,対 7Ft,分 子拡散 そして化学反応 によって流出入があ り,△
`後
この
モル
の
の
ル濃度力
つたと
る
と
Aの
た
き,着 目成分
な
す
数 単位時間あ り 蓄積
'cAlι +△ tと
量は
,
,
引 ι
甲
△ △ッ△乙
・
(57)
次に,図 (51)に おいて,単 位時間 単位面積あたり着日成分 Aが ,3=T面 から い颯).L
=″ +△ I面 から o蠍 )ω lτ +△ ェmol m 251だ け流出するもの
とする 同様に υ軸,z軸 方向に関しても考えることができる すると,着 日成分 Aに 関す
る, 単位時間あたりのモル収支は
m。 l ln 2s lだ け流入し,■
,
CA`+今
ff・
1生 L△ .△
△
z
υ
単位時 間あ た りの 蓄積量
=(NA),・ △ν△z+(Nム )υ υ△Z△ "+(Nりt)21′ △″△υ
単位時間あたりの流大量
一
2」
こ
￡
豊
全
こ
生
ど
と
塗
重
二
」
11と
±
ビ
L}
{g菫
=全
=と
=竺
`I=LLt饉
+
RA△ α△ν△Z
(58)
単位時間あた りに化学反応で生じるモル数
ー
ここで ,(△
・
,△ υ,△ 2.△ ι
)→
0と した極限を考えて微分の定義を用いると
,
午+7+Ψ + 磐
=RL
等+lV亀 )=R大
●
o
これが成分 Aに 関するモル収支式 (モ ル基準で表した連続の式)で ある 式の中に合まれて
いる変数はすべて固定座標系に関するものである なお,2人 は検全体積内で単位時間 単lll
体積あたりに化学反応によつて生じる着日成分 Aの モル数である また
.
敲
=(錢 ),,(錢 ル,(鴫 し
)、
(510)
は ,対 流 と分子拡散 による物質移動を含んだ ,日 定座標系 に対す る結合モル流東 (colnbined
lnolar nux)で あ り,ベ クトルである 移動する物質がそれぞれの座標軸の上の 方籠1に 移動す
52 'オ 流による物 質流東
tが 正で あれ ば ,(ご =ω ,ν =υ 、Z=Z)面 で は tt入 とな り
る場 合 を 正 と定 め るので ,こ オ
=ご +△ T,υ =ν +△ υ,2-2+△ Z)面 では 流出 となる
式 (59)を 全成分 について加 え ると,全 成分 に関す るモ ル収 支式 (モ ル l_準 で 表 した連続 の
人 )が 得 られ
,
(・
,
〓
Ｒ
婁
み
”
叫可
＋
あ
町一
＋
“一
ａ
ぶ =Σ
R*=Σ 芍
,
',
野+(▽
N・
"_i-
)=R・
11)
(う
01η
なお,質 量基準 のときとは異な り,化 学反応 をと慮 した一般的な場合では,系 全体のモル数
は必ず しも保存 されるとは・
llら ないので, ■1に よ R・ ≠ 0で あ る
国
以降では,さ らに,｀ あるいは N・ を,対 ttに よる物質流束 (対 流質量流束 (oonV∝ tiVC
mぉ s nux)爵 と対流モル流束 (conwぐ ●w mOlar nux)f・ )と ,分 了拡散に よる物質流束 (分
子質量流束 (mOtrular nlぉ s Яux)Fと 分子 モル流束 (In O● Cular inolar ftux)チ )に 分けて考
え,次 にこれらを濃度 をHlい て具体的に表す こ とで ,最 終的な拡散方程式を得る 分 r拡 散 に
よる物質流束以外はいずれ も固定座標系に関するものである
これ に対lし して,成 分 ,の 速度 t‐ を,流 体塊 の平均速度 として定義 される対流による速度
(局 所質量平均速度 (loca〕 l・ 心、Ⅳ crage wkxity)‰ vと .局 所モル平均速度 (local m(,hr
tに 対する相対的な速度である拡散速度 (i(H),1,H))に 分け
avc■ lgc rlo● ●)tt)と ,こ オ
て考える この うち,■ と,ivあ るいは ,1は 同定座標 系について定義 されるものである
さらに,iは 質量基準あるいはモル基準によらず,成 分が決 まれば―義 1に 定義 される 亀。
と IIは ,流 体塊 に含まれる令成分について定義 されるものであ り,■ ■基準か
モル基準かに
“
もので,さ
i[滉 肇縫〔ζiぜ
;il筆 熙
ピ
:.∫
厳轟
訴
ま
,る
1格
、朧
『
62
対流 による物質流束
'Tご
これ まで 可様,多 成分 (1,_,2)か ら成る系について考 え,こ の うちの着□成分を Aと する
521
質量基準 の 場合
速度を, 単位時‖￨あ た りの変位 として解釈する と 単lr時 間 単位面 r“ あた りに移動する質
,れ る 質雄基準の場合の 流による速,1は 次式で 与え られる
量は密度 と速度の機で与え′
:
'ナ
第 5章
拡散方程式
〓
・
″ 一ρ
Σ2Й
iv=半
(51o
Σ2
,-1
これは,力 J所 質景平均速度 とよばれ ,こ れまで述べ てきた 単相の静L物 質に関する連続の式,運
動方程式 ,そ してエ ネルギ ー方程式 における速度 フ に対応する ρlと ス はそれぞれ ,成 分
の質■濃度 (密 度)と (固 定座標系からみた)t成 分の速度であ り,こ れらの積は 1成 分の (固 定
座標系からみた)結 合質量流東 屁 となる また,ρ は検全体積 に含 まれる今成分の密度で式
(56)で 与え られる
この ivに よる :視 的な流れ ('I流 )に よって,物 質が運ばれる このとき,差 日成分 Aに
関する (lll定 座標系からみた)対 流質量流束 膚Aは
,
虜
A=ρ Aえ v,((MA)●
,(MA)υ
,(■ fA)z)=ρ A(■ ″ 、υav,Tav)
摯
＆
一
式 (513)を 用 い ると,系 全体に関する連続 の式
＋
劣+Ψ +Ψ
(式
(55))は
(514)
,
=0
え
v)=0
γ+(▽ ρ
52.2
● 15)
モル基 準 の 場合
,成 分の濃度 をモル濃度 qで 表 した場合,1可 様に局所モル平均速度 ラ
鶴 を定義でき
,
〓
σ
Ｖ一
・
ΣqЙ
嘲 =号 ―
Σq
(516)
:‐ 1
Cは 検査体積における全成分のモル濃度で,式 (512)で 与えられる しかしなが ら,こ の う
気
ロの純物質の連続の式,運 動方程式,そ してエ ネルギ ー
は先の局炒i質 量｀
r均 速度 とは異なり,単 オ
たがって
,こ れ らとは連立させることはで きない
方程式における速度には対応せず,し
よって
れ
この レ
流
物質が運ばれる このとき,若 H成 分 Aに 関
による
的な流
￨:祝
(対 )に
■
する(Ll定 座標系から見た)'チ 流モル流束riス は
,
膚 え
=CAち
,((A′
Å )ω
,(MI),,(Afl)″ )=CA(ulv、
υ詩 ,υ ttv)
(517)
53
また ,式 (516)を 用 い ると,系 全体に関す る連 続 の 式 (式 (511))は
新十
巽争2+鶴 辞+2写機
12-R・
,
,
γ+(▽ C4)=2'
5.3
55
分手拡散による物質 71t東
■
●
0
分子拡散 による物質流東
・
低
[1[見 ll電 珊 へ
速
後
観撃
t雛 常
イ警
亀
篇
理
著
1電 子
濡
器儀
亀
窪
1等
のFIIと して
,
7A=Й v+な ぃ,=フ i+Й lrl,
o19)
と表せる 拡散速度に着目成分 Aの 密度あるいはモル濃度 を掛けたものを,分 r拡 散による物
質流束 と定義す る したがって
,
=対
成分 A鈷 ∫J『L流 着 亀
十
:ス
流鯰
=対
"Aの
」::り 流軌
熙 °
分子鼎
lみ
十
流』等子1:亀
団
分 子鼎
:な
これ まで,第 51節 では,″ スあるいは Nス のままで考えて 済日成分 Aに 関する連続の
式を得た 次に,物 質流束を対流によるものと分 i拡 散によるものとに分けて考えて,ま ず第
52節 では,対 流による物質流束 (17A,llfム )に ついて述べた ここでは,残 りの分子ll(散 によ
る物質流束 (JA,み )に ついて考える
531
質量基準の場合
着目成分 Aの 拡散速度は
,
■ (rl)=1/A―
tav,
であ るので ,分 r質 量流東は以 ドの ように書け る
ス =ρ A(Й
tv)
(522)
:
(523)
第 5章
拡散方程式
532
モル 基準 の場合
同様に,着 日成分 Aの 拡散速度は
,
4〈
→=Й ―ち
(524)
,
であるので,分 1モ ル流束は以 下のよ うに書ける
■ =CA(な 爆
:
(525)
)
5.33
ハ イブ リッド型の物質流束
式 (523),(525)か ら,以 下のようなハ イブリッド型の分子拡散による物質流東も定義できる
:
A(Й 71),
■0ッ Ы)= ρ
(hyb2)=CA(4 為
ム
)
しか しなが ら,こ れ らは用いるべ きではない
以 により,式 (53),(514),(520),(523),あ るいは式 (59),(517),(521),(525)か ら
それぞれ ,質 量基準 ,あ るいはモル基準で考 えた場合の収支式が得 られる 以降では,さ らに
特
場合 を考 え,具 体的な拡散方程式を導 く
,
"Uな
6.4 2成 分 (A,B)か ら成 る場 合
54.1 質量基準の場合 (ρ ,拡 散係数一定
)
流体が 2成 分 (A,B)か ら成る場合を考える いま,成 分 Aに 蒲Hす ると,分 r質 量流東は
,
( 111: )=― ρ DAB
式 (528)は フ イツクの拡散 第 1法 則 とよばれ る
ここ
A
∂2
■ス
∂υ
∂ξA
∂z
︲ ︲ ︰ ︲ ︲ ︲ ︲ ′
ノ
ヽ ︱
= ρ DAB▽ ξス,
／′ ︲ ︲ｌ ︲ ︲ ︲︲ ︱ 、 に
み
従
(528)
(52o
ρ=ρ A+ρ B
DABは ,成 分 B中 におけ る着 ‖成分 Aの 拡散係数 (diCtlSiVity)m2s15)で ぁ る
Aの 質量分率 (mass fractiOn)で あ り
着 日成分
5)運 動量拡散叡
うこともある
ξAは
,
動粘度)と 熱拡散率に対応して用いる場合,物 質拡散係数
(nlぉ S dirusivi")と
い
57
54 2成 分 (AB)か ら成る場合
(530)
定 と見なせ る場合 ,2成 分系 におけ る成分
式 (53),(514),(520),(528)か ら,ρ ,DABが ‐
Aの 質量保存則 として
,
ρDAB(弊 +争 +争 )+な
等+≒響+亜T2+鵠 評 ―
AЙ v)=ρ DAB▽
等+Ⅳ ρ
あ るいは
2ξ
A+R■
(531)
,
+≒響=DAB(弊 +摯 +等 )+R^
等+≒響+螢等ユ
午
式
+Ⅳ
ρA動
=DAB▽ 2ρ A+Rル
(515)に よ り,流 体が ツトIE縮 性 で あ る とみ なせ る と きは
(530
,
等 +等 +等 =Q Ⅳ砿v)=Q
● 3o
を用いて左辺 を非保存型で表せて
,
等 型
等+υ″
等+T∼ 勢=DAB(弊 +弊 +等 )+R“
+υ
ρ
ハ=DAB▽
等+(囁 ▽
2ρ
A+R∼
● 34)
式 (532),(534)が ,質 量基準で密度 を用いた場合の,2成 分 (A,B)に おける成分 Aに 関す
る拡散方程式である
なお,さ らに特別な場合 として,な =5,24=oと した場合
,
等=つ AB(争 +争 +勢 ),
≧全
=DAB▽ 2ρ A
,
58
第 5章
拡散方程式
これ を (質 量基準 の )フ ィックの 拡散第
2法 則
6)
(Fick'ss∝ orld law oF dirusiOn)と い う
542
,
Aに
︱
動
﹄
嘔
叫
﹄
ヽ
測
一
・
ヽ︲︲︲／ 第
ク
／ １ １ １ ＼ ツ
フ
式
″亀一
亀一
の雄一
と コ
モル 基 準 の 場 合 (c,拡 散 係 数 一 定 )
可様 に,流 体が 2成 分 (A,3)か ら成 る場 合 ,モ ル基準で も考 え るこ とがで きて ,成 分
着 Hす ると,分 子 モル流東は
(53つ
(Aは 着日成分 Aの モル分率 (m01e
frac●
On)で あ り
,
α=q+“ =サ , α+CB=1
式 (59),(517),(521),(536)か ら,c,DABが
分 Aの モル保存則として
。30
定 と見なせ る場合,2成 分系における成
,
等
午
+螢警 2+鵠
+に
あ るい は
イ Aち
評
)=CDAB▽
十型
響
⊇ =ι
DAB(1慧 芸 +3を 芸 +鳥
2(A+RA
努会)+鍬
● 3o
,
等+≒ 宰+型等2+≒昇=DAB(争 +弊 +等 )+鳳
午
6)
66
+‐ CA臨 )=DAB▽ 2cA+RA
r'tl sr:t!.{t.,j{trtl I
t$a"thEVlTx
; r ! 6 b zozl(, f*-.r}
,
(540
ltfEtr h" +
6,
n,o + o < b 4
*h
,
64 2成 分 (AB)か ら成る場合
式 (518)に よ り,流 体が非圧縮性 で ある とみ なせ るときは
60
,
等 +等 +響 =争 ,Ⅳ 咆)=争 ,
じ
o
を用いてノ
li辺 を非保存型で表せて
,
+・
午・
等 れ
等+υ L等 =DA3(争 +争 +り )+麟 +=.
+υ
+(亀
等
こ こに
R・
▽CA)=DAB▽ 2cA+Rム
+争
И幼
・
,
=21+RL
(543)
式 (540),(542)が ,モ ル基準でモ ル濃度を用いた場合の,2成 分 (A,B)に おける成分 Aに
関する拡散方程式である
なお,さ らに特別な場合として,化 学反応がな く,レ 箕 =5と した場合
,
弊=DAB(争 +争 +争 ),
等=DAB▽
40
●
2C■
これ を,(モ ル基準 の )フ ィックの拡散 第 2法 則 とよぶ
64.3 2成
成分
′
分 系 に お け る拡 散 係 数
A,Bか ら成 る 2成 分系 の場 合,分 子質量流束 Jは
=JA+′
,
B
= ρ
{DAB(響 ,等 ,等 )+DBA(等 ,等 ,勢 )}
=
ρρ
AB DBO(等
,等 ,等
ここで,ξ A+ξ B=1を 用いた ∫はさぃに
,
)
‐
・
ao
tfi'
4
fi&n&
.
.i : (,fr + fie) - (Me + rrle)
: lpaia I 6I7s1 - be, + ps\i*"
= (pnia+pBvd-pt".
(5.46)
式 (513)か ら
,
7 =5,
(547)
となるので,最 終的に成分 A,Bか ら戊る 2成 分系では,拡 散係数に関 して
,
DAB=つ BA
(548)
モル 基準で考えて も同様 に
P =み
,
+亀
A(等 ,等 ,等 )}
= ο
{DAB(等 ,等 ,等 )+Dβ
=
ιρ
AB DBD(等
,等 ,等
),
・
′ = C▼ ム+″ 6)― (ル Å+膚 b)
= ●Ai+CBち )― A+CB)囁
f静
=(rAЙ +CBら )― ι
“
(5 5tl)
ここで,ぐ A+CB=1を 用いた 式 (516)か ら
,
テ =o‐
となるので,式 (548)を 得る
`勁
(551)
第 6章
移動現象 の速度方程式
これ まで移jll現 象 llの 基礎式である,■ 動方li式 ,エ ネルギ ー方ri式 ,そ して拡散方程式を,そ
れぞれ ,力 のつ り合い,エ ネルギ ー収支,そ して若 H成 分についての物質収支を考えて導いて
きた しか しながら,運 Jll方 程式 は第 7車 で述べ るように,運 動量収支を考えることで も専 く
ことができる このように
ると,流 れ,伝 熱,そ してll散 とい う現象は,移 動する (収 支を
=え 全体積に 対して収支を考えるとヽヽう過riは 共通であることが わ
考える)景 は共なるものの,検
かる 移動現 象論 とい う分野ではこれ らを統 `￨に 扱 う
移FIJ現 象論の基礎 となる人は,速 度方程式 (rate equa● on)と よばれる ここでは,こ の速度
方fT式 について述べ ,移 lll現 象論の基礎を簡単に説 月する 速度方程式とは,移 動量 と勾酉
の
こ
関係を表すものである 例えば ,伝 熱 とい うエ ネルギ ーの 移動について とえると,移 動量は 単
位時間 単位 i横 あ た りに移動するエ ネルギ ーのことであ り,勾 配は温度勾配を折す つ まり
温度勾配が存在
“すると,こ れをな くすように,温 度の 高い 方か ら低い 方ヘエ ネルギ ーが移動す
る (altが 伝わる)と い うものである この関係式がエ ネルギ ー移動に関する速度方IT式 といわれ
るものである 流れであれば移動量は 単位時間 単位 ni積 あた りに移Iljす る運動十であ り,こ
れが 速度勾配と関係する さらに拡散であれば ,単 位時間 単位面積あ たりに移動す る物質が
濃度勾配に関係するとい うことになる 単位時間 単位面積あた りの移動量は流束 とよばれる
前述の通 り,最 終的に具体的な形の来礎方程式を得るためには速度 方イ
である つ
ギ式が不
"r欠
まり,運 rlJ方 程式を導 くにあた っては応力を速度/J配 で表すために,エ ネルギー方程・tを 導 く
にあたっては無伝導による熱流束を温度勾配で表す ために,そ して拡散方程式を導 くにあたつ
ては分 拡散による物 質流束 を濃度勾爾
で 表すために,こ れ ら速度方拌式が必 要 となる この
こ
「
ようにす ることで,最 終 1/1に 速度.温 度そして濃度にrxlす る方程式を得 ることがで きる
,
6.1
ニ ュー トンの粘性 の法貝1
ここでは ,流 体の運動方程式にお いて外力としてと慮 される,流 体に働 く応力 (単 位面積あ
た りに働 く力)の うち.せ ん断:し 力を り 1■ ずる そして,こ のせん断応力が速度勾配 と粘性
'皮
ついて考 える
係数を用いて表 されるという,速 度方程式に
い ま,図 (61)に あるように,2枚 の無限平板の間に流体が満たされているとする 上側の板
を力 Fで ″軸の 正の方向に動かすと T方 向流れ (1次 元)と なり,「 分な時間が経過した後に
図にあ るような速度分布を生じる このと き,板 の表面積を sと すると
,
■
dυ
7' τ
= μ
可
(61)
これをニュー トンの粘性の法則 (Ncwton'siaw Of v量 ity)と い う 7(テ ンツル)は 流体に
“ ■は 第 33節 で述べ たように,1
働 くせん断応力で あ り,μ は粘性係数であ る 動 ェの添字
υ
第 6■
移動現像の速度 方社式
番日の添字 は応 力が lalく 面に lL直 な軸を表 し,2番 日の添字 は応力 が働 く方向 を意味す る こ
こでは ,ン 軸 に■ ●な面 にz面 )1に お いて ,T軸 方向 にlrllく 応力 を意味す る 式 (341)で 述
べ た応 力 σ とlLべ ると,μ の前 に 負号が つい て い るところが 興 な ってい る これは ,σ 力'二
体要 素を変 形 させ る立場 で あ つたの に対 し,こ こで考 える応力 Tは ;1動 量 を移 rllさ せ る 立場で
あ る と解 釈 して い ることに よる これ らの 間には ,式 (49)で 述べ た とお り,7‐ ―σ の 関係
力'あ る
図 (61)で 考 え ると,σ は流 体要素の 変形 をます もので ,粘 性係数 と速度勾 A・Lの 両者が にで
あ るため ,こ れ らの 積であ る σ も正とな る と を 単位時 ￨あ た りの 変 iと 考えれば ,σ v.は
du/dン が 正 となる変形 を生 じさせ る応力 をJiと す る立場 であ るといえる これ に対 し,7は 連
￨が 座標軸 の 1:の 方向に伝わ ってゆ く向 きに速度勾配 を41じ させ る場 合を正 に とる 図で は
動・
運動号が 負 の 方 旬に伝 わ ってゆ くので負号が必 要 となる この よ うな ●場の違 いか ら,負 号が
あ るか ないか ,と い う差が でて くる 変 形 と運動 量収 支とい う立ly/7の 違 いは あ るが ,最 終 llに
｀
得 られ る運動方程式 は 名然 F]じ ものであ る
r・
l・
,
τ
Fが 伝 わ ってゆ く
￨
図 61:ニ ユー トンの粘性の法員
応 力が 単位時間 単位 面積 あた りの 運動 量 を 表す とい うことは ,密 度 ρ を用 いて式 (61)を
以 卜の よ うに書 き換 えて み るとわか りやす い
:
一
２
・
一
Ｓ
μ
ρ
︶
Щ
・
〓
〓
kg(m/S)
ｒ・
辞
，︶Ｎ一
V
,1k",)
da
(62)
ke (m/s)/rl3
′ =ν は動ll度 とよばれ,sI単 位では n12s の次,こ である また,ρ ■は単位体積あたり
`/ρ
の運動量である 応力 (7)は 運動量流束ともよばれる
6.2
フ ー リエ の 熱 伝 導 の 法 則
ここでは,エ ネルギー方程式において熱伝尊によって考慮 されるエネルギーの移pljを 取 りL
げる そして,こ のエネルギーの移動量が温度勾配と熱伝凛率を用いて表されるとい う,速 度
62
フー リエの熱伝導の法Hl
方程式 について考える
図 (62)に あるように,2枚 の無限平板の 間は静 L流 体 (あ るいは同体)で 満たされていると
する L側 の板 は高温で Fn度 ■ , ド個1は 低温で温度 rcで あるとする すると,十 分な時間が
経過 した後に図にあるよ うな温度分布 を生じる これはエ ネルギ ーが ν軸の負の方向に伝わ つ
てゆ くことを意味する このとき,板 の表面積を s,板 に加える仕事率 (温 度を 一定 に保つ た
めに 単位時Fntあ た りに加えるエ ネルギ ー)を っ とすると
,
ど一
む
κ
一
〓
〓
Ｓ
０一
3)
“
これをワー リエの熱伝導の法則 とい う 。
ッは υ輸方向への伝熱量であ り,κ は熱伝導率であ
る κの前の負号 に関しては先のニュー トンの粘性 の法lll同 様,エ ネルギーが座標軸の正の 方
向に移Jljし てゆ くFlき を 11の 値 として 表すために付けてある 図 (62)の 場合 を考 えると,温
度勾配は正で ,熱 伝導率 κ もJ:で あるが,エ ネルギ ーは ν軸の負の方 ‖こ伝わっているのでこ
れに負 号を付けて 。
νを負の値 にする
“
9vが 伝 わ つてゆ く
図 62:フ ー リエの熱伝導の法則
伝 熱量が 単位 時 間 単位面積あ た りのエ ネルギ ー を表す とい うこ とは ,密 度 ρ と比 熱 σ を
用 いて式 (63)を 以下の ように書 き換 えてみ る とわか りやす い
:
〓
三Ｓ︶Ｗ諄
ハ
％︶Ｊ瓢
κ d(ρ
ρO
CT)
dυ
V―
n12 J/m3
S
m
κ/(ρ C)=α は熱拡散率 (tliormal difuЫ vty)と よばれ,SI単 位では m2s-1の 次元である
また,ρ σTは 単位体rllあ たりのエネルギーであるので,,=(Ⅲ ,917,92)は 単位時間 単位画
積あたりのエ ネルギーの移動量を表すこととなる σはベ クトルであ り熱流束,あ るいは,エ
第 6章
移動現象の速度方rI式
ネルギ ー流東 (cncrw nux)と ょばれる
なお,y.t力 学的にいえば ,熱 はエ ネルギ ーの移動 の一形態であ り,両 をは 単位は [1じ である
が ,定 義は異なるものである つ まり,系 がある状態変化 をしたとして,変 化前あ るいは変化
後の系のエ ネルギ ーの値が い くいか, とい う表現はするが .変 化 11と 変化後の系の熱がい くら
か ,と い うような言い方はしない 熱の授受の結果 として,系 はエ ネルギ ー変化 を生じる 熱
の定義からも,こ のことは明らかである しか しなが ら,熱 とエ ネルギーは 同等
力学第 1法 員」
にIIxわ れ ,エ ネルギ ーが移動するとい うかわ りに,熱 が移動するとい う表現 も広 く受け入れ ら
れている 本書で も適■両者を使 い分ける
6.3
フ ィックの拡散の法則
ここで は,拡 散方程式 にお いて分「 拡 散に よ ,́て 考慮 され る物 質移動 を取 り にげ る そ して
この 移rlj量 が 濃度勾配 と拡 散係 数 を用 いて 表 され る とい う,速 度 方程式 について考 え る 第 5
章で 述べ た よ うに,拡 散は 2成 分以 11の 系 におけ る,流 体塊 に対 す る着 日成分 の 相対的な物 質
移動 として定義 され る したが って ,流 体塊 として平均 速度が ゼ ロ,す なわ ち対流が ない場 合
,
,
分 子拡 散のみが 存在 して い るこ とにな る ここでは ,こ の よ うな 2成 分 (成 分 Aと B)か ら成
る系 の分 r拡 散 について 考 え る
い ま,図 (63)に あ るよ うに ,無 限 rmiで 四 まれ た領域 を 考え ,こ の 領域 内 は ,は じめ成分
Bで 満 た されて い る とす る そ して ,υ =ν lよ り li,1は 成分 Aの みで 満た され ,こ こか ら成
分 A力 'Bの 中を拡 散 してゆ き,ν =ン2に 引1達 す る とす ぐに運び 去 られ ,こ こで は成 分 人 の
濃度が常 にゼ ロに保たれ てい る とす る す ると,十 分な時 間が半 した後,成 分 Aに 関 しては
`過
国にあ るよ うな濃度 分布を生 じ
.
¨
﹂一
Ａ
‘
一
: -pDer,#. (ri), :
ｐ
(,r^),
D
“
これ を フ ィックの拡 散第 1法 興1,あ るいは 単に フ イ/ク の拡 散の 法則 とい う
場 =((ふ 卜、
(ノ ハ)。 ,(J4).),4=((Ji卜
,(′ lL,(Jl)″
)は ,そ れぞれ ,単 位時間 単位
mi積 あた りに移動する成分 A´ )質 量あるいはモル数であ り,質 景流束,あ るいは,モ ル流束 と
tる ベ クトルである1)こ こに,ρ =ρ A+ρ Bで あ り,′ A,ρ Bは それぞれの成分の質■濃
よばオ
すなわち
度
,密 度である C=cA+CBで あ り,cA,CBは それぞれの成分のモル濃度である
ま た ,(A=′
あ り
Λ /(″ A+ρ B)で あ り ,成 分 Aの 1/t量 分 車 で あ る
(A=CA/(CA+CB)で
拡 散す る ときの拡散係数で
成分 Aの モル分イであ る さらに ,DABは 成分 B11を 成分 A力 ｀
,
あ り,第 543節 で述べ た通 り,2成 分系では,DAB=pBAで あ る OABの itの 負 号1こ 関
して は ,成 分 Aが それぞ れ の座 標軸 の J:の 方向 に移動 して ゆ く向 きを正 として 表す ために付
けであ る 図で 考え ると,拡 散係数 と成分 Aの 濃度勾配 は両 方 とも 11で あ るので ,こ の とき
Aは ν 輛Iの 負の 方向 に移動 してゆ くこ とを意味 す る
(ノ ス)り と (ア 1)ッ は負 の値 とな り,成 分
,
なお ,llり
東は
1な
た して ,ρ ,Cが
場イ
定 とみなせ る場 合を 考え ると,成 分
Aに
は1す る物 質流
,
1)第 5申 では,こ れ らが分 飢
して分子モルr71束 とした
散 によるものであることを明らかにするために
分 F質 量流束
そ
64
Aoe (€a:&:r)
統 ‐
的 な取 り扱 い
ν‐υ
l
(,c
=0(pr =0,
c,\
球
枷 ﹂
︲
{,t =
=0)
図 631フ インクの拡散 のlt員 ￨
=
dρA
２
︶
一
Ｓ
ｍ
︶
峰
一凸
(J r)'p
- Dxt
d′
V
kg/m3
(れ
=DAB等
V
V V
m。 l
1n2s
(66)
m2 mo1/in3
s
nl
これをフィックの拡散の法則とすることも多い ρあるいは ιが 定 とみなせるような場合 は
,
2成 分系で考えると,例 えば ,片 方の成分が ￨め て少なか った り,山 j成 分の拡散が対称的で,局
I・
所17Jな 組成は異なるが ,物 質の和が常に 定に保たれてい るような場合2)な どが考えられる
6.4
統 一 的 な 取 り扱 い
これ まで述べ て きたように,流 れ,伝 熱,そ して拡散は,そ れぞれ ,速 度 ,温 度 ,そ して濃
度の7.J配 が推進力 となってお り,こ れらの差をな くす方I旬 に起こる現象であるともいえる
また,式 (62),(64),(66)を くらべ ると,流 れ,伝 熱,そ して拡 散の速度方程式を整理した
とき,そ の比例定数は,そ れぞれ,動 粘度 ,熱 拡散率,そ して拡散 係数 とな り,次 ノ
こはいずれ
もSI単 位で m2s-1と なってい ること,さ らに,勾 配の分子は 単位体積あた りの運動量,エ ネ
ルギ ー,そ して物質 となっていることがわかる これらをまとめたものが表
(61)で ある
表
現象
速度 方程式
1)
(法 貝
61:移 動現象の まとめ
比例係数
“
流れ ニュー トンの粘γIの 法ul 動粘度
伝熱
拡散
推lg力 となる勾配
12 s l の分子
フー リエの熱伝導の法員1 熱ll i散 率
フ ィックの拡散の法則
拡散係数
(■ 7体 積あたりの号)
l・
運動量
″:束 の
数学的性 質
エ ネルギー
ァ ン ソル
ベ ク トル
物質
ベ ク トル
lja,iAt:tjL(, ttitiu/t.u:utr6B
') U(ri.lr)_tr,)t,
Lrr r.Wh.
= (u
=o,e= vrt4| =(B = I
第 7章
運動量保存 方程式
第 3+で は,運 動の第 2法 則から流体要素の変形を考え,力 のつ り合いをもとに運動方程式
を導いた しかし,第 61節 で述べたとお り,応 力が 単位時間 単位面積あたりの運動量移動
とも孝えられることから,こ れは運動量収支という立場からも導 くことができる ただし,運
動量の収支を考えるので,応 力は σ ではな く7で 考え,運 動量がそれぞれの座標軸の正の方
向へ移動するときを正のllと する
7.l o軸 方 向 の 運 動 量
lXj(71)に 示 されたような,△ ,,△ ν,△ zか ら成る検査体積に着目し,こ れに出入りする τ
軸方向の運動量 の収支を考える
(prrr,)t,+a,
△o
z+Lz
(p"u)|" '
o
●
*
■+△ グ
リ
き力 Tは 正の値 の時 の向 き
ι成分 に関 してのみ示 してあ る
運動量 は面 を通 して流 出入す る
図 71:検 査体様に関する運動量収支
あ る時刻l`に お いて ,検 苓体積内 の 単位体積あ た りの I● 動量が (μ )卜 であ つた ものが ,△ ι
の 間の 運動 量の 流 出 人の結 果 ,(ρ υ)L+△ tと な つた とす る この とき,こ の検 本体 積 におけ
る1位 蒔 IIlあ た うの 運動量 の 蓄積 量 (△ Af)は
,
△71/=(plt)L+△
66
第 7章
t― (“ )「
運動量保存方程式
△ご△υ△乙
(71)
71
(■
τ瓢方向の運動量
67
=r,ν =ν ,z=2)面 か ら対流 に よ り流 入 して くる車立蒔商あえうの運動量 (ル lm)は
Arlin=(空 υ)τ △ν△z+(ρ υし)し △2△ 密+(ρυし)レ △T△ ν
,
(72)
対流 に よ り単位時 間あ た りに流 入 して くる質量
―
(・
量
=E+△
(llfl。
“
″,υ =ν
)は
―
+△ υ,z=2+△ z)面 か ら対流 に よ り流 出す る単位 蒔 商あ た うの運動
,
MLH■ =(ギOL+△ り
“
C+化
ビ +(tl)b+△ ν
十△Z全 望
当冷
全6全
電1)″
当ρ
対流により単位時間あた りに流出する質量
0=ら υ=亡
午≒予 半itttty」 ;ギ欝 Υ籠
`キ
Man=(77ェ )L△
△Z+(r17.)b△
υ
(7=E+△ ω,ν
cビ 2。 ut)は
(73)
くる範 輛 あたうの動 量 171fan)は
Z△ 0+(■ ,)lz△ ￡
△
"
,
(74)
=ν +△ y,z=2+△ z)面 か ら応 力によ り流出する 単位時間あ た りの運動量
,
M2。 ut=(■ ,)レ +△
"△
△z+(し ,)し +△ ν
△Z△ ご+(■ 2)lz十 △Z△ r△ υ
υ
重力による単位時間あた りの運動量の増加 ル 3は
(75)
,
Ar3=ρ 9.△ ″△υ△2
(76)
以上より,運 動量収支式を立てて,両 辺を △α△ν△zで 割 って幣理す ると
,
△llf=(ル
(ρ
1._ル
2):+△
`―
=―
―
(“ り
1。
ul)+(ル an― ル 2。 ut)+llr3,
t
{…
望
{⊆
LI量
F立
空 &テ立
空
L +立
+望 L―
二 二
十 二 笙
L→
生 笙 ≧
乾 千
+
立型⊇こ
型聾墜
電 豊澤
}
新垂ユ}+"“ 0
(721r)2+△ z
第 7幸
運動量保存方程式
ここで ,7=― σ であ り, さらに
用 い ると
(△ ω,△ ν,△ Z,△ オ
)→
0と した極限 を孝 えて微分の定義 を
,
響 +甥 ⊇+聖%」2+鰐塑=3舅F+3発 F+3舅 弄+筋
(78)
保存型
連続の式 (式 (210))を 用 いて左辺を書 き換える と
,
ρ
斃 %+υ 警)=も 子+%ナ +%チ +″ ″
(各
+υ
+υ
(79)
非保存型
すなわち,運 動量収支 とい う考え方から直接尊かれる運動方租式の対流項は保存型であ り,こ
れに連続の式 を適用すると,運 動 の第 2法 Hlか ら導かれたの と同じ非保存型の対流項を含 む運
動方程式 に変わる
7.2
υ,z軸 方 向 の 運動 量
υ軸,z軸 方向に関しても
l・
l様 に次式を得る :
響 =響 +7+響 +″ 柳
響 +2響 +27十 二
瞥
2+鵠 響 十
あ るいは
鵠
塑 +鰐 塑 -3発 +3発 +31千 +妙
チ
チ
101
“
(711)
,
′
鰐+υ %+υ %+υ %)=響 +等 +響 +鰤
υ :;+υ )=籠 渉+等 +等 +ρ ク́
十
ρ
(1け
,
:誉
+υ
:サ
(712)
(713)
非圧縮性 のニュー トン流体を考 えると,応 力の 各成分は具体的に式 (341)で 与えられ,最 終
的に第 3章 で導いた運動方程式 と同じものとなる 上述のように,運 動量収支からも運動方程
式を導 くことはで きるが ,1さ 力を具体的に記述するためには,や は り第 3章 で述べ たような考
え方を理解してお く必要がある
第 8章
8.1
運 動 の 記述方 法
慣性座標系
運動の第 1法 貝1に よれば ,1物 体 に力が働かなければ ,そ の物体は静止 したままであるか ,あ
るいは,rl線 上を等:き で運動するJ これは慣性の法則 ともよばれる
悩4■ の法則は,速 度 の値については触れてい ない そもそ も,速 度 というのは相対的なもの
であつて,あ る基準点を決めて初めてそのlllを 定義 で きる 力が働かずに静上 してい るよ うに
見える物体も,観 察 してい るllllが 動 いていれば ,こ の物体は運動 して いるように見える この
ように,力 が働 いていないときに静止 してい るといえるのは,特 別な座標系か ら見た場合であ
り,こ のよ うな性質を持った座標系を慣性座標系とい う ll常 ,ll tllは この座標系で記述され
る 本書で もこの座標系で記述する
8.2
右 手 系 と左 手 系
座標‖とい う場合,若 手系 (nght hand systcnl)と 左手系 (lcFt hand systcm)力 'あ る この
違い を卜 (81)に 示した 右 千系とい うのは,い ままで説りlし て きた直交座標系 (■ ,υ ,2)で い
うと,7,ν ,2軸 のそれぞれの 11の 向きが,右 手の 中指.親 指そして人差精に対応 してい るjl.合
をい う 別の表 l■ をすれば ,r軸 の 巨の方向か ら ッ軸の にの 方向ヘ イiね じをい1転 さ せ るとき
ねじの進も方向が 2軸 の正の 方向に 致する場合である これに対 してノ
「 子系 というのは,左
手を用いて11じ よ うに表せる空間である 本書ではこれまで,慣 性座標系で定義 された鮨交座
標系をイi千 系 とし,基 礎式 の導 Hlな どにおいて必 要な検査体積などを定義してきた 以I■kで 説
り,す る直交曲線座標系 (orn108。 al Curvninoar c。 。rdⅢ late wston〕 )も ,す べ て右 子系とする
第 9章 で述べ るよ うなベ クトルに関する様 々な演算を考えるとき,矛 Hし てい る系がイi手 系か
ノ
l:手 系か とい うことは非常 に■要である
,
1〕
83
ラグ ラ ン ジ ュ表示 とオ イラ ー 表示
イi■ 系の慣性座標 系 を用い るとい うことに したわけであ るが ,こ こでは さらに ,具 体的に物
体 の位 置を表す座標 をいか に設定す るか につい て述べ る 物体 の lL動 を記述す る場 合.こ れ に
は大 き く分けて 2通 りの 表 し方が あ る
1つ めはラグランジュ表示 とよばれ る ものであ る これは ,常 に座 標系 を物体 の運動 に 合わせ
て更新 しての くもので ある 例 えば ,幾 何学 的な変形 を ともな うよ うな物体 の 運動 の場 合 ,は
じめは 直交座標系で 定義 された直方体 を考 え ,こ れが 時
「 1と ともに位 置 を変 え , しか も変形 し
てゆ くとす ると,そ の都度 ,物 体形状 に合わせ た座標 系 を設定 し直 しなが ら,も との物体 の連
rljを .・
L述 す るとい うものであ る この場 合,あ る
1に おけ る物体 の 位置 は ,初 期位 置 と 問
'I亥
'サ
位置の時 間変化か ら速度 を,速
度 の 時間変化か ら加速度 を求め るこ とがで
この よ うな 立場は ,変 形 を ともな う場 合は 体 力学 におい て ,そ して ,変 形 を ともなわ
「
のみの 関数 となる
きる
第 8車
運動の 記,む 方法
(b)左
(a)右 手系
手系
図 81:4i子 系￨`標 と左手系座標
ない場合は (常 に直交座標系のみを用いて表せるので)剛 体 の 力学において利用 される
2つ めは,オ イラー表示 とよばれるものである これは,物 体の運動を記述するにあたり,用
いる座標系を空間に 引定してしまう立場である 先 のラグランジュ的な立場であれば ,物 体の
の運動をHで 追 うことも
1回 数が 少な く,し か も学純 な運動であるよ うな場合は,そ の 1つ 1つ
可能である しか しなが い,個 数が増えてきた り,複 雑な運動 になつて くると,す べ てを日で
追って全体 を把握することは極めて困難 になる そ こで,物 体を目でlLう ことを止 めて,日 は
常 にある11に 向けた ままにしてお く このような固定点 をい くつか設定し,各 点での速度を得
るのがオ イラー3/Jな 立場である した力'っ て得 られるのは,各 時刻における固定点での速 xで
ある この速度は,時 亥1と 定点の位置の関数 となる ただ しこの場合,各 時亥1に おいて日定
「
点を通過す る物体の速度のみか いは,加 速度を直接知￨る ことはで きないため,上 夫 を要するこ
ととなる 加速度を求める :夫 が必要であるものの,固 定点を任意に設定で き,そ の点におけ
る速度を得ることがで きるということは,流 体の運動を記述するには都合 よい
l●
以 ドでは,流 体の運動を記述す るにあた り,こ れら 2つ の立場 を具体的に考 える
83.1
ラグラ ン ジ ュ表示
流れをラグランジュ的に表すには,流 体 を11数 の要素 (以 降,171と よぶ)の 集まりとしてと
らえ,各 粒子について,そ の初期位置 (α .ら ,C)か ら出発して,時 間を追 って 各時刻における位
置を追跡してゆ く 求め られるのは,各 粒 r毎 の 各時刻 における物理量である なお,粒 子の
速度 と加速度は,そ の過去の位置から求める したが って,こ の表示において,連 rllに 関わる
変数 は以 卜の通 りである
◆独 立変数 :粒 iの 初期位置 (α ,ろ ,C),時 lι
o従 属変1/7x i li了 の位置 ズ =ズ (a、 ら,c,`)=(c,ソ 、Z).圧 力,物 1■ 値 など
微分することによって, ま
その位置 又 =(2,ν .z)を 時間
粒子の速度
「 =(■ ,υ ,υ )は
`で
の
で
た,粒 rの 加速度 d=(α
″)は ,さ らにそ 速度を時間 微分す ることによって,以 下
`,α v,α
のよ うに得 られる
F・
:
″一
ａ
伽房
﹂一
ａ
υ
〓
υ
l‐
=写
(81)
83
α
に♪
e)‐
,,α
(瞥
ラグ ラ ンジ コ表 示 とオ イラ ー 表示
ご
=手 =事 6a
・
等)=(等 ,弊 、
準)
,多
832
オ イラ ー表示
流れをオイラー的に表すには,流 れを時間的に適 Itし た ‐
連 の流れ写真と孝え る 求めいれ
るのは,各 時刻毎の 各固定点の物F■ 量で,流 体の過去の情報は不要である この 立場では,各
ll亥 1に おける固定点の速度をもとにその時亥
Jに おけ る加速度を求める したが って,こ の表示
において,運 rllに 関わる変数は以 ドの通 りである
o独 立変数 :固 定点のイ
サ置 (■ ,ν ,z).時 間 ′
o従 属変数 :同 定点における粒 1の 速度 F='(“ .ン ,z、
,り
、,),圧 力 ,物 円:値 など
・
`)=(lι
この 方法で流れを記述する際 .問 題となるのは,流 体の
加速度をいかに表現するか,と い う
ことである 求 まるのはある時亥1に おける,固 定点での速度のみであるから,こ れをもとに
速度を求めなければならない つ まり,流 体の速度だけが記述 された流れの瞬問 真 を見て,そ
'メ
の瞬間の加速度を求めるにはどうするか,と い うことである これ にはまず,あ る時刻 ′にお
いて定点 Aに ある粒子が,そ のときの速度からして微小時間 d`後 に移動 しているであ ろ う点
Bを 求める 次に「1時 亥Jι にて点 Bに ある流体の速度を,こ の点 Aの dt後 の速度に置き換
えて考 え,こ れらの差をもとに加速度を求める 具体的には,以 下のように計算す る
速度が
独
数 r.ν .2,そ して ォの関
,T)で 運動 してい る流体を
,こ れ
',を
=え
'変
'=(t`,υ
数として,加
速度 ″ を以下のよ うに表す
ll l
:
〓
Ｖ 一■
．
ｄ
一α
三
t@ +d.x.! +
+
M.!
+ da.z +.12.t +
dL) L(:x-l!.zlt)
4L
r(r
+ dr, y +
cte, z
+ d.?j.
+:!)
.("r!rn,
OL
"
du.z
r)
(' | ,l'.!_l d9:. t_!:,t . ir) 11{:g: ll
︲ ︲ ︲ ︲ ︲ ︲ ′
ヽ ︱
／
と
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ａ “一
れ 品一
(:!)=
L(r
tl,
+dz,t
+dt). i(x.!,z,t)
ヽ１︲︲︱︱︱︲︲′／
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一
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¨
¨
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ａ
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α
“
α
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′
¨
¨
・
一
一
［
［
﹁
¨
¨
︹
・
,
卸
¨
・
一
一
一
¨
一
い
¨
¨
¨
］
ここで ソ(・ +d,,ν +dン 、
Z+dZ,ι +dι )を
.グ ,ガ ,`)の まわ りで展開して 2次 以 Lの 項
を無視す ると
'(■
64)
72
第 8幸
運動の記述方法
これは時 間に関す る速度の仝微分 であ る ここで さらに ,こ の結果 を着 Hす る流れ系に適用
して,固 定点 (7.ν ,Z)に おけ る時間 ιについての偏 尊関数 を,流 体 の速度 i/=(2,t,,υ )で 置
き換 えると
,
／
＆
＆ ¨一
あ一
υ υ
＋ ＋
＋ ＋
ｕ υ
＋ ＋
＼
の
聖 む ¨一
%+υ %+T傷
あ
あ一
れ れ一
+π
ａ
あ一
＆ “一
〓
１ ︰ ︲ ︲ ︲ ︲ ︲ ︲ ︱
υ一
＆
れ一
＆ｄ
“ れ一
告
七
婆 好+T写 =写 +[(フ ▽ =子子
平=解 十
+υ
)]ラ
これ力',オ イラー表示で流れを記述したときの流体の加速度で,演 算子 D/υ t=∂ /a+(フ ▽)
は実質微分1)と よばれる また,あ る時刻において考えれば ,加 1速 度の求め 方がラグランジュ
n勺 であるとい うことで ,ラ グランジュ微分 ともよばれる
:場 で流体の運動を.L述 する場合,l・ 定点 における流体の速度
式 (85)か ら,オ イラー的なウ
において も,流 体は加速度 をllつ と
が時間的に変化しないような流れ (定 常流れ,∂ ′/∂
`=の
い うことに注意す る必要がある
1)物 質微分 ともい う
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