講義ノート02_クーロンの法則

物理学序論２（電磁気学入門）
第２講 151009
クーロンの法則
ガウスの法則（導入）
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重ね合わせの原理：（重要な法則）
複数の電荷の作る電場は、個々の電荷の作る電場の重ね合わせ（ベクトル和）
(成り立たない例：水素原子に働く力: 2原子間は引力、3原子間には力が働かない。)
重ね合わせの例：２個（３個）の電荷の作る電場
連続分布の極限
r(r): 電荷密度
クーロンの法則：全空間における電荷分布が分かれば、
r 地点にある電荷qに及ぼす力は
電場に対する
マクスウェルの方程式
の一般解
電場の導入：ある地点での電場がわかれば、その地点の電荷に働く力がわかる。
静電場を解くためのマクスウェル方程式
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クーロンの法則：例１：
重力でも成立した法則
（再証明はあとで）
１）球対称性のある電荷分布
１a）一様に帯電した球殻もしくは球が，外部に及ぼす力は，
それらの電荷が中心の一点に集まったときの力に等しい
1b）一様に帯電した球殻の内部に及ぼす力の合力はゼロに
等しい．
2）重力はポテンシャルから微分で導ける
。
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クーロンの法則：例２：
線積分の例：直線電荷分布による電場。
微小線素 Dz→dzにある電荷の寄与を
計算し足し上げる。（重ねあわせの原理）
対称性を使えば
z 方向の成分は相殺して消える
h 方向の成分のみ足せばよい。
応用例では，
どんな対称性があるか？
を見極めることが重要
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例題1: 計算のまとめ
*2) ldz が電荷の次元を持つので，
線電荷の単位は[C/m]である．
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クーロンの法則：例３：
面積分：円盤状面電荷分布による電場
dq:微小電荷，s:面電荷密度, 単位
:[C/m2]
全電荷 Q = spR2
無限大の平面電荷分布の作る電場
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一個の電荷による
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電場と電位（ポテンシャル）
電場ベクトルをつなげた線
を電気力線という．
電圧（ポテンシャル）（後述）
はスカラー場．等高線で描く
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＋２ｑ電荷からは
２倍の電気力線が出て、
半分が -qに吸い込まれる
（電気力線は交わらない。）
電気力線の本数： N=Q/e０
電場の強さ＝電気力線の密度
点電荷から距離 r 離れたところでは：
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電磁気学で遭遇する最初の難関！
S1:
S2:
S3:
S4:
面上の全ての点で電場は外向き。 EndS は正。ガウス積分は正
面上の全ての点で電場は内向き。 EndS は負。ガウス積分は負
面内に電荷が無いので Q=0。外向き成分と内向き成分が打ち消す。
面内にある総電荷はゼロ。外向き成分と内向き成分の和はゼロとなるはず
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ポイント１：公式を暗記するのではなくその組み立て方を理解しよう．
例：リーマン積分の作りかた
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（
微小面積要素
ベクトル
）← とりあえずスキップ
図では S → A
青線は電気力線
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ポイント２：電気と数学2面攻略を避け，知っている現象（絵）で数学を書き直す
ベクトル場を流体の速度ベクトル場とみなすと，物理的イメージが理解しやすい
上から見たときの流速度線 (v) で表すベクトル場
電気力線 
本数

電場の強さ E
電荷 水源，
流体の速度ベクトル，
流束（フラックス：単位時間の流量） (電束*という)
＝電気力線密度  流束密度
← これをフラックスと言うこともある
Q/e0 : 単位時間の湧き出し水量
(負の源は吸い込み口)
En ＝電気力線密度の面に垂直な成分
 面を通る単位面積単位時間あたりの流量（流速密度の定義）
＊専門用語として電束密度 D = e0 E がある．ここでの電束定義とは e0 だけ異なる．
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ガウスの法則
の流体解釈
(a) 水源 (source) が中にある場合
閉曲面を通り流出する総水量は，
閉曲面の形や大きさにかかわらず
水源の放出する総水量に等しい
泉＝湧き出し口
池
池
(b) 水源が外にある場合
閉曲面を出入りする総水量はゼロ．
（流入量＝流出量）
水源池
点状の湧き口からの流体が，流線に沿った流管を通るときの速度ベクトルの変化を理解する
水源池
長い管（1次元空間）を通るとき (v = 一定で平行)
平面（2次元空間）ならば，円状に広がる（v ∝ 1/r）．
(川幅が狭ければ急流
3次元空間ならば球状に広がる (v ∝1/r2）
広ければゆっくり流れる大河)
上図の全てにおいて，流量保存則は( v1dS1=v2dS2 )と表される．
dS1/R1=dS2/R2 (中図) → v ∝ 1/r) , dS1/R12 = dS2/R22 (右図) → v ∝1/r2）
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ポイント３：類推の試行：流体の従う基本原則を頭に入れる．
フラックス：流れに垂直な面を通る単位時間あたりの流量を
流束(フラックス)という．単位面積あたりの流量を流速密度という．
側面壁 ST
vn = 0
vn = -v
Dx
図中の左の断面を通る流束は vDS，右断面を通る流束は v’nDS’ であるが
両者は等しい．面を傾けたときは法線成分をかける．
流線に沿った流束管を考えると，側面では vn=0 となる．
この場合，流束管を囲む全閉曲面Sを通過する全流束はゼロとなる．
閉曲面内に流体の湧き出し口があれば右辺はゼロでない．
とりあえずスキップ
流束保存を(微小距離 Dx に適用して) 式で書くと
1次元： v’=v→ v(x+Dx)=v(x) → ∂v/∂x=0 ３次元に拡張→
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心構えができたところで，本番に挑戦しよう
ガウスの法則とクーロンの法則は数学的に同等であることの証明
１）ガウスの法則からクーロンの法則を導く
電荷Qを中心とする半径 r の球面をガウス面として選ぶ
電場は面に垂直であり，かつ対称性により球面上で一定値をとる (図参照)
２）クーロンの法則からガウスの法則を導く
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ガウスの法則をクーロンの法則から導く
ステッップ (2-1a)
ガウスの法則を流体イメージでとらえるため，流管として電荷を始点とし
流線(電気力線)に沿った四角錐を二カ所で切断した四面体を考える．
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ガウスの法則をクーロンの法則から導く
ステッップ (2-1b)
閉曲面 S
に囲まれた
体積 V
電荷が閉曲面の外にあれば四角錐と
面Sで囲まれる部分 DS について面積分は0
面Sで区切られる微小四角錐の集合で
体積Vを作れば
閉曲面は微小四角錐体の入り口と出口の
総和なので面積分は０
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ガウスの法則をクーロンの法則から導く
ステップ(2-２)
電荷が閉曲面 S の中にあるときは，
S を S1 と S2 に分ける．
S2＝S+S1 の寄与は上と同じく０
S1 の寄与はクーロンの法則を使えば
ステップ(2-3)
電荷が多数あるとき（ie: 電気力線が曲がっているとき）
重ねあわせの原理により，左辺と右辺が足し算されるのみ
注1：ガウスの法則は万有引力を含む任意の逆二乗法則で成り立つ．
注2：電場を決めるには，体積内の電荷と外の電荷分布両方が必要であり，
一般的にはガウスの法則のみから決めることはできない．
しかし，対称性の良い場合には決められることがある．
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ガウスの法則とクーロンの法則は数学的に同等である証明（まとめ）
１）ガウスの法則からクーロンの法則を導く
電荷Qを中心とする半径 r の球面をガウス面として選ぶ
電場は面に垂直であり，かつ対称性により球面上で一定値をとる (図参照)
２）クーロンの法則からガウスの法則を導く
(2-1) 一個の電荷が閉曲面の外にある場合
(a) 閉曲面を貫く微小四角錐体部分の面積分は０になる．
(b) 閉曲面Sを包む体積Vを微小四角錐体の集合に分ければ，
閉曲面は微小四角錐体の入り口と出口の総和なので面積分は０.
(2-2) 一個の電荷が閉曲面の中にある場合
閉曲面 S を電荷を中心とする小球面 S1 とそれ以外の S2 に分ける
閉曲面 S2 の面積分は (2-1)により０
閉曲面 S1 の面積分は
(2-3) 重ねあわせの原理により，任意の電荷分布 (ie 任意の電気力線分布)で成立
注1：ガウスの法則は万有引力を含む任意の逆二乗法則で成り立つ．
注2：電場を決めるには，体積内の電荷と外の電荷分布両方が必要であり，
一般的にはガウスの法則のみから決めることはできない．
しかし，対称性の良い場合には決められることがある．
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立体角：2次元の角度
y
極座標の場合
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