四角く見えますか？ この展示のテーマは，四角く見える（フラクタル）立体です。 人間・環境学研究科 数理科学講座／総合人間学部 認知情報学系 准教授 立木秀樹 http://www.i.h.kyoto-u.ac.jp/~tsuiki フラクタルユニバーシティ KYOTO 正四面体を４つの頂点を中心に１／２に縮小して 合わせると，真ん中に穴のあいた正四面体になります。 同じことをもう一度繰り返すと，16 個の正四面体から なる立体，さらに繰り返すと，この 64 個の正四面体 からなる立体が出来ます。 正四面体は，辺の方向から見ると正方形に見えます。 それは，こうやってつくった穴あき四面体でも同じで す（なぜかは裏面参照）。そのことを利用して，それ ぞれのピースに写真の断片を貼って，四角く見える瞬 間に写真が見える立体を作りました。 これは 64 個ですが，さらに繰り返して 256 個，1024 個にしても正方形に見えます。無限に繰り返してでき る立体（シェルピンスキー四面体）も，辺の方向から 射影すると正方形になります。想像できますか？ 立体図形の形は見る方向によって変わります。それは 当たり前ですが，この立体の姿の変化には驚かされます。 正方形になったり，雪の結晶になったり，線状（デンド ライト）になったり。しかも，正方形に見える方向が 12 個もあります。立方体と同じように 6 方向から正方形に 見える立体はたくさん考えられますが，12 方向から正方 形に見える立体は非常に限られます。なぜ正方形に見え るのでしょう？どうやったらこんな立体を見つけられ るのでしょう？個々のピースはどんな形ですか？ この立体を囲む透明アクリルの立体は正方形に見え る方向を示すためのものです。12 個正方形の面をもって おり，そこからみると正方形に見えます。正方形に見え る方向は，どんな配置になってますか？ この立体は，正方形に見える時に，スウドクパズルと 同じ９ｘ９の正方形のグリッド状になります。この立体 は 81 個のピースに 9 色が塗られていますが，１から９ という数字の代りにこの 9 色を用いて，12 方向どちらか ら見てもスウドクの解，すなわち，どの行，列，3x3 ブ ロックにも 9 色すべて現れるようにしています。普通の スウドクの解が 1017 通り以上あるのに対し，この立体ス ウドクの解は 30 通りしかありません。 重六角錘フラクタルのスウドク色づけ 箱に入れてみよう 展示台の上に置いてある立体はすべて，透明な立方体の箱 に入ります。入れてみましょう。入ったら，立方体の 6 個の 面から見てください。複雑な形をしていたはずの立体が四角 く見えるはずです。こうすると，これらの立体は，直交する 3 方向から見て正方形に見えることが分かります。箱に入れず に正方形に見える方向を見つけられますか？ 同じ様に，直交する 3 方向から見て正方形に見える，凸な （つまり，へこみがない）立体の中で，極小な（それより小 さくしたらこの凸でなくなるか正方形に見えなくなる）もの は，立方体の辺上の頂点は辺の中点にとることにすれば，展 示ケースの下段にある 15 種類に限られます(1 つは鏡像あり)。 なぜか，考えてみましょう。 展示台の上にある立体のなかで，写真の４つに注目して ください。一番左の正四面体は，辺の方向から見ると正方 四角く見えるフラクタル 形に見えますが，１／２の大きさにしたもの４つをこのよ うに配置しても，また正方形に見えます。すると，この４ つそれぞれをまた１／２の大きさのもの４つに置き換え ても全体が正方形に見えますよね。どれだけ繰り返しても 正方形に見えます。これを無限に繰り返した立体は，４つ の部分が全体と同じ形になります。それを，自己相似とか フラクタルとかいいます。次の重六角錘は，12 方向から 見て正方形に見えますが，１／３の大きさのもの 9 個をこ のように配置すると，また正方形に見えます。あとの２つ も考えてみましょう。これらの立体の，この置き換えでで きるフラクタルも，同じように正方形の射影をもちます。 狼と少年 これは，三角形の紙が 2 枚立方体の中に入っただけ ですが，これも立方体の面の方向から見ると，正方形 に見えます。見る方向によって，少年が狼を狙ってい たり，狼が少年に襲いかかろうとしていたりします。 2 枚の絵をあわせると，エッシャの絵のような，2 種 類の三角形の繰り返し模様になります。 展示台には，透明アクリルで作った作品が入ってい ます。その横には，立方体の代りにひし形六面体で作 ったものがあります。 絵：井原有美子 数学は美しいと数学者は口にします。それなら，数学的に定義された図形も美しくて，驚きに満ち ているはずです。これからも，そういう驚きを見つけて人々に伝えていければと思っています。 参考文献：（ホームページに，より詳しい解説があります。 ） フラクタルマジック（１），（２）， （３） 数学セミナー2006 年 4,5,10 月号 Hideki Tsuiki "Does it look square? in Proceedings Bridges Conference, 277—287, 2007.
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