数学 31 NO. 〈解答〉 １ 茨 ア x ＋７ ２ 茨 １８通り ３ 茨 ２ ５㎝２ イ ２x＋７ 芋 ２０ ７ 芋 ９ 芋 △ＡＰＣ：△ＡＱＢ＝３：２ 鰯 y＝－６ x＋１０８ 配点 各２点 １４点満点 〈解説〉 １ 茨 小さい方の自然数を x とすると，その差が７であることより，大きい方の自然数は x＋７と表され，２つの自然数の積は x （ x＋７） と表せる。また，２つの自然数の和の８倍の数は ｛ x＋（ x＋７）｝×８＝８ （２x＋７） と表せる。大小２つの自然数の積は，２つの自然数の和の８倍よりも４小さくなることか ら，次の方程式が成り立つ。 x （ x＋７）＝８（２x＋７）－４ 芋 茨でつくった方程式を解くと， ２ ＋７x＝１６x＋５ ６－４ x ２ ＋７x＝１６x＋５ ２ x ２ ＋７x－１６x－５ ２＝０ x ２ －９x－５２＝０ x （ x＋４） （ x－１ ３） ＝０ x＝－４，１３ ただし x は自然数なので，x＞０ したがって，x＝－４は問題に合わない。 x＝１３は問題に合う。 以上より，小さい方の自然数は１３なので，大きい方の自然数は， １ ３＋７＝２ ０ ２ 茨 ２けたの整数が奇数になるためには，十の位の数が何であっても，一の位の数が奇数に なればよい。 一の位の数が奇数になるのは，小さい方のサイコロの目の数が１，３， ５の３通りで，そ れぞれ十の位の数である大きい方のサイコロの目の数は１，２，３，４，５，６の６通りずつ なので，全部で ３×６＝１８ 〔通り〕 芋 ２けたの整数 （自然数） が持つ約数の個数が３個以上になるためには，約数の個数が１ 個や２個にならなければよい。 約数の個数が１個の自然数は１のみなので，このことはあり得ない。 また，約数の個数が２個の自然数は素数で，十の位の数と一の位の数がどちらも１以上６ 以下である素数は，１１，１ ３，２３，３ １，４１，４３，５３，６１の８個である。 ２けたの整数のすべての場合の数は６×６＝３６ 〔通り〕なので，求める確率は， －８ ７ ３６ ９ ３ ６ ＝ ３ 茨 点Ｑは毎秒１㎝ の速さで動くので，１０秒間では１０㎝ 動く。よって，点Ｑは辺ＡＣ上にあ る。 △ＡＱＢの底辺をＡＱとすると，底辺は１０㎝，高さは５㎝なので，その面積は， １ × 〔㎝２〕 ２ １０×５＝２５ 芋 ２点Ｐ，Ｑが出会うためには，これらの点が動いた距離の和が△ＡＢＣの周の長さである １ ３＋１ ２＋５＝３０ 〔㎝〕 になればよい。点Ｐ，Ｑはどちらも毎秒１㎝の速さで動くので，これらの点が動いた距離 の和が３ ０㎝になるのは ３ ０÷（１＋１）＝１ ５ 〔秒後〕 であり，どちらも頂点Ａから１５㎝ずつ動いている。出会う位置を点Ｐの動きによって求め ると， １ ５－１ ３＝２ 〔㎝〕 より，辺ＢＣ上の頂点Ｂから２㎝の位置である。 辺ＡＣを△ＡＰＣと△ＡＱＢの高さとすると，△ＡＰＣと△ＡＱＢの面積比は △ＡＰＣ：△ＡＱＢ＝ＰＣ：ＱＢ ＝（５－２）：２ ＝３：２ 鰯 点Ｐが辺ＢＣ上 （両端を含む）にある場合の x の変域は１３≦ x ≦１８で，△ＡＰＣの底辺をＰ Ｃとすると， ＰＣ＝１３＋５－ x ＝ （１ ８－ x 〔㎝〕 ） と表される。また，△ＡＰＣの高さであるＡＣ＝１２㎝なので， １ y＝ × ８－ x ）×１ ２ ２ （１ ＝－６x＋１０ ８ 【参考】 点Ｐが辺ＡＢ上にあるとき（０≦ x ≦１３）のことを問われた場合は，次のような手 順で解けばよい。 △ＡＰＣの底辺をＡＰとすると，高さが等しいことから， △ＡＰＣ：△ＡＢＣ＝ＡＰ：ＡＢ という比例式が成り立つ。△ＡＰＣの面積は y ㎝２， △ＡＢＣの面積は １ × 〔㎝２〕 ２ １２×５＝３０ であり，ＡＰ＝ x ㎝，ＡＢ＝１３㎝なので， y ：３ ０＝ x ：１ ３ この比例式を解いて， ０ y ＝３ １３x
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