Flächenträgheitsmomente

Flächenträgheitsmomente
y
z
Für Berechnung des Schwerpunktes von Flächen werden geometrische Momente
erster Ordnung verwendet:
∫∫ y dA, ∫∫ z dA
Analog sind geometrische Momente 2. Ordnung definiert:
2
z
∫∫ dA,
∫∫ yz dA,
2
y
∫∫ dA
In der Festigkeitslehre (TM2) repräsentieren diese Momente den geometrischen
Widerstand („Trägheit“) von Balkenquerschnitten gegen Biegung.
Sie heißen daher Flächenträgheitsmomente.
HAW Hamburg – MP – Ihlenburg – TM1/ Flächenträgheitsmomente
1
Flächenträgheitsmomente
1. Definition und Beispiele
2. Satz von Steiner
3. Drehung der Bezugsachsen, Hauptachsen und -momente
HAW Hamburg – MP – Ihlenburg – TM1/ Flächenträgheitsmomente
2
1. Definition und Beispiele
y
Axiale Flächenträgheitsmomente:
z
I y = ∫∫ z 2 dA,
I yz = − ∫∫ yz dA, I z = ∫∫ y 2 dA
Trägheitstensor:
 Iy
I=
 I yz
Polares Flächenträgheitsmoment:
I yz 
I z 
I p = ∫∫ y 2 + z 2 dA = I y + I z
HAW Hamburg – MP – Ihlenburg – TM1/ Flächenträgheitsmomente
3
Beispiel: Flächenträgheitsmomente für Rechteck und Kreisquerschnitt
Es sind die Flächenträgheitsmomente und der Trägheitstensor bezüglich der Achsen
durch den Flächenschwerpunkt zu berechnen
b
a)
y
h
z
R
b)
y
z
HAW Hamburg – MP – Ihlenburg – TM1/ Flächenträgheitsmomente
4
Regel: Symmetrieachsen
y
z
Für Querschnitte mit mindestens einer Symmetrieachse ist das Deviationsmoment bzgl.
eines im Schwerpunkt zentrierten KS gleich Null.
HAW Hamburg – MP – Ihlenburg – TM1/ Flächenträgheitsmomente
5
Einfache Querschnitte/ 1
HAW Hamburg – MP – Ihlenburg – TM1/ Flächenträgheitsmomente
Quelle: GHS S. 84
6
Einfache Querschnitte/ 2
HAW Hamburg – MP – Ihlenburg – TM1/ Flächenträgheitsmomente
Quelle: GHS S. 85
7
2. Satz von Steiner
z
Gegeben: Flächenträgheitsmomente
bezüglich Achsen durch Schwerpunkt des
Querschnitts.
z'
Gesucht: Momente bzgl. parallel
verschobener Achsen.
f
e
y'
Lösung: Koordinatentransformation
y' = y − f
z' = z −e
y
I y ' y ' = ∫ ( z ' ) dA = ∫ ( z − e ) dA = ∫ z 2 dA − 2e ∫ zdA + e2 ∫ dA
2
2
A
A
A
A
A
I y ' y ' = I yy + e 2 A
I z ' z ' = I zz + f 2 A
I y ' z ' = I yz − ef A
HAW Hamburg – MP – Ihlenburg – TM1/ Flächenträgheitsmomente
8
Beispiel: Flächenträgheitsmomente für Rechteck
Es sind die Flächenträgheitsmomente und der Trägheitstensor bezüglich der Achsen y , z zu berechnen
HAW Hamburg – MP – Ihlenburg – TM1/ Flächenträgheitsmomente
9
Regel: Zusammengesetzte Querschnitte
A = A1 + A2 + A3
A1
A2
2
2
z
dA
=
z
∫
∫ dA +
2
2
z
dA
+
z
∫
∫ dA
A
A2
→
A3
A1
A3
I ges = I1 + I 2 + I 3
Das Flächenträgheitsmoment des zusammengesetzten Querschnitts ist gleich der Summe der
Trägheitsmomente aller Teilflächen. Die Regel gilt analog für „Subtraktion von Querschnitten“.
Rm
Ri
Ra
y
z
t
HAW Hamburg – MP – Ihlenburg – TM1/ Flächenträgheitsmomente
10
Beispiel: Flächenträgheitsmomente eines T-Profils
Ges: Flächenträgheitsmomente und Trägheitstensor bezüglich des Schwerpunktes.
HAW Hamburg – MP – Ihlenburg – TM1/ Flächenträgheitsmomente
11
3. Drehung der Bezugsachsen
z
1
cos α
ζ
v
η
α
1
 y   cos α
v= =
 z   sin α
η   cos α
ζ  =  − sin α
  
sin α
α
− sin α z cos α
cos α 
 − sin α 
eη = 
, eζ = 


α
α
sin
cos




y
− sin α  η 
cos α  ζ 
sin α   y 
cos α   z 
HAW Hamburg – MP – Ihlenburg – TM1/ Flächenträgheitsmomente
12
Transformation eines Tensors bei Drehung des Bezugssystems
η   cos α
ζ  =  − sin α
  
sin α   y 
cos α   z 
[ v ]ηζ
= Q [ v ] yz (1)
Q
 Iy
I=
 I yz
[ I ]ηζ
I yz 
I z 
2α
α
2α
α
2α
α
HAW Hamburg – MP – Ihlenburg – TM1/ Flächenträgheitsmomente
= Q [ I ] yz Q T ( 2 )
( 2 ')
13
Hauptträgheitsmomente (1/2)
Frage: Für welchen Drehwinkel ergeben sich extremale Trägheitsmomente?
Lösung: Ableitung der Formeln (2‘) nach Winkel α.
( 3)
2α *
Nach Drehung um Winkel α gilt:
 I1
I=
0
0

I2 
HAW Hamburg – MP – Ihlenburg – TM1/ Flächenträgheitsmomente
14
Hauptträgheitsmomente (1/2)
Einsetzen von (3) in die Transformationsregeln (2‘) ergibt die Formel
( 4)
zur Berechnung der Hauptträgheiten im 1,2 System aus gegebenen Trägheiten im
beliebigen y,z System.
Regel: Symmetrieachsen sind Hauptachsen.
HAW Hamburg – MP – Ihlenburg – TM1/ Flächenträgheitsmomente
15
Beispiel (Klausur WS 09-10):
HAW Hamburg – MP – Ihlenburg – TM1/ Flächenträgheitsmomente
16

Download Report