7．行列式 8．逆行列

線型解析リファレンス４（情報科学１回生用）
７．行列式
2015 年版行列（線型写像）の「倍率」
Mn ： n 次行列（n × n 行列）全体
PMn ： n 次置換 (permutation) 行列全体 (∼
= Sn ), (縦横 1 が一つ）
T Mn ： n 次互換行列全体．
（互換 transposition：対角成分が丁度２つ 0 の置換行列 P . このとき、tP = P ）
(
)
定理 7.1. すべての置換は互換の積に分解され、その個数の偶奇性 parity は一意的．
阿弥陀籤定理
隣接互換のみで分解可能
{
1 (偶置換)even
で決める。
−1 (奇置換) odd
n
∏
行列 M = (aij ) の対角成分の積を π(M ) =
aii とするとき、行列式 determinant は
置換 U の符号 signature を sgn(U ) =
i=1
det M = |M | =
∑
sgn(U )π(U M ) =
U ∈PMn
∑
sgn(U )π(M U ).
U ∈PMn
（一般に置換行列 U について、π(M U ) = π(U M ) （互換 U から考えよ））定理 7.2. det 1n = 1,
det(M N ) = det M det N,
det tM = det M.
A(j, i, α) = 1n + αei ⊗ ej ： AM は M の j 行を α 倍して i 行に足した行列．det A = 1 (i ̸= j).
B(i, α) = 1n + (α − 1)ei ⊗ ei ： BM は M の i 行を α(̸= 0) 倍したもの． det B = α ．
これらと、互換行列
U （detU = −1)）による変形を合せて、基本変形と言う。
( Gaussian
elimination
. 基本変形を使って、三角行列または対角行列に変形して、行列式を
☆ 掃き出し法
ガウス消去法
求める。ただし、:::::::::::::::::::::::::::::::::::
互換で符号が入れ替わることと、B(i, α)::::::::::::::::::::::
では α 倍に変化しているので、注意が必要。
( n
)
∑
定理 7.3. xi ∈ Kn に対し， det
xi ⊗ ei = 0 ⇐⇒ { x1 , ..., xn }：線型従属
i=1
∑n
系. xi ∈ Kn に対し， det(
８．逆行列
i=1
xi ⊗ ei ) ̸= 0 ⇐⇒ { x1 , ..., xn }：基底
線型変換とその逆写像
T ∈ Mn に対し、∃S ∈ Mn ; T S = ST = 1n（単位行列）のとき、S を T の逆行列 inverse matrix といって
T −1 とかき、逆行列を持つ行列を正則行列 regular matrix であるという。 ☆ 逆行列の行変形による求め方. 原理は、(M, 1n ) → ∃Vj ：基本変形;
(V1 · · · Vk M, V1 · · · Vk ) = (1n , M −1 ).
M = (aij ) ∈ Mn に対して、 M (i, j) : M から i 行 j 列を除いた (n − 1) 次行列とするとき、aij の余因子
f = (c(aji )) を M の余因子行列という。
cofactor を c(aij ) = (−1)i+j det M (i, j) と決め、M
n
t
∑
f
M
(c(a
))
(c(a
))
ji
ij
定理 8.1. j 列余因子展開: det M =
aij c(aij ), M −1 =
=
=
(Cramer 公式).
det
M
det
M
det
M
i=1
☆ 行列式も逆行列も余因子展開で、機械的・再帰的に求められる。
系. M ：正則 ⇐⇒ det M ̸= 0．
一般の行列 M について，対応する線型写像 φM の像の次元 dimφM (V ) のことを行列 M の階数 rank といい、
rank M とかく。これは，行列内の線型独立な列 (または行) ベクトルの最大の個数。
定理
8.2.
線型写像 φM : V → W について、dim V = dim ker φM + rank M .
☆ 階数の求め方. どんな基本変形をしても階数は変わらないことを利用して、三角行列になるよう変形し、
対角にできる限り 0 でない成分を集める。その個数が階数！

Download Report