数学特論 B3 レポート課題 (5)
今野拓也 ∗
2015 年 11 月 5 日
5.1. (i) Euclid 完全数は三角数であることを示せ．
(ii) Euclid 完全数は六角数であることを示せ．
(iii) 6 より大きい Euclid 完全数は奇数の立方和
r
∑
(2k − 1)3 の形に書けることを証明
k=1
せよ．
5.2. Fermat 数 {Fn }n∈Z≥0 について次の問に答えよ．
n−1
∏
(i) 自然数 n に対して
Fk = Fn − 2 が成り立つことを証明せよ．
k=0
(ii) m ̸= n, ∈ Z≥0 のとき，Fm と Fn は互いに素であることを示せ．
5.3. (220, 284), (1184, 1210), (17296, 18416) は友愛数どうかを判定せよ．
5.4. (i) 19411963 + 19631991 は 7 で割り切れるかどうかを判定せよ．
(ii) 19385 を 31 で割ったときの余りを求めよ．
5.5. 授業で示した定理 5.9 を用いて次の問に答えよ．
(i) 691504249989 を 7 で割ったときの余りを求めよ．
(ii) 67911603138353 は 13 の倍数かどうかを判定せよ．
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