数学特論 B3 レポート課題 (5) 今野拓也 ∗ 2015 年 11 月 5 日 5.1. (i) Euclid 完全数は三角数であることを示せ. (ii) Euclid 完全数は六角数であることを示せ. (iii) 6 より大きい Euclid 完全数は奇数の立方和 r ∑ (2k − 1)3 の形に書けることを証明 k=1 せよ. 5.2. Fermat 数 {Fn }n∈Z≥0 について次の問に答えよ. n−1 ∏ (i) 自然数 n に対して Fk = Fn − 2 が成り立つことを証明せよ. k=0 (ii) m ̸= n, ∈ Z≥0 のとき,Fm と Fn は互いに素であることを示せ. 5.3. (220, 284), (1184, 1210), (17296, 18416) は友愛数どうかを判定せよ. 5.4. (i) 19411963 + 19631991 は 7 で割り切れるかどうかを判定せよ. (ii) 19385 を 31 で割ったときの余りを求めよ. 5.5. 授業で示した定理 5.9 を用いて次の問に答えよ. (i) 691504249989 を 7 で割ったときの余りを求めよ. (ii) 67911603138353 は 13 の倍数かどうかを判定せよ. ∗ 九州大学大学院数理学研究院。〒819-0395 福岡市西区元岡 744 番地 電子メール : [email protected] ホームページ : http://knmac.math.kyushu-u.ac.jp/konno/ 1
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