数学から見たおむすび～お弁当に入れるおむすびの詰め方

数学から見たおむすび
～お弁当に入れるおむすびの詰め方～
１．はじめに
皆さんはお弁当を持ってどこかに出かけることはあります
か。ピクニックなどのお出かけだけでなく、学校や会社にも
お弁当は活躍しているでしょう。
お弁当にはおむすびが入っていることが少なくはないと思
います。特に運動会やお花見といった多くの人が参加する行
事ではおむすびは食べ易さという点でもお弁当箱(大人数だと
重箱のほうが使われるかもしれないですが)に登場する機会が
多いでしょう。
今回はお弁当に入れるおむすびの詰め方を数学的視点から
見ていきたいと思います。
２．お弁当に入れるおむすびの詰め方は何通りある？
問題
おむすびが横に3個、縦に2個入る重箱がある。その重箱に海苔の巻い
てあるおむすびと海苔の巻いてないおむすびの２種類を合わせて6個用
意し、それらを次のルールに従って敷き詰めます。このとき何通りのお
むすびの詰め方があるでしょう。
以下では海苔の巻いてあるおむすびを🍙と表し、海苔の巻いてないおむ
すびを△と表します。
ルール①１種類のおむすびしか重箱に入っていないものも１通りとして
数えます。
ルール②お弁当の見栄えが良くなるように２種類のおむすびの内、片方
の種類のおむすびは重箱の左上に寄せて詰めて、もう片方の種
類のおむすびは右上に寄せて詰めるようにします。
良い例
悪い例
ルール③左上に寄せる方の種類のおむすびがｋ行目に𝑎𝑘 個あるとすると
𝒂𝒌 ≧ 𝒂𝒌+𝟏
となるようにします。つまり、下の行に行く程おむすびの個数
が
少なくなっていくようにします。
良い例
悪い例
実際に数えてみましょう。
よって答えは 18通りになります。
３．上記の問題を詳しく考えてみる
上の18通りのおむすびの詰め方を眺めてみて何か気付く
ことはないでしょうか。
まず上から1段目と2段目の重箱を見てみましょう。これ
は海苔の巻いてあるおむすびを左上に寄せ、海苔の巻いて
いないおむすびを右下に寄せた詰め方をすべて表していま
す。そして、これらの詰め方は海苔の巻いてあるおむすび
の詰め方が決まってしまえば、海苔の巻いてないおむすび
の詰め方は残りのスペースに詰めたらよいので唯一通りに
決まります。
次に1、2段目の重箱と3、4段目の重箱を見比べてみま
しょう。3、4段目の重箱は1、2段目の重箱の中のそれぞれ
の種類のおむすびをもう一方の種類のおむすびに変えたも
のになります。
このことからおむすびの詰め方の総数は
( 1個以上のおむすびを左上に寄せて詰める総数 ) × 2
になります。そして、
X ＝ (横に詰められるおむすびの個数) ＋
(縦に詰められるおむすびの個数)
Y ＝ (横に詰められるおむすびの個数)
と置くと、
( 1個以上のおむすびを左上に寄せて詰める総数 ) ＝ XCY
ということが数学的帰納法によっても示されています。
よって上記の問題の答えは
2 × (3+2C3－1) = 2 × (10 － 1)
= 2 × 9
= 18 通り
ということが分かりました。
４．最後に
今回取り上げた問題は数学の中では代数という分野に関する
知識を用いて考えることのできる内容になります。高校で習う
数Ⅰの「場合の数・確率」に近いものと言えば馴染みがあるよ
うに感じるでしょうか。
この問題ではおむすびの詰め方のルールを上記のように3つ
設定しましたが、お弁当箱の形を変えてみたり、詰めるおむす
びの種類を増やしてみたりすることによって、おむすびの詰め
方の総数は変わっていきますし、その際用いる式の形も様々存
在するでしょう。
おむすびを数学的視点から見る機会はあまり多くはないと
思いますが、私たちの身近に潜んでいる疑問の中には「数学
化」してみることによって解決への糸口が見つかるものもたく
さん存在すると思います。興味のある人は是非このような疑問
を探してみてはどうでしょうか。
ここまで読んでいただき、ありがとうございました。
本記事の担当：さとえり（奈良女子大学）

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