7・8 章チャレンジ問題 (1) ある症状に対する新薬を開発し、実用化に向けて 10 人に実験を行なった。血液中のある物の数値を それぞれこの新薬の使用前後で比較して − 1.9,− 0.8,− 1.1,− 0.1,0.1,− 4.4,− 5.5,− 1.6,− 4.6,− 3.4 という値を得た。この 10 個の観測値は正規分布からの無作為標本であると仮定して、比較値の平均の 95%信頼区間を求め、考察せよ。 解答) ・母分散 → 未知、n=10 < 30 なので、【手法 (3)】を選択 ・統計量 n = 10, X̄ = −2.33, s2 = 4.009, s = 2.002 ・区間推定 95%の信頼区間で、α=0.05 なので、t9 (0.025)=2.262 よって信頼区間は、 √ √ 4.009 4.009 −2.33 − 2.262 ≤ µ ≤ −2.33 + 2.262 ⇒ −3.762 ≤ µ ≤ −0.898 10 10 (2) ある大企業 A が男女の平均年収の差について調べることになった。無作為抽出で男子 50 名を選ん だところ、その平均収入 610 万、標準偏差 53 万円、女子 40 名では、その平均年収は 530 万円、標準 偏差 42 万円であった。男女の平均年収の差の 95 %の信頼区間を求めよ。 解答) ・2 つの独立した母集団の差の検定である。母分散 → 未知、n > 30 なので、【手法 (7)】を選択。 ・統計量 X:男子 Y:女子とする。 nX = 50, X̄ = 610(万), sX = 53, nY = 40, Ȳ = 530(万), sY = 42 ・区間推定 95%の信頼区間で、α=0.05 なので、z(0.025) = 1.96 よって信頼区間は、 √ √ 532 422 532 422 (610 − 530) − 1.96 + ≤ µX − µY ≤ (610 − 530) + 1.96 + 50 40 50 40 ⇒ 60.37 ≤ µX − µY ≤ 99.63 (3)8 章【例題4】の問題で、両者の分散が等しいと仮定できない場合の【手法 (9)】を利用して母平均 の差の 95 %の信頼区間を求めよ。 解答) c= 41.983 16 41.983 + 80.5 16 8 2 = 0.2068 0.2068 (1 − 0.2068)2 1 = + = 0.0927 m0 16 − 1 8−1 ∴ m0 = 1 = 10.783 , m = 11 0.0927 t1 1(0.025) = 2.201 なので信頼区間は、 √ √ 41.938 80.5 41.938 80.5 (27.375 − 35.75) − 2.201 + ≤ µX − µY ≤ (27.375 − 35.75) + 2.201 + 16 8 16 8 ⇒ −16.214 ≤ µX − µY ≤ −0.536 1 (4) 省略 (5)≪ 例題 8-1≫ で、数学の点の期待値が 80 点であるという仮定を否定できるか、有意水準 5%の片側 検定を行い、検討せよ。 解答) ・母分散 → 未知、n < 30 なので、【手法 (3)】を選択。 ・統計量 n = 15, X̄ = 73.467, s2 = 398.838, t0 = 73.467 − 80 √ 398.838 15 = −1.267 ・検定 有意水準 5%の片側検定なので、t14 (0.05) = 1.761。 よって t0 > −t14 (0.05) なので棄却できず、否定は出来ない。 (6) ボルトの精度を考慮して、分散を 2 未満に抑えることを目標として制作している。≪ 例題 8-2≫ の 7 つの標本のデータで、この目標を達成できたかを、有意水準 5%の片側検定を行い、結論を出せ。 解答) ・H0 : σ = 2.0 H1 : σ < 2.0(左片側検定) ・母平均 µ → 未知なので、【手法 (5)】を選択。 (7 − 1)0.326 ・統計量 n = 7, s2 = 0.326, σ = 2.0, χ20 = = 0.978 2.0 ・検定 有意水準 5%だが、左側検定なので、0.95 で見る。 χ26 (0.95) = 1.63538 より、χ20 < χ26 (0.95) なので、H0 は棄却、目標を達成出来たと言える。 2
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