還元公式次の公式は基本的なもので，“還元公式” とも呼ばれる． sin

還元公式
次の公式は基本的なもので，“還元公式” とも呼ばれる．
sin(2nπ + θ) = sin θ，
cos(2nπ + θ) = cos θ，
tan(nπ + θ) = tan θ
sin(−θ) = − sin θ，
(π
)
sin
± θ = cos θ，
2
(
π)
sin θ ±
= ± cos θ，
2
sin(π ± θ) = ∓ sin θ，
cos(−θ) = cos θ，
(π
)
cos
± θ = ∓ sin θ，
2
(
π)
cos θ ±
= ∓ sin θ，
2
cos(π ± θ) = − cos θ，
tan(−θ) = − tan θ
(π
)
1
tan
±θ =∓
2
tan θ
(
π)
1
tan θ ±
=−
2
tan θ
tan(π ± θ) = ± tan θ
sin(θ ± π) = − sin θ，
cos(θ ± π) = − cos θ，
tan(θ ± π) = tan θ
加法定理
加法定理の原型はトレミーの定理にまで遡るといわれる．
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β ，
tan(α ± β) =
tan α ± tan β
1 ∓ tan α tan β
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β ，
加法定理を並べて足し合わせることで，いわゆる “和・積の公式” が得られる．
}
1{
sin(α + β) + sin(α − β) ，
2
}
1{
cos α sin β =
sin(α + β) − sin(α − β) ，
2
}
1{
cos α cos β =
cos(α + β) + cos(α − β) ，
2
}
1{
sin α sin β = −
cos(α + β) − cos(α − β) ，
2
sin α cos β =
α+β
α−β
cos
2
2
α+β
α−β
sin α − sin β = 2 cos
sin
2
2
α+β
α−β
cos α + cos β = 2 cos
cos
2
2
α+β
α−β
cos α − cos β = −2 sin
sin
2
2
sin α + sin β = 2 sin
なお，加法定理，和・積の公式から次の恒等式が得られる：
• cos(α + β) cos(α − β) = cos2 α − sin2 β ，
sin(α + β) + cos(α − β) = (cos α + sin α)(cos α + sin α)
• sin(α + β) sin(α − β) = sin2 α − sin2 β = cos2 β − cos2 α，
倍角の公式・半角の公式
sin(α + β) cos(α − β) = cos2 α − sin2 β = cos2 β − sin2 α
加法定理で β = α とおくと，倍角の公式・半角の公式が得られる．
2 tan α
1 − tan2 α
3 tan α − tan3 α
sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α，
cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α，
tan 3α =
1 − 3 tan2 α
4 tan α − 4 sin3 α
sin 4α = 4 sin α cos α − 8 sin3 α cos α， cos 4α = 8 cos4 α − 8 cos2 α + 1， tan 4α =
tan4 α − 6 tan2 α + 1
sin 2α = 2 sin α cos α，
1 − cos α
α
=
，
2
2
1 − cos 2α
，
sin2 α =
2
3 sin α − sin 3α
sin3 α =
，
4
cos 4α + 12 cos 2α + 3
sin4 α =
，
8
sin2
cos 2α = 2 cos2 α − 1，
α
1 + cos α
=
，
2
2
1 + cos 2α
cos2 α =
，
2
3 cos α + cos 3α
cos3 α =
，
4
cos 4α + 4 cos 2α + 3
cos4 α =
，
8
cos2
tan 2α =
α
1 − cos α
=
2
1 + cos α
1 − cos 2α
tan2 α =
1 + cos 2α
3 sin α − sin 3α
tan3 α =
3 cos α + cos 3α
cos 4α + 12 cos 2α + 3
tan4 α =
cos 4α + 4 cos 2α + 3
tan2
by Makoto NAGURA

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