高3数 γ No. 11 積分（理系問題演習／柳生） 2014/6

高３数 γ
積分
No. 11
（理系問題演習／柳生）
（自習課題）
問 25 次の計算をせよ．
!
!
2
(1) sin xdx (2) sin3 xdx
(6)
!
(11)
!
(16)
!
(17)
!
(20)
!
(22)
!
2
cos xdx
(7)
2
tan xdx
2π
3
!
(12)
(3)
!
1
dx
sin x
(8)
!
1
dx
cos x
3
cos xdx
!
3
tan xdx
(4)
!
(9)
1
dx
sin2 x
!
(13)
!
1
dx
tan x
(19)
!
e−x sin xdx
1
dx
cos2 x
(14)
!
(5)
!
(10)
1
dx
tan2 x
sin x log (sin2 x)dx
π
3
e2x
dx
1 − ex
1
0
1
0
1
√
dx
1 + x2
x
dx
1 + x2
(18)
!
ex
dx
ex − 1
(21)
(23)
!
!
1
0
1
√
1 + x2 dx
0
dx
1 + x2
(24)
!
1
0
dx
(1 + x2 )2
(25)
!
1
0
dx
(1 + x2 )3
1
dx
sin3 x
!
1
dx
cos3 x
(15)
!
1
dx
tan3 x
2014/6/25
（自習課題）
問 26 次の計算をせよ．
!
!
(2 tan x + 1)2
4
(1) tan xdx (2)
dx
cos2 x
(6)
!
(10)
(14)
(18)
(22)
2
x tan xdx
!
!
!
!
dx
x2 − 4
(7)
(11)
!
!
2
0
2π
x2 log (x3 + 1)
dx
1 + x3
√
1 + cos xdx
| sin x + cos x|dx
π
2
3
sin xdx
− π2
2
1
dx
2
x − 2x + 2
(19)
!
(15)
1
0
(23)
!
π
2
(12)
π
2
0
0
!
dx
x3 + 8
!
√
x sin xdx
3
1 − sin x
dx
1 + sin x
(20)
0
(24)
dx
cos4 x
(5)
2
2x + 1
dx
x2 + 1
− π2
π
4
!
x log (x + 1)dx
(16)
!
(4)
2
1
2
e2x
dx
(ex + 1)2
!
1
(8)
0
π
0
(3)
!
!
π
2
0
2
1
dx
x
e −1
(21)
(25)
!
0
π
0
sin4 xdx
dx
4
2
−1 x + 2x + 1
π
2
!
dx
1 + sin x
1
cos 2x
dx
sin x + cos x
sin3 x
dx
cos2 x
!
(13)
!
(9)
!
!
(17)
!
1
log (x2 + 1)dx
0
dx
1 + cos x
x sin3 x
dx
1 + cos2 x
（平成１２年京大）
問 27
数列 {cn } を次の式で定める．cn = (n + 1)
このとき，次の問いに答えよ．
!
1
0
xn cos πxdx (n = 1, 2, 3, · · · )
(1) cn と cn+2 の関係を求めよ．
(2) lim cn を求めよ．
n→∞
(3) (2) で求めた極限値を c とするとき， lim
n→∞
cn+1 − c
を求めよ．
cn − c
（平成１６年高知大）
1
問 28 n を自然数とする．数列 {an } を an =
n!
0! = 1 とする．
! 1
(1) 0 !
tn e−t dt ! 1 − e−1 を示せ．
0
(2) lim an = 0 を示せ．
n→∞
1
(3) an+1 = an −
を示せ．
(n + 1)!e
∞
"
1
(4) e =
を示せ．
n!
n=0
!
1
0
tn e−t dt で定める．次の問いに答えよ．ただし，

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