ソフィー・ジェルマン素数について
愛犬ベルのために
最新 2016 年 1 月 30 日
1 更新履歴
初版 2015 年 6 月 20 日
2015 年 6 月 21 日
2015 年 6 月 27 日
2015 年 7 月 5 日
2015 年 7 月 11 日
2016 年 1 月 30 日
2 はじめに
ソフィー・ジェルマン素数とは、ある素数 P において、2P + 1 も素数ならば、ソフィー・ジェ
ルマン素数というそうです。そして、素数 2P + 1 を安全素数というそうです。こんなものが何の
役に立つのかわかりませんが、これについて、ボケ防止の算数ごっこをしてみましょう。なお、難
しい計算は Maxima というフリーの数式処理言語を使っています。
では、P=2 から初めてみましょう。
P =2
2P + 1 = 2 × 2 + 1 = 5
3 では
P =3
2P + 1 = 2 × 3 + 1 = 7
5 では
P =5
2P + 1 = 2 × 5 + 1 = 11
みな、ソフィー・ジェルマン素数ですね。
1
では、7 では
P =7
2P + 1 = 2 × 7 + 1 = 15
おや、これは 15 = 3 × 5 ですから素数ではありませんね。
3 素数候補式
素数を片っ端から調べるのは、非効率です。そこで、素数を生成する式ではないのですが素数候
補式がありますので、それを使って、不要なものを削除することを考えます。
3.1 2, 3 を除いた素数候補式
2, 3 を除いた素数候補式は 6n + 1, 6n + 5 です。
たとえば、6n + 0, 6n + 1, 6n + 2, 6n + 3, 6n + 4, 6n + 5 において、6n + 0, 6n + 2, 6n + 4 は
２の倍数ですね。また、6n + 3 は 3 の倍数です。ですから、2, 3 を除いた素数候補式は、残った
6n + 1, 6n + 5 となるわけです。
P = 6n + 1
2P + 1 = 2(6n + 1) + 1 = 12n + 2 + 1 = 3(4n + 1)
となりますから、3 の倍数になり、素数にはなりませんのでソフィー・ジェルマン素数にはなりま
せん。
P = 6n + 5
2P + 1 = 2(6n + 5) + 1 = 12n + 10 + 1 = 12n + 11 = 6m + 5
となりますから、ソフィー・ジェルマン素数になる可能性があります。
このままでは半分しか削減できませんので、もっと精度のの高い素数候補式を考えてみましょう。
3.2 2, 3, 5 を除いた素数候補式
2, 3, 5 を除いた素数候補式は、30n + 1, 30n + 7, 30n + 11, 30n + 13, 30n + 17, 30n + 19, 30n +
23, 30n + 29 です。
先ほどと同じように、30n + 0, 30n + 2, 30n + 4, 30n + 6,・・・, 30n + 26, 30n + 28 は２の倍数
ですね。また、残ったうち、30n + 3, 30n + 9, 30n + 15, 30n + 21, 30n + 27 は 3 の倍数です。そ
して、さらに、3n + 5, 30n + 25 は 5 の倍数ですね。すると、残るのは、30n + 1, 30n + 7, 30n +
11, 30n + 13, 30n + 17, 30n + 19, 30n + 23, 30n + 29 の 8 つだけですね。
P = 30n + 1
2
2P + 1 = 2(30n + 1) + 1 = 60n + 2 + 1 = 3(20n + 1)
となりますから、3 の倍数になり、素数にはなりませんのでソフィー・ジェルマン素数にはなりま
せん。
P = 30n + 7
2P + 1 = 2(30n + 7) + 1 = 60n + 14 + 1 = 15(4n + 1)
となりますから、15 の倍数になり、素数にはなりませんのでソフィー・ジェルマン素数にはなり
ません。
P = 30n + 11
2P + 1 = 2(30n + 11) + 1 = 60n + 22 + 1 = 60n + 23 = 30m + 23
となりますから、ソフィー・ジェルマン素数になる可能性があります。
P = 30n + 17
2P + 1 = 2(30n + 17) + 1 = 60n + 34 + 1 = 5(12n + 7)
となりますから、5 の倍数になり、素数にはなりませんのでソフィー・ジェルマン素数にはなりま
せん。
P = 30n + 19
2P + 1 = 2(30n + 19) + 1 = 60n + 38 + 1 = 3(20n + 13)
となりますから、3 の倍数になり、素数にはなりませんのでソフィー・ジェルマン素数にはなりま
せん。
P = 30n + 23
2P + 1 = 2(30n + 23) + 1 = 60n + 46 + 1 = 60n + 47 = 30m + 17
となりますから、ソフィー・ジェルマン素数になる可能性があります。
P = 30n + 29
2P + 1 = 2(30n + 29) + 1 = 60n + 58 + 1 = 60n + 59 = 30m + 29
となりますから、ソフィー・ジェルマン素数になる可能性があります。
したがって、ソフィー・ジェルマン素数になる可能性があるのは
• 30n + 11
• 30n + 23
• 30n + 29
です。
8 つから 3 つに絞れましたが、もっと精度のの高い素数候補式を考えてみましょう。
3
3.3 2, 3, 5, 7 を除いた素数候補式
2, 3, 5, 7 を除いた素数候補式は、210n + Q です。Q の値は以下のとおり。
1 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47
53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103
107 109 113 121 127 131 137 139 143 149 151 157
163 167 169 173 179 181 187 191 193 197 199 209
の 48 個です。
計算の詳細は別紙参照
ソフィー・ジェルマン素数について (2, 3, 5, 7 を除いた素数候補式)
したがって、ソフィー・ジェルマン素数になる可能性があるのは
• 210n + 11
• 210n + 23
• 210n + 29
• 210n + 41
• 210n + 53
• 210n + 71
• 210n + 83
• 210n + 89
• 210n + 113
• 210n + 131
• 210n + 149
• 210n + 173
• 210n + 179
• 210n + 191
• 210n + 209
です。
3.3.1
210n+11 のソフィー・ジェルマン素数
210n + 11 のソフィー・ジェルマン素数は以下に例を示す。
(%i1) n:1;
(%o1)
(%i2) P:210*n+11;
(%o2)
(%i3) factor(P);
1
221
4
(%o3)
(%i4)
(%o4)
(%i5)
(%o5)
(%i6)
(%o6)
(%i7)
(%o7)
13 17 P は素数でない
n:2;
2
P:210*n+11;
431 factor(P);
431
P は素数
factor(2*P+1);
863 2P+1 は素数。431 と 863 はソフ
ィー・ジェルマン素数
(%i8) n:3;
(%o8)
(%i9) P:210*n+11;
(%o9)
(%i10) factor(P);
(%o10)
(%i11) factor(2*P+1);
(%o11)
3
641 641 P は素数
1283 2P+1 は素数。641 と 1283 はソフ
ィー・ジェルマン素数
(%i12)
(%o12)
(%i13)
(%o13)
(%i14)
(%o14)
(%i15)
(%o15)
(%i16)
(%o16)
(%i17)
(%o17)
(%i18)
(%o18)
n:4;
4
P:210*n+11;
851
factor(P);
23 37 P は素数でない
n:5;
5
P:210*n+11;
1061
factor(P);
1061 P は素数
factor(2*P+1);
11 193 2P+1 は素数でない
3.3.2 210n+23 のソフィー・ジェルマン素数
210n + 23 のソフィー・ジェルマン素数は以下に例を示す。
(%i1)
(%o1)
(%i2)
(%o2)
(%i3)
(%o3)
(%i4)
(%o4)
n:1;
1
P:210*n+23;
233
factor(P);
233 P は素数
factor(2*P+1);
467 2P+1 は素数。233 と 467 はソフィー・
ジェルマン素数
(%i5) n:2;
5
(%o5)
(%i7) P:210*n+23;
(%o7)
(%i8) factor(P);
(%o8)
(%i9) factor(2*P+1);
(%o9)
2
443
443 P は素数
887 2P+1 は素数。443 と 887 はソフィー・
ジェルマン素数
(%i10)
(%o10)
(%i11)
(%o11)
(%i12)
(%o12)
(%i13)
(%o13)
n:3;
3
P:210*n+23;
653
factor(P);
653 P は素数
factor(2*P+1);
1307 2P+1 は 素 数 。653 と 1307 は ソ
フィー・ジェルマン素数
(%i14)
(%o14)
(%i15)
(%o15)
(%i16)
(%o16)
(%i17)
(%o17)
(%i18)
(%o18)
(%i19)
(%o19)
(%i20)
(%o20)
n:4;
4
P:210*n+23;
863
factor(P);
863 P は素数
factor(2*P+1);
11 157 2P+1 は素数でない
n:5;
5
P:210*n+23;
1073
factor(P);
29 37 P は素数でない
もうこのへんで終わりにします。
48 から 15 に絞れましたが、もっと精度のの高い素数候補式を考えてみましょう。
3.4 2, 3, 5, 7, 11 を除いた素数候補式
2, 3, 5, 7, 11 を除いた素数候補式は、2310n + Q です。Q の値は以下のとおり。
1 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53
59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107
109 113 127 131 137 139 149 151 157 163
173 179 181 191 193 197 199 211 221 223
233 239 241 247 251 257 263 269 271 277
289 293 299 307 311 313 317 323 331 337
353 359 361 367 373 377 379 383 389 391
403 409 419 421 431 433 437 439 443 449
463 467 479 481 487 491 493 499 503 509
6
167
227
281
347
397
457
521
169
229
283
349
401
461
523
527 529 533 541 547 551 557 559 563 569 571 577
587 589 593 599 601 607 611 613 617 619 629 631
641 643 647 653 659 661 667 673 677 683 689 691
697 701 703 709 713 719 727 731 733 739 743 751
757 761 767 769 773 779 787 793 797 799 809 811
817 821 823 827 829 839 841 851 853 857 859 863
871 877 881 883 887 893 899 901 907 911 919 923
929 937 941 943 947 949 953 961 967 971 977 983
989 991 997 1003 1007 1009 1013 1019 1021 1027 1031 1033
1037 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1073 1079 1081 1087 1091
1093 1097 1103 1109 1117 1121 1123 1129 1139 1147 1151 1153
1157 1159 1163 1171 1181 1187 1189 1193 1201 1207 1213 1217
1219 1223 1229 1231 1237 1241 1247 1249 1259 1261 1271 1273
1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1313 1319 1321
1327 1333 1339 1343 1349 1357 1361 1363 1367 1369 1373 1381
1387 1391 1399 1403 1409 1411 1417 1423 1427 1429 1433 1439
1447 1451 1453 1457 1459 1469 1471 1481 1483 1487 1489 1493
1499 1501 1511 1513 1517 1523 1531 1537 1541 1543 1549 1553
1559 1567 1571 1577 1579 1583 1591 1597 1601 1607 1609 1613
1619 1621 1627 1633 1637 1643 1649 1651 1657 1663 1667 1669
1679 1681 1691 1693 1697 1699 1703 1709 1711 1717 1721 1723
1733 1739 1741 1747 1751 1753 1759 1763 1769 1777 1781 1783
1787 1789 1801 1807 1811 1817 1819 1823 1829 1831 1843 1847
1849 1853 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889 1891 1901 1907
1909 1913 1919 1921 1927 1931 1933 1937 1943 1949 1951 1957
1961 1963 1973 1979 1987 1993 1997 1999 2003 2011 2017 2021
2027 2029 2033 2039 2041 2047 2053 2059 2063 2069 2071 2077
2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2117 2119 2129 2131 2137
2141 2143 2147 2153 2159 2161 2171 2173 2179 2183 2197 2201
2203 2207 2209 2213 2221 2227 2231 2237 2239 2243 2249 2251
2257 2263 2267 2269 2273 2279 2281 2287 2291 2293 2297 2309
の 480 個です。
計算の詳細は別紙参照
ソフィー・ジェルマン素数について (2, 3, 5, 7, 11 を除いた素数候補式)
したがって、ソフィー・ジェルマン素数になる可能性があるのは
• 2310n + 23 結果 2310n + 47
• 2310n + 29 結果 2310n + 59
• 2310n + 41 結果 2310n + 83
• 2310n + 53 結果 2310n + 107
• 2310n + 83 結果 2310n + 167
• 2310n + 89 結果 2310n + 179
• 2310n + 113 結果 2310n + 227
7
• 2310n + 131 結果 2310n + 263
• 2310n + 149 結果 2310n + 299
• 2310n + 173 結果 2310n + 347
• 2310n + 179 結果 2310n + 359
• 2310n + 191 結果 2310n + 383
• 2310n + 221 結果 2310n + 443
• 2310n + 233 結果 2310n + 467
• 2310n + 239 結果 2310n + 479
• 2310n + 251 結果 2310n + 503
• 2310n + 263 結果 2310n + 527
• 2310n + 281 結果 2310n + 563
• 2310n + 293 結果 2310n + 587
• 2310n + 299 結果 2310n + 599
• 2310n + 323 結果 2310n + 647
• 2310n + 359 結果 2310n + 719
• 2310n + 383 結果 2310n + 767
• 2310n + 389 結果 2310n + 779
• 2310n + 419 結果 2310n + 839
• 2310n + 431 結果 2310n + 863
• 2310n + 443 結果 2310n + 887
• 2310n + 449 結果 2310n + 899
• 2310n + 461 結果 2310n + 923
• 2310n + 491 結果 2310n + 983
• 2310n + 503 結果 2310n + 1007
• 2310n + 509 結果 2310n + 1019
• 2310n + 551 結果 2310n + 1103
• 2310n + 569 結果 2310n + 1139
• 2310n + 593 結果 2310n + 1187
• 2310n + 611 結果 2310n + 1223
• 2310n + 629 結果 2310n + 1259
• 2310n + 641 結果 2310n + 1283
• 2310n + 653 結果 2310n + 1307
• 2310n + 659 結果 2310n + 1319
• 2310n + 683 結果 2310n + 1367
• 2310n + 701 結果 2310n + 1403
• 2310n + 713 結果 2310n + 1427
• 2310n + 719 結果 2310n + 1439
8
• 2310n + 743 結果 2310n + 1487
• 2310n + 761 結果 2310n + 1523
• 2310n + 779 結果 2310n + 1559
• 2310n + 809 結果 2310n + 1619
• 2310n + 821 結果 2310n + 1643
• 2310n + 839 結果 2310n + 1679
• 2310n + 851 結果 2310n + 1703
• 2310n + 881 結果 2310n + 1763
• 2310n + 893 結果 2310n + 1787
• 2310n + 911 結果 2310n + 1823
• 2310n + 923 結果 2310n + 1847
• 2310n + 953 結果 2310n + 1907
• 2310n + 971 結果 2310n + 1943
• 2310n + 989 結果 2310n + 1979
• 2310n + 1013 結果 2310n + 2027
• 2310n + 1019 結果 2310n + 2039
• 2310n + 1031 結果 2310n + 2063
• 2310n + 1049 結果 2310n + 2099
• 2310n + 1073 結果 2310n + 2147
• 2310n + 1079 結果 2310n + 2159
• 2310n + 1091 結果 2310n + 2183
• 2310n + 1103 結果 2310n + 2207
• 2310n + 1121 結果 2310n + 2243
• 2310n + 1139 結果 2310n + 2279
• 2310n + 1163 結果 2310n + 17
• 2310n + 1181 結果 2310n + 53
• 2310n + 1223 結果 2310n + 137
• 2310n + 1229 結果 2310n + 149
• 2310n + 1241 結果 2310n + 173
• 2310n + 1271 結果 2310n + 233
• 2310n + 1283 結果 2310n + 257
• 2310n + 1289 結果 2310n + 269
• 2310n + 1301 結果 2310n + 293
• 2310n + 1313 結果 2310n + 317
• 2310n + 1343 結果 2310n + 377
• 2310n + 1349 結果 2310n + 389
• 2310n + 1373 結果 2310n + 437
9
• 2310n + 1409 結果 2310n + 509
• 2310n + 1433 結果 2310n + 557
• 2310n + 1439 結果 2310n + 569
• 2310n + 1451 結果 2310n + 593
• 2310n + 1469 結果 2310n + 629
• 2310n + 1481 結果 2310n + 653
• 2310n + 1493 結果 2310n + 677
• 2310n + 1499 結果 2310n + 689
• 2310n + 1511 結果 2310n + 713
• 2310n + 1541 結果 2310n + 773
• 2310n + 1553 結果 2310n + 797
• 2310n + 1559 結果 2310n + 809
• 2310n + 1583 結果 2310n + 857
• 2310n + 1601 結果 2310n + 893
• 2310n + 1619 結果 2310n + 929
• 2310n + 1643 結果 2310n + 977
• 2310n + 1649 結果 2310n + 989
• 2310n + 1679 結果 2310n + 1049
• 2310n + 1691 結果 2310n + 1073
• 2310n + 1703 結果 2310n + 1097
• 2310n + 1709 結果 2310n + 1109
• 2310n + 1733 結果 2310n + 1157
• 2310n + 1751 結果 2310n + 1193
• 2310n + 1763 結果 2310n + 1217
• 2310n + 1769 結果 2310n + 1229
• 2310n + 1811 結果 2310n + 1313
• 2310n + 1829 結果 2310n + 1349
• 2310n + 1871 結果 2310n + 1433
• 2310n + 1889 結果 2310n + 1469
• 2310n + 1901 結果 2310n + 1493
• 2310n + 1913 結果 2310n + 1517
• 2310n + 1931 結果 2310n + 1553
• 2310n + 1943 結果 2310n + 1577
• 2310n + 1961 結果 2310n + 1613
• 2310n + 1973 結果 2310n + 1637
• 2310n + 1979 結果 2310n + 1649
• 2310n + 2003 結果 2310n + 1697
10
• 2310n + 2021 結果 2310n + 1733
• 2310n + 2039 結果 2310n + 1769
• 2310n + 2063 結果 2310n + 1817
• 2310n + 2069 結果 2310n + 1829
• 2310n + 2081 結果 2310n + 1853
• 2310n + 2099 結果 2310n + 1889
• 2310n + 2111 結果 2310n + 1913
• 2310n + 2129 結果 2310n + 1949
• 2310n + 2141 結果 2310n + 1973
• 2310n + 2153 結果 2310n + 1997
• 2310n + 2171 結果 2310n + 2033
• 2310n + 2213 結果 2310n + 2117
• 2310n + 2231 結果 2310n + 2153
• 2310n + 2273 結果 2310n + 2237
• 2310n + 2279 結果 2310n + 2249
• 2310n + 2291 結果 2310n + 2273
• 2310n + 2309 結果 2310n + 2309
です。
3.5 2, 3, 5, 7, 11, 13 を除いた素数候補式
2, 3, 5, 7, 11, 13 を除いた素数候補式は、30030n + Q です。Q は 5760 個です。
• 30030n + 23 結果 30030n + 47
• 30030n + 29 結果 30030n + 59
• 30030n + 41 結果 30030n + 83
• 30030n + 53 結果 30030n + 107
• 30030n + 83 結果 30030n + 167
• 30030n + 89 結果 30030n + 179
• 30030n + 113 結果 30030n + 227
• 30030n + 131 結果 30030n + 263
• 30030n + 173 結果 30030n + 347
• 30030n + 179 結果 30030n + 359
• 30030n + 191 結果 30030n + 383
• 30030n + 233 結果 30030n + 467
• 30030n + 239 結果 30030n + 479
• 30030n + 251 結果 30030n + 503
11
• 30030n + 263 結果 30030n + 527
• 30030n + 281 結果 30030n + 563
• 30030n + 293 結果 30030n + 587
• 30030n + 323 結果 30030n + 647
• 30030n + 359 結果 30030n + 719
• 30030n + 389 結果 30030n + 779
• 30030n + 419 結果 30030n + 839
• 30030n + 431 結果 30030n + 863
• 30030n + 443 結果 30030n + 887
• 30030n + 449 結果 30030n + 899
• 30030n + 491 結果 30030n + 983
• 30030n + 503 結果 30030n + 1007
• 30030n + 509 結果 30030n + 1019
• 30030n + 551 結果 30030n + 1103
• 30030n + 569 結果 30030n + 1139
• 30030n + 593 結果 30030n + 1187
• 30030n + 629 結果 30030n + 1259
• 30030n + 641 結果 30030n + 1283
• 30030n + 653 結果 30030n + 1307
• 30030n + 659 結果 30030n + 1319
• 30030n + 683 結果 30030n + 1367
• 30030n + 701 結果 30030n + 1403
• 30030n + 713 結果 30030n + 1427
• 30030n + 719 結果 30030n + 1439
• 30030n + 743 結果 30030n + 1487
• 30030n + 761 結果 30030n + 1523
• 30030n + 779 結果 30030n + 1559
• 30030n + 809 結果 30030n + 1619
• 30030n + 821 結果 30030n + 1643
• 30030n + 839 結果 30030n + 1679
• 30030n + 881 結果 30030n + 1763
• 30030n + 893 結果 30030n + 1787
• 30030n + 911 結果 30030n + 1823
• 30030n + 953 結果 30030n + 1907
• 30030n + 971 結果 30030n + 1943
• 30030n + 989 結果 30030n + 1979
• 30030n + 1013 結果 30030n + 2027
12
• 30030n + 1019 結果 30030n + 2039
• 30030n + 1031 結果 30030n + 2063
• 30030n + 1049 結果 30030n + 2099
• 30030n + 1073 結果 30030n + 2147
• 30030n + 1091 結果 30030n + 2183
• 30030n + 1103 結果 30030n + 2207
• 30030n + 1121 結果 30030n + 2243
• 30030n + 1139 結果 30030n + 2279
• 30030n + 1181 結果 30030n + 2363
• 30030n + 1223 結果 30030n + 2447
• 30030n + 1229 結果 30030n + 2459
• 30030n + 1271 結果 30030n + 2543
• 30030n + 1283 結果 30030n + 2567
• 30030n + 1289 結果 30030n + 2579
• 30030n + 1301 結果 30030n + 2603
• 30030n + 1343 結果 30030n + 2687
• 30030n + 1349 結果 30030n + 2699
• 30030n + 1373 結果 30030n + 2747
• 30030n + 1409 結果 30030n + 2819
• 30030n + 1433 結果 30030n + 2867
• 30030n + 1439 結果 30030n + 2879
• 30030n + 1451 結果 30030n + 2903
• 30030n + 1481 結果 30030n + 2963
• 30030n + 1493 結果 30030n + 2987
• 30030n + 1499 結果 30030n + 2999
• 30030n + 1511 結果 30030n + 3023
• 30030n + 1541 結果 30030n + 3083
• 30030n + 1559 結果 30030n + 3119
• 30030n + 1583 結果 30030n + 3167
• 30030n + 1601 結果 30030n + 3203
• 30030n + 1619 結果 30030n + 3239
• 30030n + 1643 結果 30030n + 3287
• 30030n + 1649 結果 30030n + 3299
• 30030n + 1679 結果 30030n + 3359
• 30030n + 1691 結果 30030n + 3383
• 30030n + 1733 結果 30030n + 3467
• 30030n + 1751 結果 30030n + 3503
13
• 30030n + 1763 結果 30030n + 3527
• 30030n + 1769 結果 30030n + 3539
• 30030n + 1811 結果 30030n + 3623
• 30030n + 1829 結果 30030n + 3659
• 30030n + 1871 結果 30030n + 3743
• 30030n + 1889 結果 30030n + 3779
• 30030n + 1901 結果 30030n + 3803
• 30030n + 1913 結果 30030n + 3827
• 30030n + 1931 結果 30030n + 3863
• 30030n + 1961 結果 30030n + 3923
• 30030n + 1979 結果 30030n + 3959
• 30030n + 2003 結果 30030n + 4007
• 30030n + 2039 結果 30030n + 4079
• 30030n + 2063 結果 30030n + 4127
• 30030n + 2069 結果 30030n + 4139
• 30030n + 2081 結果 30030n + 4163
• 30030n + 2111 結果 30030n + 4259
• 30030n + 2141 結果 30030n + 4283
• 30030n + 2153 結果 30030n + 4307
• 30030n + 2213 結果 30030n + 4427
• 30030n + 2231 結果 30030n + 4463
• 30030n + 2273 結果 30030n + 4547
• 30030n + 2279 結果 30030n + 4559
• 30030n + 2291 結果 30030n + 4583
• 30030n + 2309 結果 30030n + 4619
• 30030n + 2339 結果 30030n + 4679
• 30030n + 2351 結果 30030n + 4703
• 30030n + 2363 結果 30030n + 4727
• 30030n + 2393 結果 30030n + 4787
• 30030n + 2399 結果 30030n + 4799
• 30030n + 2423 結果 30030n + 4847
• 30030n + 2441 結果 30030n + 4883
• 30030n + 2459 結果 30030n + 4919
• 30030n + 2501 結果 30030n + 5003
• 30030n + 2531 結果 30030n + 5063
• 30030n + 2543 結果 30030n + 5087
• 30030n + 2549 結果 30030n + 5099
14
• 30030n + 2573 結果 30030n + 5147
• 30030n + 2591 結果 30030n + 5183
• 30030n + 2603 結果 30030n + 5207
• 30030n + 2609 結果 30030n + 5219
• 30030n + 2633 結果 30030n + 5267
• 30030n + 2669 結果 30030n + 5339
• 30030n + 2693 結果 30030n + 5387
• 30030n + 2699 結果 30030n + 5399
• 30030n + 2729 結果 30030n + 5459
• 30030n + 2741 結果 30030n + 5483
• 30030n + 2753 結果 30030n + 5507
• 30030n + 2759 結果 30030n + 5519
• 30030n + 2771 結果 30030n + 5543
• 30030n + 2813 結果 30030n + 5627
• 30030n + 2819 結果 30030n + 5639
• 30030n + 2861 結果 30030n + 5723
• 30030n + 2903 結果 30030n + 5807
• 30030n + 2921 結果 30030n + 5843
• 30030n + 2939 結果 30030n + 5879
• 30030n + 2963 結果 30030n + 5927
• 30030n + 2969 結果 30030n + 5939
• 30030n + 2993 結果 30030n + 5987
• 30030n + 3011 結果 30030n + 6023
• 30030n + 3023 結果 30030n + 6047
• 30030n + 3053 結果 30030n + 6107
• 30030n + 3071 結果 30030n + 6143
• 30030n + 3089 結果 30030n + 6179
• 30030n + 3119 結果 30030n + 6239
• 30030n + 3131 結果 30030n + 6263
• 30030n + 3149 結果 30030n + 6299
• 30030n + 3161 結果 30030n + 6323
• 30030n + 3203 結果 30030n + 6407
• 30030n + 3221 結果 30030n + 6443
• 30030n + 3233 結果 30030n + 6467
• 30030n + 3281 結果 30030n + 6563
• 30030n + 3299 結果 30030n + 6599
• 30030n + 3323 結果 30030n + 6647
15
• 30030n + 3329 結果 30030n + 6659
• 30030n + 3359 結果 30030n + 6719
• 30030n + 3383 結果 30030n + 6767
• 30030n + 3389 結果 30030n + 6779
• 30030n + 3401 結果 30030n + 6803
• 30030n + 3413 結果 30030n + 6827
• 30030n + 3431 結果 30030n + 6863
• 30030n + 3499 結果 30030n + 6899
• 30030n + 3473 結果 30030n + 6947
• 30030n + 3491 結果 30030n + 6983
• 30030n + 3533 結果 30030n + 7067
• 30030n + 3539 結果 30030n + 7079
• 30030n + 3551 結果 30030n + 7103
• 30030n + 3593 結果 30030n + 7187
• 30030n + 3599 結果 30030n + 7199
• 30030n + 3611 結果 30030n + 7223
• 30030n + 3623 結果 30030n + 7247
• 30030n + 3683 結果 30030n + 7367
• 30030n + 3719 結果 30030n + 7439
• 30030n + 3743 結果 30030n + 7487
• 30030n + 3749 結果 30030n + 7499
• 30030n + 3761 結果 30030n + 7523
• 30030n + 3779 結果 30030n + 7559
• 30030n + 3791 結果 30030n + 7583
• 30030n + 3803 結果 30030n + 7607
• 30030n + 3821 結果 30030n + 7643
• 30030n + 3851 結果 30030n + 7703
• 30030n + 3863 結果 30030n + 7727
• 30030n + 3869 結果 30030n + 7739
• 30030n + 3911 結果 30030n + 7823
• 30030n + 3929 結果 30030n + 7859
• 30030n + 3953 結果 30030n + 7907
• 30030n + 3959 結果 30030n + 7919
• 30030n + 3989 結果 30030n + 7979
• 30030n + 4001 結果 30030n + 8003
• 30030n + 4013 結果 30030n + 8027
• 30030n + 4019 結果 30030n + 8039
16
• 30030n + 4061 結果 30030n + 8123
• 30030n + 4073 結果 30030n + 8147
• 30030n + 4079 結果 30030n + 8159
• 30030n + 4139 結果 30030n + 8279
• 30030n + 4181 結果 30030n + 8363
• 30030n + 4211 結果 30030n + 8423
• 30030n + 4223 結果 30030n + 8447
• 30030n + 4241 結果 30030n + 8483
• 30030n + 4253 結果 30030n + 8507
• 30030n + 4271 結果 30030n + 8543
• 30030n + 4289 結果 30030n + 8579
• 30030n + 4313 結果 30030n + 8627
• 30030n + 4331 結果 30030n + 8663
• 30030n + 4349 結果 30030n + 8699
• 30030n + 4373 結果 30030n + 8747
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• 30030n + 28673 結果 30030n + 57347− > 30030n + 27317
• 30030n + 28709 結果 30030n + 57419− > 30030n + 27389
• 30030n + 28733 結果 30030n + 57467− > 30030n + 27437
• 30030n + 28739 結果 30030n + 57479− > 30030n + 27449
• 30030n + 28751 結果 30030n + 57503− > 30030n + 27473
• 30030n + 28793 結果 30030n + 57587− > 30030n + 27557
• 30030n + 28799 結果 30030n + 57599− > 30030n + 27569
• 30030n + 28811 結果 30030n + 57623− > 30030n + 27593
• 30030n + 28823 結果 30030n + 57647− > 30030n + 27617
• 30030n + 28841 結果 30030n + 57683− > 30030n + 27653
• 30030n + 28859 結果 30030n + 57719− > 30030n + 27689
• 30030n + 28883 結果 30030n + 57767− > 30030n + 27737
49
• 30030n + 28901 結果 30030n + 57803− > 30030n + 27773
• 30030n + 28943 結果 30030n + 57887− > 30030n + 27857
• 30030n + 28949 結果 30030n + 57899− > 30030n + 27869
• 30030n + 28961 結果 30030n + 57923− > 30030n + 27893
• 30030n + 28991 結果 30030n + 57983− > 30030n + 27953
• 30030n + 29021 結果 30030n + 58043− > 30030n + 28013
• 30030n + 29033 結果 30030n + 58067− > 30030n + 28037
• 30030n + 29063 結果 30030n + 58127− > 30030n + 28097
• 30030n + 29069 結果 30030n + 58139− > 30030n + 28109
• 30030n + 29093 結果 30030n + 58187− > 30030n + 28157
• 30030n + 29129 結果 30030n + 58259− > 30030n + 28229
• 30030n + 29153 結果 30030n + 58307− > 30030n + 28277
• 30030n + 29171 結果 30030n + 58343− > 30030n + 28313
• 30030n + 29189 結果 30030n + 58379− > 30030n + 28349
• 30030n + 29201 結果 30030n + 58403− > 30030n + 28373
• 30030n + 29213 結果 30030n + 58427− > 30030n + 28397
• 30030n + 29219 結果 30030n + 58439− > 30030n + 28409
• 30030n + 29231 結果 30030n + 58463− > 30030n + 28433
• 30030n + 29261 結果 30030n + 58523− > 30030n + 28493
• 30030n + 29273 結果 30030n + 58547− > 30030n + 28517
• 30030n + 29279 結果 30030n + 58559− > 30030n + 28529
• 30030n + 29303 結果 30030n + 58607− > 30030n + 28577
• 30030n + 29339 結果 30030n + 58679− > 30030n + 28649
• 30030n + 29363 結果 30030n + 58727− > 30030n + 28697
• 30030n + 29369 結果 30030n + 58739− > 30030n + 28709
• 30030n + 29411 結果 30030n + 58823− > 30030n + 28793
• 30030n + 29423 結果 30030n + 58847− > 30030n + 28817
• 30030n + 29429 結果 30030n + 58859− > 30030n + 28829
• 30030n + 29453 結果 30030n + 58907− > 30030n + 28877
• 30030n + 29483 結果 30030n + 58967− > 30030n + 28937
• 30030n + 29489 結果 30030n + 58979− > 30030n + 28949
• 30030n + 29531 結果 30030n + 59063− > 30030n + 29033
• 30030n + 29591 結果 30030n + 59183− > 30030n + 29153
• 30030n + 29609 結果 30030n + 59219− > 30030n + 29189
• 30030n + 29621 結果 30030n + 59243− > 30030n + 29213
• 30030n + 29651 結果 30030n + 59303− > 30030n + 29273
• 30030n + 29663 結果 30030n + 59327− > 30030n + 29297
50
• 30030n + 29681 結果 30030n + 59363− > 30030n + 29333
• 30030n + 29693 結果 30030n + 59387− > 30030n + 29357
• 30030n + 29699 結果 30030n + 59399− > 30030n + 29369
• 30030n + 29723 結果 30030n + 59447− > 30030n + 29417
• 30030n + 29741 結果 30030n + 59483− > 30030n + 29453
• 30030n + 29759 結果 30030n + 59519− > 30030n + 29489
• 30030n + 29801 結果 30030n + 59603− > 30030n + 29573
• 30030n + 29819 結果 30030n + 59639− > 30030n + 29609
• 30030n + 29831 結果 30030n + 59663− > 30030n + 29633
• 30030n + 29849 結果 30030n + 59699− > 30030n + 29639
• 30030n + 29873 結果 30030n + 59747− > 30030n + 29717
• 30030n + 29891 結果 30030n + 59783− > 30030n + 29753
• 30030n + 29933 結果 30030n + 59867− > 30030n + 29837
• 30030n + 29951 結果 30030n + 59903− > 30030n + 29873
• 30030n + 29993 結果 30030n + 59987− > 30030n + 29957
• 30030n + 29999 結果 30030n + 59999− > 30030n + 29969
• 30030n + 30011 結果 30030n + 60023− > 30030n + 29993
• 30030n + 30029 結果 30030n + 60059− > 30030n + 30029
3.6 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 を除いた素数候補式
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 を除いた素数候補式は、510510n + Q です。Q は 92160 個です。
3.7 P がメルセンヌ素数の場合
P がメルセンヌ素数 22k+1 − 1 とすると、
2P + 1 = 2 ∗ (22k+1 − 1) + 1
= 22k+2 − 2 + 1
= 22(k+1) − 1
= (2k+1 + 1)(2k+1 − 1)
となり、2P + 1 は必ず合成数になりますので、ソフィー・ジェルマン素数にはなりません。
51
4 ソフィー・ジェルマン素数の連鎖
ソフィー・ジェルマン素数の連鎖を考えて見ましょう。
素数
2P+1
1
P
2P+1
2
2P+1
2(2P + 1) + 1 = 4P + 3
3
4P+3
2(4P + 3) + 1 = 8P + 7
4
8P+7
2(8P + 7) + 1 = 16P + 15
5
16P+15
2(16P + 15) + 1 = 32P + 31
連鎖の数
このように、連鎖してゆきます。一般に 連鎖の数 = m とすると、
2m P + (2m − 1)
となります。では、連鎖の例を示します。
(%i16)
(%o16)
(%i17)
(%o17)
(%i18)
(%o18)
(%i19)
(%o19)
(%i20)
(%o20)
(%i21)
(%o21)
P:2;
2
factor(2*P+1);
5
factor(4*P+3);
11
factor(8*P+7);
23
factor(16*P+15);
47
factor(32*P+31);
5 19
52
(1)
P = 210n + Q において、2P + 1 があるものを追跡してゆくと
P
2P+1
2P+1
2P+1
210n+11
210n+23
210n+47
5 の倍数
210n+23
210n+47
5 の倍数
210n+29
210n+59
7 の倍数
210n+41
210n+83
210n+167
210n+53
210n+107
5 の倍数
210n+71
210n+143
7 の倍数
210n+83
210n+167
5 の倍数
210n+89
210n+179
210n+149
210n+89 ループ
210n+113
210n+227
210n’+17
5 の倍数
210n+131
210n+53
210n+107
5 の倍数
210n+149
210n+89
210n+179
210n+149
210n+173
210n+137
5 の倍数
210n+179
210n+149
210n+89 ループ
210n+191
210n+173
210n+137
210n+209
210n+209 ループ
2P+1
5 の倍数
210n+89 ループ
5 の倍数
より、
• 210n + 89 → 210n + 179 → 210n + 149 → 210n + 89 ループ
• 210n + 209 → 210n + 209 ループ
のループがあることがわかる。でも、素数候補だから必ずしも続くとは言えない。
そこで、210n + 89 を試してみると、
(%i1) n:1;
(%o1)
(%i2) P:210*n+89;
(%o2)
(%i3) factor(P);
(%o3)
P は素数ではなかった。
(%i4) n:2;
(%o4)
(%i5) P:210*n+89;
(%o5)
(%i6) factor(P);
(%o6)
(%i7) factor(2*P+1);
(%o7)
(%i8) factor(4*P+3);
1
299
13 23
2
509
509
1019
53
(%o8)
(%i9) factor(8*P+7);
(%o9)
(%i10) factor(16*P+15);
(%o10)
P → 2P+1 → 4P+3 → 8P+7 まで続いた。
(%i11) n:3;
(%o11)
(%i12) P:210*n+89;
(%o12)
(%i13) factor(P);
(%o13)
(%i14) factor(2*P+1);
(%o14)
(%i15) factor(4*P+3);
(%o15)
(%i16) factor(8*P+7);
(%o16)
P → 2P+1 → 4P+3 まで続いた。
2039
4079
41 199
3
719
719
1439
2879
13 443
54
P = 2310n + Q において、2P + 1 があるものを追跡してゆくと
2310n+23 → 2310n+47 → 5 の倍数
2310n+29 → 2310n+59 → 7 の倍数
2310n+41 → 2310n+83 → 2310n+167 → 5 の倍数
2310n+53 → 2310n+107 → 5 の倍数
2310n+83 → 2310n+167 → 5 の倍数
2310n+89 → 2310n+179 → 2310n+359 → 2310n+719 → 2310n+1427 → 5 の倍数
2310n+113 → 2310n+227 → 35 の倍数
2310n+131 → 2310n+263 → 2310n+527 → 5 の倍数
2310n+149 → 2310n+299 → 2310n+599 → 11 の倍数
2310n+173 → 2310n+347 → 5 の倍数
2310n+179 → 2310n+359 → 2310n+719 → 2310n+1427 → 5 の倍数
2310n+191 → 2310n+383 → 2310n+767 → 5 の倍数
2310n+221 → 2310n+443 → 3 の倍数
2310n+233 → 2310n+467 → 55 の倍数
2310n+239 → 2310n+479 → 7 の倍数
2310n+251 → 2310n+503 → 2310n+1007 → 5 の倍数
2310n+263 → 2310n+527 → 5 の倍数
2310n+281 → 2310n+563 → 7 の倍数
2310n+293 → 2310n+587 → 5 の倍数
2310n+299 → 2310n+599 → 11 の倍数
2310n+323 → 2310n+647 → 35 の倍数
2310n+359 → 2310n+719 → 2310n+1439 → 2310n+569 → 2310n+1139 → 2310n+2279 →
2310n+2249 → 11 の倍数
2310n+383 → 2310n+767 → 5 の倍数
2310n+389 → 2310n+779 → 2310n+1559 → 2310n+809 → 2310n+1619 → 2310n+929 →
11 の倍数
2310n+419 → 2310n+839 → 2310n+1679 → 2310n+1049 → 2310n+2099 → 2310n+1889
→ 2310n+1469 → 2310n+629 → 2310n+1259 → 11 の倍数
2310n+431 → 2310n+863 → 11 の倍数
2310n+443 → 2310n+887 → 5 の倍数
2310n+449 → 2310n+899 → 7 の倍数
2310n+461 → 2310n+923 → 2310n+1847 → 5 の倍数
2310n+491 → 2310n+983 → 7 の倍数
2310n+503 → 2310n+1007 → 5 の倍数
2310n+509 → 2310n+1019 → 2310n+2039 → 2310n+1769 → 2310n+1229 → 2310n+149
→ 2310n+299 → 2310n+599 → 11 の倍数
2310n+551 → 2310n+1103 → 2310n+2207 → 5 の倍数
2310n+569 → 2310n+1139 → 2310n+2279 → 2310n+2249 → 11 の倍数
2310n+593 → 2310n+1187 → 5 の倍数
2310n+611 → 2310n+1223 → 2310n+137 → 5 の倍数
2310n+629 → 2310n+1259 → 11 の倍数
2310n+641 → 2310n+1283 → 2310n+257 → 5 の倍数
2310n+653 → 2310n+1307 → 5 の倍数
2310n+659 → 2310n+1319 → 7 の倍数
2310n+683 → 2310n+1367 → 5 の倍数
2310n+701 → 2310n+1403 → 7 の倍数
2310n+713 → 2310n+1427 → 5 の倍数
55
2310n+719 → 2310n+1439 → 2310n+569 → 2310n+1139 →→ 2310n+2279 → 2310n+2249
→ 11 の倍数
2310n+743 → 2310n+1487 → 35 の倍数
2310n+761 → 2310n+1523 → 11 の倍数
2310n+779 → 2310n+1559 → 2310n+809 → 2310n+1619 → 2310n+929 → 11 の倍数
2310n+809 → 2310n+1619 → 2310n+929 → 11 の倍数
2310n+821 → 2310n+1643 → 2310n+977 → 5 の場数
2310n+839 → 2310n+1679 → 2310n+1049 → 2310n+2099 → 2310n+1889 → 2310n+1469
→ 2310n+629 → 2310n+1259 → 11 の倍数
2310n+851 → 2310n+1703 → 2310n+1097 → 5 の場数
2310n+881 → 2310n+1763 → 2310n+1217 → 5 の場数
2310n+893 → 2310n+1787 → 55 の倍数
2310n+911 → 2310n+1823 → 7 の倍数
2310n+923 → 2310n+1847 → 5 の倍数
2310n+953 → 2310n+1907 → 35 の倍数
2310n+971 → 2310n+1943 → 2310n+1577 → 5 の倍数
2310n+989 → 2310n+1979 → 2310n+1649 → 2310n+989 ループ
2310n+1013 → 2310n+2027 → 5 の倍数
2310n+1019 → 2310n+2039 → 2310n+1769 → 2310n+1217 → 5 の倍数
2310n+1031 → 2310n+2063 → 2310n+1817 → 5 の倍数
2310n+1049 → 2310n+2099 → 2310n+1889 → 2310n+1469 → 2310n+629 → 2310n+1259
→ 11 の倍数
2310n+1073 → 2310n+2147 → 5 の倍数
2310n+1079 → 2310n+2159 → 7 の倍数
2310n+1091 → 2310n+2183 → 11 の倍数
2310n+1103 → 2310n+2207 → 5 の倍数
2310n+1121 → 2310n+2243 → 7 の倍数
2310n+1139 → 2310n+2279 → 2310n+2249 → 11 の倍数
2310n+1163 → 2310n+17 → 5 の倍数
2310n+1181 → 2310n+53 → 2310n+107 → 5 の倍数
2310n+1223 → 2310n+137 → 5 の倍数
2310n+1229 → 2310n+149 → 2310+299 → 2310n+599 → 11 の倍数
2310n+1241 → 2310n+173 → 2310n+347 → 5 の倍数
2310n+1271 → 2310n+233 → 3 の倍数
2310n+1283 → 2310n+257 → 5 の倍数
2310n+1289 → 2310n+269 → 7 の場数
2310n+1301 → 2310n+293 → 2310n+587 → 5 の倍数
2310n+1313 → 2310n+317 → 5 の倍数
2310n+1343 → 2310n+377 → 5 の倍数
2310n+1349 → 2310n+389 → 2310n+779 → 2310n+1559 → 2310n+809 → 2310n+1619 →
2310n+929 → 11 の倍数
2310n+1373 → 2310n+437 → 5 の倍数
2310n+1409 → 2310n+509 → 2310n+1019 → 2310n+2039 → 2310n+1769 → 2310n+1229
→ 2310n+149 → 2310n+299 → 2310n+599 → 11 の倍数
2310n+1433 → 2310n+557 → 5 の倍数
2310n+1439 → 2310n+569 → 2310n+1139 → 2310n+2279 → 2310n+2249 → 11 の倍数
2310n+1451 → 2310n+593 → 2310n+1187 → 5 の倍数
2310n+1469 → 2310n+629 → 2310n+1259 → 11 の倍数
2310n+1481 → 2310n+653 → 2310n+1307 → 5 の倍数
56
2310n+1493 → 2310n+677 → 5 の倍数
2310n+1499 → 2310n+689 → 7 の倍数
2310n+1511 → 2310n+713 → 2310n+1427 → 5 の倍数
2310n+1541 → 2310n+773 → 7 の倍数
2310n+1553 → 2310n+797 → 55 の倍数
2310n+1559 → 2310n+809 → 2310n+1619 → 2310n+929 → 11 の倍数
2310n+1583 → 2310n+857 → 35 の倍数
2310n+1601 → 2310n+893 → 2310n+1787 → 55 の倍数
2310n+1619 → 2310n+929 → 11 の倍数
2310n+1643 → 2310n+977 → 5 の倍数
2310n+1649 → 2310n+989 → 2310n+1979 → 2310n+1649 → 2310n+989 → 2310n+1979
ループ
2310n+1679 → 2310n+1049 → 2310n+2099 → 2310n+1889 → 2310n+1469 → 2310n+629
→ 2310n+1259 → 11 の倍数
2310n+1691 → 2310n+1073 → 2310n+2147 → 5 の倍数
2310n+1703 → 2310n+1097 → 5 の倍数
2310n+1709 → 2310n+1109 → 7 の倍数
2310n+1733 → 2310n+1157 → 5 の倍数
2310n+1751 → 2310n+1193 → 77 の倍数
2310n+1763 → 2310n+1217 → 5 の倍数
2310n+1769 → 2310n+1229 → 2310n+149 → 2310n+299 → 2310n+599 → 11 の倍数
2310n+1811 → 2310n+1313 → 2310n+317 → 5 の倍数
2310n+1829 → 2310n+1349 → 2310n+389 → 2310n+779 → 2310n+1559 → 2310n+809 →
2310n+1619 → 2310n+929 → 11 の倍数
2310n+1871 → 2310n+1433 → 2310n+557 → 5 の倍数
2310n+1889 → 2310n+1469 → 2310n+629 → 2310n+1259 → 11 の倍数
2310n+1901 → 2310n+1493 → 2310n+677 → 5 の倍数
2310n+1913 → 2310n+1517 → 5 の倍数
2310n+1931 → 2310n+1553 → 2310n+797 → 55 の倍数
2310n+1943 → 2310n+1577 → 5 の倍数
2310n+1961 → 2310n+1613 → 7 の倍数
2310n+1973 → 2310n+1637 → 5 の倍数
2310n+1979 → 2310n+1649 → 2310n+989 → 2310n+1979 → 2310n+1649 → 2310n+989
→ 2310n+1979 ループ
2310n+2003 → 2310n+1697 → 35 の倍数
2310n+2021 → 2310n+1733 → 2310n+1157 → 5 の倍数
2310n+2039 → 2310n+1769 → 2310n+1229 → 2310n+149 → 2310n+299 → 2310n+599 →
11 の倍数
2310n+2063 → 2310n+1817 → 5 の倍数
2310n+2069 → 2310n+1829 → 2310n+1349 → 2310n+389 → 2310n+779 → 2310n+1559
→ 2310n+809 → 2310n+1619 → 2310n+929 → 11 の倍数
2310n+2081 → 2310n+1853 → 11 の倍数
2310n+2099 → 2310n+1889 → 2310n+1469 → 2310n+629 → 2310n+1259 → 11 の倍数
2310n+2111 → 2310n+1913 → 2310n+1517 → 5 の倍数
2310n+2129 → 2310n+1949 → 7 の倍数
2310n+2141 → 2310n+1973 → 2310n+1637 → 5 の倍数
2310n+2153 → 2310n+1997 → 5 の倍数
2310n+2171 → 2310n+2033 → 7 の倍数
2310n+2213 → 2310n+2117 → 385 の倍数
57
2310n+2231 → 2310n+2153 → 2310n+1997 → 5 の倍数
2310n+2273 → 2310n+2237 → 5 の倍数
2310n+2279 → 2310n+2249 → 11 の倍数
2310n+2291 → 2310n+2273 → 2310n+2237 → 5 の倍数
2310n+2309 → 2310n+2309 ループ
より、
• 2310n + 989 → 2310n + 1979 → 2310n + 1649 → 2310n + 989 ループ
• 2310n + 1979 → 2310n + 1649 → 2310n + 989 → 2310n + 1979 → 2310n + 1649 → 2310n +
989 → 2310n + 1979 ループ
• 2310n + 2309 → 2310n + 2309 ループ
のループがあることがわかる。でも、素数候補だから必ずしも続くとは言えない。
そこで、2310n + 1979 を試してみると、
(%i50)
(%o50)
(%i51)
(%o51)
(%i52)
(%o52)
(%i53)
(%o53)
(%i54)
(%o54)
(%i55)
(%o55)
n:n+1;
14
P:2310*n+1979;
34319
factor(P);
34319
factor(2*P+1);
68639
factor(4*P+3);
137279
factor(8*P+7);
463 593
58
P = 30030n + Q において、2P + 1 があるものを追跡してゆくと
30030n+23 → 30030n+47 → 5 の倍数
30030n+29 → 30030n+59 → 7 の倍数
30030n+41 → 30030n+83 → 30030n+167 → 5 の倍数
30030n+53 → 30030n+107 → 5 の倍数
30030n+83 → 30030n+167 → 5 の倍数
30030n+89 → 30030n+179 → 30030n+359 → 30030n+719 → 30030n+1439 →
30030n+2879 → 13 の倍数
30030n+113 → 30030n+227 → 455 の倍数
30030n+131 → 30030n+263 → 5 の倍数
30030n+173 → 30030n+347 → 5 の倍数
30030n+179 → 30030n+359 → 30030n+719 → 30030n+1439 → 30030n+2879 → 13 の倍
数
30030n+191 → 30030n+383 → 13 の倍数
30030n+233 → 30030n+467 → 55 の倍数
30030n+239 → 30030n+479 → 7 の倍数
30030n+251 → 30030n+503 →→ 30030n+1007 → 65 の倍数
30030n+263 → 30030n+527 → 5 の倍数
30030n+281 → 30030n+563 → 7 の倍数
30030n+293 → 30030n+587 → 5 の倍数
30030n+323 → 30030n+647 → 35 の倍数
30030n+359 → 30030n+719 → 30030n+1439 → 30030n+2879 → 13 の倍数
30030n+389 → 30030n+779 → 30030n+1559 → 30030n+3119 → 30030n+6239 →
30030n+12479 → 11 の倍数
30030n+419 → 30030n+839 → 30030n+1679 → 30030n+3359 → 30030n+6719 →
30030n+13439 → 30030n+26879 → 30030n+23729 → 30030n+16529 → 13 の倍数
30030n+431 → 30030n+863 → 11 の倍数
30030n+443 → 30030n+887 → 5 の倍数
30030n+449 → 30030n+899 → 7 の倍数
30030n+491 → 30030n+983 → 7 の倍数
30030n+503 → 30030n+1007 → 65 の倍数
30030n+509 → 30030n+1019 → 30030n+2039 → 30030n+4079 → 30030n+8159 →
30030n+16319 → 30030n+2609 → 30030n+5219 → 143 の倍数
30030n+551 → 30030n+1103 → 30030n+2207 → 5 の倍数
30030n+569 → 30030n+1139 → 30030n+2279 → 30030n+4559 → 11 の倍数
30030n+593 → 30030n+1187 → 5 の倍数
30030n+629 → 30030n+1259 → 11 の倍数
30030n+641 → 30030n+1283 → 30030n+2567 → 65 の倍数
30030n+653 → 30030n+1307 → 5 の倍数
30030n+659 → 30030n+1319 → 91 の倍数
30030n+683 → 30030n+1367 → 5 の倍数
30030n+701 → 30030n+1403 → 7 の倍数
30030n+713 → 30030n+1427 → 5 の倍数
30030n+719 → 30030n+1439 → 30030n+2879 → 13 の倍数
30030n+743 → 30030n+1487 → 35 の倍数
30030n+761 → 30030n+1523 → 11 の倍数
30030n+779 → 30030n+1559 → 30030n+3119 → 30030n+6239 → 30030n+12479 → 11 の
倍数
59
30030n+809 → 30030n+1619 → 30030n+3239 → 11 の倍数
30030n+821 → 30030n+1643 → 30030n+3287 → 5 の倍数
30030n+839 → 30030n+1679 → 30030n+3359 → 30030n+6719 → 30030n+13439 →
30030n+26879 → 30030n+23729 → 30030n+17429 → 11 の倍数
30030n+881 → 30030n+1763 → 30030n+3527 → 5 の倍数
30030n+893 → 30030n+1787 → 15 の倍数
30030n+911 → 30030n+1823 → 7 の倍数
30030n+953 → 30030n+1907 → 35 の倍数
30030n+971 → 30030n+1943 → 13 の倍数
30030n+989 → 30030n+1979 → 30030n+3959 → 30030n+7919 → 30030n+15839 →
30030n+1649 → 30030n+3299 → 30030n+6599 → 30030n+13199 → 30030n+26399 →
11 の倍数
30030n+1013 → 30030n+2027 → 5 の倍数
30030n+1019 → 30030n+2039 → 30030n+4079 → 30030n+8159 → 30030n+16319 →
30030n+32639 → 30030n+2609 → 30030n+5219 → 143 の倍数
30030n+1031 → 30030n+2063 → 30030n+4127 → 65 の倍数
30030n+1049 → 30030n+2099 → 13 の倍数
30030n+1073 → 30030n+2147 → 5 の倍数
30030n+1091 → 30030n+2183 → 11 の倍数
30030n+1103 → 30030n+2207 → 5 の倍数
30030n+1121 → 30030n+2243 → 7 の倍数
30030n+1139 → 30030n+2279 → 30030n+4559 → 11 の倍数
30030n+1181 → 30030n+2363 → 30030n+4727 → 5 の倍数
30030n+1223 → 30030n+2447 → 55 の倍数
30030n+1229 → 30030n+2459 → 30030n+4919 → 30030n+9839 → 11 の倍数
30030n+1271 → 30030n+2543 → 30030n+5087 → 55 の倍数
30030n+1283 → 30030n+2567 → 65 の倍数
30030n+1289 → 30030n+2579 → 77 の倍数
30030n+1301 → 30030n+2603 → 30030n+5207 → 5 の倍数
30030n+1343 → 30030n+2687 → 5 の倍数
30030n+1349 → 30030n+2699 → 30030n+5399 → 30030n+10799 → 30030n+21599 → 13
の倍数
30030n+1373 → 30030n+2747 → 35 の倍数
30030n+1409 → 30030n+2819 → 30030n+5639 → 30030n+11279 → 30030n+22559 →
30030n+45119 → 30030n+15089 → 30030n+30179 → 30030n+149 → 13 の倍数
30030n+1433 → 30030n+2867 → 5 の倍数
30030n+1439 → 30030n+2879 → 13 の倍数
30030n+1451 → 30030n+2903 → 30030n+5807 → 5 の倍数
30030n+1481 → 30030n+2963 → 30030n+5927 → 5 の倍数
30030n+1493 → 30030n+2987 → 5 の倍数
30030n+1499 → 30030n+2999 → 7 の倍数
30030n+1511 → 30030n+3023 → 30030n+6047 → 5 の倍数
30030n+1541 → 30030n+3083 → 7 の倍数
30030n+1559 → 30030n+3119 → 30030n+6239 → 30030n+12479 → 11 の倍数
30030n+1583 → 30030n+3167 → 35 の倍数
30030n+1601 → 30030n+3203 → 30030n+6407 → 55 の倍数
30030n+1619 → 30030n+3239 → 11 の倍数
30030n+1643 → 30030n+3287 → 5 の倍数
30030n+1649 → 30030n+3299 → 30030n+6599 → 30030n+13199 → 30030n+26399 →
60
30030n+22769 → 13 の倍数
30030n+1679 → 30030n+3359 → 30030n+6719 → 30030n+13439 → 30030n+26879 →
30030n+53759 → 30030n+23729 → 30030n+47459 → 30030n+17429 → 11 の倍数
30030n+1691 → 30030n+3383 → 30030n+6767 → 5 の倍数
30030n+1733 → 30030n+3467 → 5 の倍数
30030n+1751 → 30030n+3503 → 77 の倍数
30030n+1763 → 30030n+3527 → 5 の倍数
30030n+1769 → 30030n+3539 → 30030n+7079 → 30030n+14159 → 30030n+28319 → 11
の倍数
30030n+1811 → 30030n+3623 → 30030n+7247 → 65 の倍数
30030n+1829 → 30030n+3659 → 13 の倍数
30030n+1871 → 30030n+3743 → 30030n+7487 → 5 の倍数
30030n+1889 → 30030n+3779 → 30030n+7559 → 13 の倍数
30030n+1901 → 30030n+3803 → 30030n+7607 → 5 の倍数
30030n+1913 → 30030n+3827 → 5 の倍数
30030n+1931 → 30030n+3863 → 30030n+7727 → 55 の倍数
30030n+1961 → 30030n+3923 → 7 の倍数
30030n+1979 → 30030n+3959 → 30030n+7919 → 30030n+15839 → 30030n+31679
30030n+1649 → 30030n+3299 → 30030n+6599 → 30030n+13199 → 30030n+26399
30030n+22769 → 13 の倍数
30030n+2003 → 30030n+4007 → 35 の倍数
30030n+2039 → 30030n+4079 → 30030n+8159 → 30030n+16319 → 30030n+32639
30030n+2609 → 30030n+5219 → 143 の倍数
30030n+2063 → 30030n+4127 → 65 の倍数
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61
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11 の倍数
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62
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30030n+5219 → 143 の倍数
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63
→
→
→
→
→
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30030n+4223 → 30030n+8447 → 5 の倍数
30030n+4241 → 30030n+8483 → 30030n+16967 → 55 の倍数
30030n+4253 → 30030n+8507 → 5 の倍数
30030n+4271 → 30030n+8543 → 7 の倍数
30030n+4289 → 30030n+8579 → 30030n+17159 → 30030n+34319 → 30030n+4289 →
ループ
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30030n+4331 → 30030n+8663 → 30030n+17327 → 5 の倍数
30030n+4349 → 30030n+8699 → 30030n+17399 → 30030n+34799 → 30030n+4769
30030n+4769 → 30030n+9539 → 30030n+19079 → 11 の倍数
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30030n+4379 → 30030n+8759 → 30030n+17519 → 30030n+35039 → 30030n+5009
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30030n+4421 → 30030n+8843 → 30030n+17687 → 5 の倍数
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64
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→
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68
30030n+8279 → 30030n+16559 → 30030n+33119 → 30030n+3089 → 30030n+6179 →
30030n+12359 → 30030n+24719 → 13 の倍数
30030n+8303 → 30030n+16607 → 455 の倍数
30030n+8363 → 30030n+16727 → 5 の倍数
30030n+8369 → 30030n+16739 → 30030n+33479 → 30030n+3449 → 30030n+6899 →
30030n+13799 → 143 の倍数
30030n+8381 → 30030n+16763 → 13 の倍数
30030n+8399 → 30030n+16799 → 30030n+33599 → 30030n+3569 → 11 の倍数
30030n+8423 → 30030n+16847 → 5 の倍数
30030n+8429 → 30030n+16859 → 7 の倍数
30030n+8441 → 30030n+16883 → 30030n+33767 → 30030n+3737 → 65 の倍数
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30030n+8483 → 30030n+16967 → 55 の倍数
30030n+8513 → 30030n+17027 → 35 の倍数
30030n+8531 → 30030n+17063 → 30030n+34127 → 30030n+4097 → 55 の倍数
30030n+8549 → 30030n+17099 → 11 の倍数
30030n+8579 → 30030n+17159 → 30030n+34319 → 30030n+4289 → 30030n+8579 →
ループ
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30030n+17639 → 30030n+35279 → 30030n+5249 → 30030n+10499 → 11 の倍数
30030n+8621 → 30030n+17243 → 30030n+34487 → 30030n+4457 → 5 の倍数
30030n+8633 → 30030n+17267 → 5 の倍数
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30030n+8699 → 30030n+17399 → 30030n+34799 → 30030n+4769 → 30030n+9539 →
30030n+19079 → 11 の倍数
30030n+8741 → 30030n+17483 → 30030n+34967 → 30030n+4937 → 5 の倍数
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30030n+8819 → 30030n+17639 → 30030n+35279 → 30030n+5249 → 30030n+10499 →
11 の倍数
30030n+8831 → 30030n+17663 → 30030n+35327 → 30030n+5297 → 65 の倍数
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30030n+9011 → 30030n+18023 → 11 の倍数
69
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30030n+9071 → 30030n+18143 → 30030n+36287 → 30030n+6257 → 5 の倍数
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30030n+9221 → 30030n+18443 → 30030n+36887 → 30030n+6857 → 65 の倍数
30030n+9239 → 30030n+18479 → 13 の倍数
30030n+9263 → 30030n+18527 → 5 の倍数
30030n+9281 → 30030n+18563 → 30030n+37127 → 30030n+7097 → 5 の倍数
30030n+9293 → 30030n+18587 → 5 の倍数
30030n+9323 → 30030n+18647 → 5 の倍数
30030n+9329 → 30030n+18659 → 30030n+37319 → 30030n+7289 → 30030n+14579 →
13 の倍数
30030n+9371 → 30030n+18743 → 30030n+37487 → 30030n+7457 → 5 の倍数
30030n+9389 → 30030n+18779 → 30030n+37559 → 30030n+7529 → 11 の倍数
30030n+9413 → 30030n+18827 → 5 の倍数
30030n+9419 → 30030n+18839 → 30030n+37679 → 30030n+7649 → 30030n+15299 →
30030n+30599 → 30030n+569 → 30030n+1139 → 30030n+2279 → 30030n+4559 → 11 の
倍数
30030n+9461 → 30030n+18923 → 30030n+37847 → 30030n+7817 → 5 の倍数
30030n+9473 → 30030n+18947 → 715 の倍数
30030n+9479 → 30030n+18959 → 7 の倍数
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30030n+9533 → 30030n+19067 → 5 の倍数
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30030n+9683 → 30030n+19367 → 5 の倍数
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11 の倍数
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70
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11 の倍数
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75
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30030n+21779 → 30030n+43559 → 30030n+13529 → 30030n+27059 → 13 の倍数
30030n+21803 → 30030n+43607 → 30030n+13577 → 5 の倍数
30030n+21809 → 30030n+43619 → 30030n+13589 → 30030n+27179 → 30030n+54359
→ 30030n+24329 → 13 の倍数
30030n+21821 → 30030n+43643 → 30030n+13613 → 30030n+27227 → 5 の倍数
30030n+21839 → 30030n+43679 → 30030n+13649 → 30030n+27299 → 30030n+54599
→ 30030n+24569 → 30030n+49139 → 30030n+19109 → 30030n+38219 → 30030n+8189
→ 11 の倍数
30030n+21863 → 30030n+43727 → 30030n+13697 → 5 の倍数
30030n+21869 → 30030n+43739 → 30030n+13709 → 7 の倍数
30030n+21881 → 30030n+43763 → 30030n+13733 → 11 の倍数
30030n+21893 → 30030n+43787 → 30030n+13757 → 5 の倍数
30030n+21929 → 30030n+43859 → 30030n+13829 → 30030n+27659 → 11 の倍数
30030n+21953 → 30030n+43907 → 30030n+13877 → 455 の倍数
30030n+21971 → 30030n+43943 → 30030n+13913 → 30030n+27827 → 5 の倍数
30030n+22013 → 30030n+43927 → 30030n+13997 → 55 の倍数
30030n+22019 → 30030n+43939 → 30030n+14009 → 30030n+28019 → 30030n+56039
→ 30030n+26009 → 11 の倍数
30030n+22031 → 30030n+44063 → 30030n+14033 → 13 の倍数
30030n+22073 → 30030n+44147 → 30030n+14117 → 7 の倍数
30030n+22079 → 30030n+44159 → 30030n+14129 → 77 の倍数
30030n+22091 → 30030n+44183 → 30030n+14153 → 30030n+28307 → 65 の倍数
30030n+22103 → 30030n+44207 → 30030n+14177 → 5 の倍数
30030n+22133 → 30030n+44267 → 30030n+14237 → 5 の倍数
30030n+22163 → 30030n+44327 → 30030n+14297 → 35 の倍数
30030n+22199 → 30030n+44399 → 30030n+14369 → 30030n+28739 → 30030n+57479
→ 30030n+27449 → 13 の倍数
30030n+22229 → 30030n+44459 → 30030n+14429 → 30030n+28859 → 30030n+57719
→ 30030n+27689 → 30030n+55379 → 30030n+25349 → 11 の倍数
85
30030n+22241 → 30030n+44483 → 30030n+14453 → 30030n+28907 → 5 の倍数
30030n+22259 → 30030n+44519 → 30030n+14489 → 30030n+28979 → 11 の倍数
30030n+22271 → 30030n+44543 → 30030n+14513 → 30030n+29027 → 5 の倍数
30030n+22283 → 30030n+44567 → 30030n+14537 → 5 の倍数
30030n+22289 → 30030n+44579 → 30030n+14549 → 7 の倍数
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30030n+22349 → 30030n+44699 → 30030n+14669 → 30030n+29339 → 30030n+58679
→ 30030n+28649 → 11 の倍数
30030n+22391 → 30030n+44783 → 30030n+14753 → 30030n+29507 → 55 の倍数
30030n+22409 → 30030n+44819 → 30030n+14789 → 11 の倍数
30030n+22433 → 30030n+44867 → 30030n+14837 → 5 の倍数
30030n+22439 → 30030n+44879 → 30030n+14849 → 30030n+29699 → 30030n+59399 →
30030n+29369 → 30030n+58739 → 30030n+28709 → 30030n+57419 → 30030n+27389 →
30030n+54779 → 30030n+24749 → 30030n+49499 → 30030n+19469 → 30030n+38939 →
30030n+8909 → 30030n+17819 → 30030n+35639 → 30030n+5609 → 13 の倍数
30030n+22469 → 30030n+44939 → 30030n+14909 → 30030n+29819 → 30030n+59639 →
30030n+29609 → 30030n+59219 → 30030n+29189 → 30030n+58379 → 30030n+28349 →
30030n+56699 → 30030n+26669 → 143 の倍数
30030n+22481 → 30030n+44963 → 30030n+14933 → 30030n+29867 → 65 の倍数
30030n+22493 → 30030n+44987 → 30030n+14957 → 5 の倍数
30030n+22499 → 30030n+44999 → 30030n+14969 → 91 の倍数
30030n+22523 → 30030n+45047 → 30030n+15017 → 5 の倍数
30030n+22541 → 30030n+45083 → 30030n+15053 → 77 の倍数
30030n+22553 → 30030n+45107 → 30030n+15077 → 5 の倍数
30030n+22559 → 30030n+45119 → 30030n+15089 → 30030n+30179 → 30030n+149 →
13 の倍数
30030n+22601 → 30030n+45203 → 30030n+15173 → 30030n+30347 → 30030n+317 → 5
の倍数
30030n+22619 → 30030n+45239 → 30030n+15209 → 30030n+30419 → 30030n+389 →
30030n+779 → 30030n+1559 → 30030n+3119 → 30030n+6239 → 30030n+12479 → 11 の
倍数
30030n+22661 → 30030n+45323 → 30030n+15293 → 30030n+30587 → 30030n+557 →
1155 の倍数
30030n+22679 → 30030n+45359 → 30030n+15329 → 30030n+30659 → 30030n+629 →
30030n+1259 → 11 の倍数
30030n+22703 → 30030n+45407 → 30030n+15377 → 5 の倍数
30030n+22721 → 30030n+45443 → 30030n+15413 → 30030n+30827 → 30030n+797 →
55 の倍数
30030n+22733 → 30030n+45467 → 30030n+15437 → 65 の倍数
30030n+22751 → 30030n+45503 → 30030n+15473 → 7 の倍数
30030n+22793 → 30030n+45587 → 30030n+15557 → 35 の倍数
30030n+22811 → 30030n+45623 → 30030n+15593 → 13 の倍数
30030n+22829 → 30030n+45659 → 30030n+15629 → 30030n+31259 → 30030n+1229 →
30030n+2459 → 30030n+4919 → 30030n+9839 → 11 の倍数
30030n+22853 → 30030n+45707 → 30030n+15677 → 5 の倍数
30030n+22859 → 30030n+45719 → 30030n+15689 → 30030n+31379 → 30030n+1349 →
30030n+2699 → 30030n+5399 → 30030n+10799 → 30030n+21599 → 13 の倍数
30030n+22871 → 30030n+45743 → 30030n+15713 → 11 の倍数
86
30030n+22889 → 30030n+45779 → 30030n+15749 → 13 の倍数
30030n+22901 → 30030n+45803 → 30030n+15773 → 30030n+31547 → 30030n+1517 →
5 の倍数
30030n+22931 → 30030n+45863 → 30030n+15833 → 30030n+31667 → 30030n+1637 →
5 の倍数
30030n+22943 → 30030n+45887 → 30030n+15857 → 5 の倍数
30030n+22961 → 30030n+45923 → 30030n+15893 → 7 の倍数
30030n+23021 → 30030n+46043 → 30030n+16013 → 30030n+32027 → 30030n+1997 →
5 の倍数
30030n+23063 → 30030n+46127 → 30030n+16097 → 5 の倍数
30030n+23069 → 30030n+46139 → 30030n+16109 → 11 の倍数
30030n+23099 → 30030n+46199 → 30030n+16169 → 30030n+32339 → 30030n+2309 →
30030n+4619 → 30030n+9239 → 30030n+18479 → 13 の倍数
30030n+23123 → 30030n+46247 → 30030n+16217 → 65 の倍数
30030n+23129 → 30030n+46259 → 30030n+16229 → 7 の倍数
30030n+23141 → 30030n+46283 → 30030n+16253 → 30030n+32507 → 30030n+2477 →
5 の倍数
30030n+23183 → 30030n+46367 → 30030n+16337 → 5 の倍数
30030n+23189 → 30030n+46379 → 30030n+16349 → 30030n+32699 → 30030n+2669 →
30030n+5339 → 30030n+10679 → 13 の倍数
30030n+23213 → 30030n+46427 → 30030n+16397 → 35 の倍数
30030n+23249 → 30030n+46499 → 30030n+16469 → 30030n+32939 → 30030n+2909 →
11 の倍数
30030n+23273 → 30030n+46547 → 30030n+16517 → 5 の倍数
30030n+23279 → 30030n+46559 → 30030n+16529 → 13 の倍数
30030n+23291 → 30030n+46583 → 30030n+16553 → 30030n+33107 → 30030n+3077 →
5 の倍数
30030n+23321 → 30030n+46643 → 30030n+16613 → 30030n+33227 → 30030n+3197 →
5 の倍数
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5 の倍数
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11 の倍数
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5 の倍数
87
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55 の倍数
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5 の倍数
30030n+24113 → 30030n+48227 → 30030n+18197 → 5 の倍数
30030n+24119 → 30030n+48239 → 30030n+18209 → 30030n+36419 → 30030n+6389 →
13 の倍数
30030n+24131 → 30030n+48263 → 30030n+18233 → 30030n+36467 → 30030n+6437 →
5 の倍数
30030n+24149 → 30030n+48299 → 30030n+18269 → 30030n+36539 → 30030n+6509 →
30030n+13019 → 13 の倍数
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11 の倍数
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88
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5 の倍数
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5 の倍数
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5 の倍数
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11 の倍数
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5 の倍数
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5 の倍数
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11 の倍数
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5 の倍数
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89
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→ 5 の倍数
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→ 7 の倍数
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→ 5 の倍数
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→ 11 の倍数
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91
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→ 5 の倍数
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93
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→ 13 の倍数
30030n+28571 → 30030n+57143 → 30030n+27113 → 30030n+54227 → 30030n+24197
→ 5 の倍数
30030n+28601 → 30030n+57203 → 30030n+27173 → 30030n+54347 → 30030n+24317
→ 5 の倍数
30030n+28631 → 30030n+57263 → 30030n+27233 → 7 の倍数
30030n+28643 → 30030n+57287 → 30030n+27257 → 5 の倍数
30030n+28673 → 30030n+57347 → 30030n+27317 → 35 の倍数
30030n+28709 → 30030n+57419 → 30030n+27389 → 30030n+54779 → 30030n+24749
→ 30030n+49499 → 30030n+19469 → 30030n+38939 → 30030n+8909 → 30030n+17819
→ 30030n+35639 → 30030n+5609 → 13 の倍数
30030n+28733 → 30030n+57467 → 30030n+27437 → 5 の倍数
30030n+28739 → 30030n+57479 → 30030n+27449 → 13 の倍数
30030n+28751 → 30030n+57503 → 30030n+27473 → 30030n+54947 → 30030n+24917
→ 5 の倍数
30030n+28793 → 30030n+57587 → 30030n+27557 → 5 の倍数
30030n+28799 → 30030n+57599 → 30030n+27569 → 7 の倍数
30030n+28811 → 30030n+57623 → 30030n+27593 → 11 の倍数
30030n+28823 → 30030n+57647 → 30030n+27617 → 5 の倍数
30030n+28841 → 30030n+57683 → 30030n+27653 → 7 の倍数
95
30030n+28859 → 30030n+57719 → 30030n+27689 → 30030n+55379 → 30030n+25349
→ 11 の倍数
30030n+28883 → 30030n+57767 → 30030n+27737 → 35 の倍数
30030n+28901 → 30030n+57803 → 30030n+27773 → 30030n+55547 → 30030n+25517
→ 5 の倍数
30030n+28943 → 30030n+57887 → 30030n+27857 → 55 の倍数
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→ 30030n+51419 → 30030n+21389 → 11 の倍数
30030n+28961 → 30030n+57923 → 30030n+27893 → 30030n+55787 → 30030n+25757
→ 5 の倍数
30030n+28991 → 30030n+57983 → 30030n+27953 → 30030n+55907 → 30030n+25877
→ 55 の倍数
30030n+29021 → 30030n+58043 → 30030n+28013 → 30030n+56027 → 30030n+25997
→ 5 の倍数
30030n+29033 → 30030n+58067 → 30030n+28037 → 5 の倍数
30030n+29063 → 30030n+58127 → 30030n+28097 → 5 の倍数
30030n+29069 → 30030n+58139 → 30030n+28109 → 30030n+56219 → 30030n+26189 →
30030n+52379 → 30030n+22349 → 30030n+44699 → 30030n+14669 → 30030n+29339 →
30030n+58679 → 30030n+28649 → 11 の倍数
30030n+29093 → 30030n+58187 → 30030n+28157 → 35 の倍数
30030n+29129 → 30030n+58259 → 30030n+28229 → 13 の倍数
30030n+29153 → 30030n+58307 → 30030n+28277 → 5 の倍数
30030n+29171 → 30030n+58343 → 30030n+28313 → 30030n+56627 → 30030n+26597
→ 5 の倍数
30030n+29189 → 30030n+58379 → 30030n+28349 → 30030n+56699 → 30030n+26669
→ 143 の倍数
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→ 5 の倍数
30030n+29213 → 30030n+58427 → 30030n+28397 → 5 の倍数
30030n+29219 → 30030n+58439 → 30030n+28409 → 7 の倍数
30030n+29231 → 30030n+58463 → 30030n+28433 → 30030n+56867 → 30030n+26837
→ 5 の倍数
30030n+29261 → 30030n+58523 → 30030n+28493 → 7 の倍数
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30030n+29279 → 30030n+58559 → 30030n+28529 → 30030n+56959 → 30030n+27029
→ 30030n+54059 → 30030n+24029 → 11 の倍数
30030n+29303 → 30030n+58607 → 30030n+28577 → 35 の倍数
30030n+29339 → 30030n+58679 → 30030n+28649 → 11 の倍数
30030n+29363 → 30030n+58727 → 30030n+28697 → 65 の倍数
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30030n+54779 → 30030n+24749 → 30030n+49499 → 30030n+19469 → 30030n+38939 →
30030n+8909 → 30030n+17819 → 30030n+35639 → 30030n+5609 → 13 の倍数
30030n+29411 → 30030n+58823 → 30030n+28793 → 30030n+57587 → 30030n+27557
→ 5 の倍数
30030n+29423 → 30030n+58847 → 30030n+28817 → 5 の倍数
30030n+29429 → 30030n+58859 → 30030n+28829 → 7 の倍数
30030n+29453 → 30030n+58907 → 30030n+28877 → 5 の倍数
30030n+29483 → 30030n+58967 → 30030n+28937 → 5 の倍数
30030n+29489 → 30030n+58979 → 30030n+28949 → 30030n+57899 → 30030n+27869
96
→ 15 の倍数
30030n+29531 → 30030n+59063 → 30030n+29033 → 30030n+58067 → 30030n+28037
→ 5 の倍数
30030n+29591 → 30030n+59183 → 30030n+29153 → 30030n+58307 → 30030n+28277
→ 5 の倍数
30030n+29609 → 30030n+59219 → 30030n+29189 → 30030n+58379 → 30030n+28349
→→ 30030n+56699 → 30030n+26669 → 143 の倍数
30030n+29621 → 30030n+59243 → 30030n+29213 → 30030n+58427 → 30030n+28397
→ 5 の倍数
30030n+29651 → 30030n+59303 → 30030n+29273 → 30030n+58547 → 30030n+28517
→ 55 の倍数
30030n+29663 → 30030n+59327 → 30030n+29297 → 5 の倍数
30030n+29681 → 30030n+59363 → 30030n+29333 → 7 の倍数
30030n+29693 → 30030n+59387 → 30030n+29357 → 5 の倍数
30030n+29699 → 30030n+59399 → 30030n+29369 → 30030n+58739 → 30030n+28709 →
30030n+57419 → 30030n+27389 → 30030n+54779 → 30030n+24749 → 30030n+49499 →
30030n+19469 → 30030n+38939 → 30030n+8909 → 30030n+17819 → 30030n+35639 →
30030n+5609 → 13 の倍数
30030n+29723 → 30030n+59447 → 30030n+29417 → 35 の倍数
30030n+29741 → 30030n+59483 → 30030n+29453 → 30030n+58907 → 30030n+28877
→ 5 の倍数
30030n+29759 → 30030n+59519 → 30030n+29489 → 30030n+58979 → 30030n+28949 →
30030n+57899 → 30030n+27869 → 30030n+55739 → 30030n+25709 → 30030n+51419 →
30030n+21389 → 11 の倍数
30030n+29801 → 30030n+59603 → 30030n+29573 → 11 の倍数
30030n+29819 → 30030n+59639 → 30030n+29609 → 30030n+59219 → 30030n+29189
→ 30030n+58379 → 30030n+28349 → 30030n+56699 → 30030n+26669 → 143 の倍数
30030n+29831 → 30030n+59663 → 30030n+29633 → 13 の倍数
30030n+29849 → 30030n+59699 → 30030n+29639 → 11 の倍数
30030n+29873 → 30030n+59747 → 30030n+29717 → 5 の倍数
30030n+29891 → 30030n+59783 → 30030n+29753 → 7 の倍数
30030n+29933 → 30030n+59867 → 30030n+29837 → 385 の倍数
30030n+29951 → 30030n+59903 → 30030n+29873 → 30030n+59747 → 30030n+29717
→ 5 の倍数
30030n+29993 → 30030n+59987 → 30030n+29957 → 5 の倍数
30030n+29999 → 30030n+59999 → 30030n+29969 → 11 の倍数
30030n+30011 → 30030n+60023 → 30030n+29993 → 30030n+59987 → 30030n+29957
→ 5 の倍数
30030n+30029 → 30030n+60059 → 30030n+30029 →ループ
つづく
97

命題と集合 ⑵

PDF形式 - 富山県東部消防組合

第14号様式（第9条第2項） 少量危険物 貯 蔵 の 廃止届出書 - 習志野市

状態空間モデルと時系列モデルの比較検討

整数問題攻略のための5つの原則

文字と式 - 文字の使用、積・商、数量の表し方

定理 1.11 (ユークリッド) 定理 1.12 (ユークリッド) 1．3 整数についての

第1章 集合と論理

ダウンロード - 北里大学同窓会 栃木県支部

空気呼吸・空気減圧表案（川崎委員提出）（PDF）