27 4 Relativbewegung eines Massenpunkts Die Differentiationsregeln für Geschwindigkeit und Beschleunigung sowie der Impulssatz gelten in ihrer einfachen Form nur bezüglich eines raumfesten Koordinatensystems, das auch als Inertialsystem bezeichnet wird. Häufig kann die Bewegung oder Teilbewegung einer zusammengesetzten Bewegung jedoch in einem bewegten Koordinatensystem einfacher beschrieben werden, wie bereits die Verwendung von Zylinderkoordinaten zeigte. In diesem Fall ist es günstig, parallel mit zwei Koordinatensystemen zu arbeiten, einem raumfesten und einem bewegten. Ein Vektor ist eine gerichtete Größe im Raum und damit in seiner physikalischen Bedeutung unabhängig von Koordinatensystemen. Die Darstellung eines solchen Vektors in verschieden Koordinatensystemen ist im Allgemeinen dagegen unterschiedlich. Der Zusammenhang zwischen diesen beiden Darstellungen kann über eine orthogonale Drehungsmatrix hergestellt werden. Damit ergeben sich auch unterschiedliche Interpretationen bei der Beobachtung eines zeitlich veränderlichen Vektors. Beobachtet man einen Lagevektor von einem raumfesten Koordinatensystem aus, ergeben sich durch Differentiation Absolutgeschwindigkeiten bzw. Absolutbeschleunigungen. Differenziert man dagegen einen im bewegten Koordinatensystem beschriebenen Vektor, ergeben sich daraus Relativgeschwindigkeiten und -beschleunigungen. Jede dieser Größen kann anschließend in beiden Koordinatensystemen dargestellt werden, behält dabei aber ihre physikalische Bedeutung. Die Anwendung des Impulssatzes erfordert die Verwendung einer Absolutbeschleunigung. Möchte man den Impulssatz in einem bewegten System formulieren, muss man zusätzliche Terme ergänzen, die sich aus der Bewegung des Koordinatensystems ergeben. Ein bewegter Beobachter empfindet diese Trägheitsterme als nichterklärbare zusätzliche Kräfte, weshalb sie auch als Scheinkräfte bezeichnet werden. Schiff in Strömung Fahrgast in Straßenbahn 28 4 Relativbewegung eines Massenpunkts 4.1 Koordinatentransformation Koordinatendarstellung eines Vektors Vektor ³ a(t) Koordinatensystem KȀNJ OȀ, e xȀ, e yȀ, e zȀ Nj Koordinatensystem KNJ O, e x, e y, e z Nj ³ ³ ³ ³ z ³ a(t) a(t) ³ ³ e zȀ ez ey e xȀ y ay ³ ³ a zȀ yȀ a xȀ ³ ax ³ e yȀ OȀ O x ³ az ³ ex ³ zȀ ³ ³ ³ a yȀ xȀ ³ ³ ³ a + a xe x ) a ye y ) a ze z ³ ³ a + a xȀe xȀ ) a yȀe yȀ ) a zȀe zȀ ȱaxȀȳ a KȀ +ȧa yȀȧ ȲazȀȴ ȱaaxȳ a K +ȧ yȧ Ȳazȴ Koordinatentransformation z ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ e xȀ + S 11e x ) S 21e y ) S 31e z ³ ³ e zȀ ³ e yȀ ³ S 11 e xȀ x S 21 S 31 e yȀ + S 12e x ) S 22e y ) S 32e z ³ y e zȀ + S 13e x ) S 23e y ) S 33e z ³ ȱS11ȳ ȱcos(ëxxȀ)ȳ e xȀK +ȧS 21ȧ+ȧcos(ëyxȀ)ȧ ȲS31ȴ Ȳcos(ëzxȀ)ȴ ȱS12ȳ ȱcos(ëxyȀ)ȳ e yȀK +ȧS 22ȧ+ȧcos(ëyyȀ)ȧ ȲS32ȴ Ȳcos(ëzyȀ)ȴ ȱS13ȳ ȱcos(ëxzȀ)ȳ e zȀK +ȧS 23ȧ+ȧcos(ëyzȀ)ȧ ȲS33ȴ Ȳcos(ëzzȀ)ȴ 4 Relativbewegung eines Massenpunkts ³ ³ ³ 29 ³ a + a xȀe xȀ ) a yȀe yȀ ) a zȀe zȀ Darstellung in K a K + a xȀe xȀK ) a yȀe yȀK ) a zȀe zȀK ȱS11ȳ ȱS12ȳ ȱS13ȳ + a xȀȧS 21ȧ) a yȀȧS 22ȧ) a zȀȧS 23ȧ ȲS31ȴ ȲS32ȴ ȲS33ȴ ȱaaxȳ ȱS11 ȧ yȧ+ȧ S21 Ȳazȴ Ȳ S31 aK + S 12 S13ȳȱa xȀȳ S 22 S23 ȧȧa yȀȧ S 32 S33 ȴȲa zȀȴ S KKȀ a KȀ Transformationsmatrix (Drehungsmatrix) KȀ ³ K Eigenschaften der Drehungsmatrix Drehungsmatrix: S KKȀ + ƪe xȀKeyȀKe zȀKƫ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ Es gilt: ø e xȀ ø+ø e yȀ ø+ø e zȀ ø+ 1, Daraus folgt: ȱeTxȀexȀ ȱeTxȀKȳ ȧeTyȀexȀ S TKKȀS KKȀ +ȧeTyȀKȧƪe xȀKe yȀKe zȀKƫ +ȧ ȧ ȧ ȧT T e Ȳ zȀKȴ ȲezȀexȀ z ³ ³ e xȀ·e yȀ + exȀ·e zȀ + e yȀ·e zȀ + 0. e TxȀe yȀ e TxȀe zȀȳ ȱ1 0 0ȳ ȧ +ȧ0 1 0ȧ e TyȀe yȀ e TyȀe zȀȧ ȧ Ȳ0 0 1ȴ e T e e T e zȀ yȀ ȴK zȀ zȀ ³ S TKKȀS KKȀ + S KKȀS TKKȀ + E Drehungsmatrix ist orthogonal T Z S *1 KKȀ + S KKȀ ³ w(t) ³ e zȀ Z det S KKȀ + 1 Z ³ e yȀ ³ e xȀ y x Rücktransformation a KȀ + S TKKȀaK S KȀK + S TKKȀ ȱ 0 * wz wy ȳ + wK + ȧ w z 0 * w xȧ Ȳ* wy wx 0 ȴ ȱwxȳ Winkelgeschwindig− ³ w K +ȧw yȧ keitsvektor dargestellt Ȳwzȴ in K . S KKȀS TKKȀ ~ 30 4 Relativbewegung eines Massenpunkts 4.2 Relativkinematik Annahmen: KNJ O, e x, e y, e z Nj ³ raumfestes Koordinatensystem S KKȀ +: S , ³ ³ ³ ³ KȀNJ OȀ, e xȀ, e yȀ, e zȀ Nj bewegtes Koordinatensystem abgekürzte Schreibweise: ³ S TKKȀ +: S T Lagebeschreibung z.B. Pilot P : ³ ³ zȀ ³ r + r OȀ ) r Ȁ OȀ z Koordinatendarstellung ³ in K : r K + r OȀK ) rȀK + r OȀK ) SrȀKȀ in KȀ : r KȀ + r OȀKȀ ) rȀKȀ + S Tr OȀK ) rȀKȀ rȀ r x Geschwindigkeit ³ ³ dr³ v + dr + OȀ ) dr Ȁ dt dt dt ³ Ableitung im raumfesten Koordinatensystem K : . v K + r K + d ǒr OȀK ) SrȀKȀ Ǔ dt . . . + r OȀK ) SrȀKȀ ) SrȀKȀ ~ v K + v OȀK ) w KrȀK ) vȀK Dies entspricht einer Koordinatendarstellung der Vektorbeziehung ³ ³ v+³ v OȀ ) w ³ rȀ) ³ vȀ P ³ y Absolutgeschwindigkeit: yȀ ³ r OȀ xȀ 4 Relativbewegung eines Massenpunkts 31 Verschiedene Geschwindigkeitsdefinitionen: Größe physikalische Bedeutung . Darstellung vK + rK Absolutgeschwindigkeit (relativ zu K) in K v KȀ + S T vK Absolutgeschwindigkeit (relativ zu K) in K’ . r KȀ keine . vȀKȀ + rȀKȀ Relativgeschwindigkeit (relativ zu K’) in K’ vȀK + S vȀKȀ Relativgeschwindigkeit (relativ zu K’) in K . rȀK keine v K , v KȀ vȀK , vȀKȀ sind Koordinatendarstellungen der Absolutgeschwindigkeit ³ v + d ³ r dt sind Koordinatendarstellungen der Relativgeschwindigkeit ³ v Ȁ + dȀ ³ rȀ dt Allgemein gilt für die Differentiation von Vektoren: ³ ³ d³ x + dȀ x ) w dt dt ³ x Beschleunigung Absolutbeschleunigung: ³ ³ dv ³ a + d v + OȀ ) dw dt dt dt ³ ³ ³ rȀ) w dr³Ȁ ) dv³Ȁ dt dt dv³OȀ ³ +: a OȀ dt Absolutbeschleunigung des Ursprungs OȀ ³ . ³ dw +: w dt Drehbeschleunigung des Koordinatensystems Anm.: dr³Ȁ + dȀr³Ȁ ) w dt dt dv³Ȁ + dȀv³Ȁ ) w dt dt ³ aȀ ³ ³ ³ ³ dw + dȀw ) w dt dt rȀ + ³ vȀ) w ³ ³ w 5 dȀw dt ³ rȀ ³ vȀ Relativbeschleunigung von P bez. KȀ 32 4 Relativbewegung eines Massenpunkts eingesetzt: . ³ ³ ³ a+a OȀ ) w ³ ³ rȀ) w ³ ǒw r ȀǓ ) 2w ³ ³ ³ ³ vȀ) aȀ Relativbeschleunigung Coriolisbeschleunigung Zentripetalbeschleunigung Eulerbeschleunigung Ursprungsbeschleunigung Absolutbeschleunigung Sonderfälle: Z . ³ ³ Parallelverschiebung (S + E ³ S + 0 ³ w + 0) ³ ³ ³ ³ r + r OȀ ) r Ȁ ³ v+³ v OȀ ) ³ vȀ ³ a+³ a OȀ ) ³ aȀ Z ³ Drehung um Fixpunkt (v³OȀ + 0) ³ ³ r +³ r OȀ ) ³ rȀ ³ ³ v+w ³ . ³ ³ ³ a+w rȀ) ³ vȀ ³ rȀ) w ³ ǒw ³ r ȀǓ ) 2w ³ ³ vȀ) ³ aȀ 4 Relativbewegung eines Massenpunkts 33 4.3 Relativkinetik 2. Newtonsches Grundgesetz ³ a ³ ³ ma +F ³ F Absolutbeschleunigung . ³ ³ a+³ a OȀ ) w . ³ ³ ma OȀ ) mw ³ ³ r Ȁ ) mw . ³ ³ ³ ³ ma Ȁ + F * ma OȀ * mw ³ ǒw ³ ³ rȀ) w ³ ǒw m ³ r ȀǓ ) 2w ³ ³ r ȀǓ ) 2mw ³ ³ ǒw ³ ³ r Ȁ * mw ³ vȀ) ³ aȀ ³ ³ ³ v Ȁ ) ma Ȁ+ F ³ r ȀǓ * 2mw ³ ³ vȀ Interpretation als Scheinkräfte ³ ³ ³ ³ ³ ³ ma Ȁ + F ) FT ) FE ) FZ ) FC ³ ³ F C + * 2mw ³ v Ȁ Corioliskraft ³ w m ³ vȀ ³ FC ³ ³ F Z + * mw ³ w ³ ǒw r ȀǓ ³ Zentrifugalkraft ³ rȀ . ³ w ³ . ³ F E + * mw ³ r Ȁ Eulerkraft ³ F T + * ma OȀ ³ rȀ m FE ³ Trägheitskraft FT ³ FZ ³ ³ m OȀ m ³ a OȀ 34 4 Relativbewegung eines Massenpunkts
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