Einführung in die Physik I Dynamik des Massenpunkts (4)

Einführung in die Physik I
Dynamik des Massenpunkts (4)
O. von der Lühe und U. Landgraf
Gravitation
• Die Gravitationswechselwirkung ist
eine der fundamentalen Kräfte in der
Physik
• Sie wirkt zwischen zwei Massen m1 und
m2, die sich im Abstand r voneinander
befinden, anziehend
m1
r
m2
r
m ⋅m
F = −G 1 2 2
r
r
r
⋅
r
• Gefunden im Jahre 1665 von Sir Isaac
Newton
• Universelle Gravitationskonstante G
G = 6.67 ⋅10 −11 [N m 2 kg -2 ]
• Zentralkraft
Dynamik des Massenpunkts 4
2
1
Kraft F [N]
1 .10
8
1 .10
9
1 .10
10
1 .10
11
1 .10
12
1 .10
13
Gravitationskraft
1 kg
0.1
1
r
1 kg
10
100
Abstand r [m]
Dynamik des Massenpunkts 4
3
Gravitationsbeschleunigung der Erde
• Körper umkreisen die Erde auf
annähernd kreisförmigen Bahnen
(Kreisbewegung)
• Die in einem konstanten Abstand r
vom Erdmittelpunkt ausgeübte
Schwerkraft bewirkt eine konstante
Beschleunigung aG, welche von der
Zentripetalbeschleunigung aZ genau
aufgehoben wird
• Die Beschleunigung nimmt mit
zunehmenden Abstand ab
Objekt
Oberfläche
Geostationärer
Satellit
Erdmond
Abstand
[km]
Periode
[s]
aG
aZ = ω 2 ⋅ r
Kreisfrequenz
[s-1]
Beschleunigung
[m s-2]
6.370
5.063
1.24 10-3
9.81
42.160
86.400
(1 Tag)
7.27 10-5
0.223
384.400
2.360.000
(27 Tage)
2.66 10-6
0.00273
Dynamik des Massenpunkts 4
4
2
Gravitationsbeschleunigung der Erde
100
Erdoberfläche
Beschleunigung a [m s^-2]
10
Geostationärer
Satellit
1
0.1
0.01
1 .10
Mond
3
1 .10
3
1 .10
4
1 .10
5
1 .10
6
Abstand vom Erdmittelpunkt [km]
Dynamik des Massenpunkts 4
5
Eigenschaften der Gravitation
• Nach bisherigen Erkenntnissen gilt das 1/r2 – Abstandsgesetz über
einen Bereich von wenigen Metern bis zu kosmischen Distanzen
• Die Newton‘sche Theorie der Gravitation ist 1916 von Albert
Einstein im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie erheblich
erweitert worden – geringe Abhängigkeit von Relativgeschwindigkeit
und Rotation in Extremfällen
• Es sind keine Stoffe bekannt, die Gravitation „abschirmen“ können
• Die Gravitation ist die schwächste der physikalischen
Fundamentalkräfte
– Die elektrostatische Anziehung zwischen Protonen und Elektronen ist
1040 größer als ihre Schwerkraft
• Die Gravitation wirkt aber ausschließlich anziehend (keine
„negativen“ Massen) und kann daher nicht neutralisiert werden
• Die Gravitation ist daher die stärkste Kraft, die über kosmische
Distanzen wirkt
Dynamik des Massenpunkts 4
6
3
Gravitationsfeld und Potential
• Eine Masse m gibt Anlass zu einem
Gravitationskraftfeld, welches mit
einer „Probemasse“ mp untersucht
werden kann
m
r
r
Gm r
Fp = − m p ⋅ 2 ⋅
r r
• Feldstärke g des Gravitationsfeldes
mp
r
r
Gm r
g=− 2 ⋅
r r
• Wegen des Äquivalenzprinzips
(träge Masse = schwere Masse) ist
die Feldstärke unabhängig vom
Probekörper
Dynamik des Massenpunkts 4
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Gravitationsfeld und Potential
• Das Gravitationsfeld einer Punktmasse ist
konservativ – es gibt ein Potential
– Für sehr große Entfernungen wird das
Potential konstant
• Vereinbarung: Nullpunkt der potentiellen
Energie einer Probemasse mp ist im
Unendlichen
– Kraft wird im Unendlichen Null
– Potentielle Energie ist für endliche
Abstände negativ
• Potential ϕ(r)
• Feldstärken
Dynamik des Massenpunkts 4
r r r
Epot (r ) = − ∫ F (r ′) dr ′
r
∞
r
Gm
dr ′
r ′2
∞
= mp ⋅ ∫
= − mp ⋅
Gm
r′
ϕ (r ) = −
Gm
r
r
r
r
F (r ) = − ∇Epot (r )
r r
r
g (r ) = − ∇ϕ (r )
8
4
Gezeiten
• Punktmassen sind eine Idealisierung, reale Massenverteilungen
ausgedehnt
• Gravitationsfeld wird dadurch komplexer, aber
– immer konservativ
– es gibt immer ein Potential
• Ausgedehnte Körper erfahren in einem Gravitationsfeld Gezeitenkräfte
⎛
1
1 ⎞ G ⋅ mMond
− 2 ⎟⎟ =
aGez = G ⋅ mMond ⎜⎜
2
r
rM2
(
)
±
r
r
M ⎠
⎝ M E
≈
G ⋅ mMond
rM2
Dynamik des Massenpunkts 4
⎛
⎜
⎜
1
⎜
rE
⎜⎛
⎜ ⎜⎜1 ± r
M
⎝⎝
⎞
⎛
G ⋅ mMond ⋅ rE
r
⎜⎜1 m 2 E − 1⎟⎟ = m 2
rM
rM3
⎠
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
2
⎞
⎟
⎟
− 1⎟
⎟
⎟
⎠
9
Gerthsen Physik
Planetenbahnen
• Die Bewegung zweier Massen im gemeinsamen Gravitationsfeld
kann mathematisch geschlossen beschrieben werden
(„Zweikörperproblem“)
• Das beste Beispiel für ein Zweikörperproblem stellt der Umlauf
eines Planeten um die Sonne dar. Dabei kann der Einfluss der
Schwerkraft anderer Planeten zunächst vernachlässigt werden
• Johannes Kepler (1571-1630) hat mithilfe umfangreicher
Beobachtungen von Tycho Brahe die drei Keplerschen Gesetze
(1609 und 1619), welche die Dynamik der Planeten umfassend
beschreiben
• Isaac Newton formulierte später (1687) die Axiome der Mechanik
und das Gravitationsgesetz, welche eine Verallgemeinerung der
keplerschen Gesetze darstellen
Dynamik des Massenpunkts 4
10
5
Planetenbahnen
• 1. Keplersches Gesetz: „Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen.
Die Sonne befindet sich in einem der Brennpunkte.“
• 2. Keplersches Gesetz: „Die Verbindungslinie Sonne-Planet
überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.“
• 3. Keplersches Gesetz: „Die Quadrate der Umlaufzeiten
verschiedener Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer großen
Bahnachsen.“
• Das 2. Keplersche Gesetz ist eine direkte Folge der Erhaltung des
Drehimpulses
• Das 1. und 3. Keplersche Gesetz folgen aus der Eigenschaft der
Gravitation, eine Zentralkraft mit einem 1/r2 – Abstandsgesetz zu
sein
Dynamik des Massenpunkts 4
11
Planetenbahnen – Ellipsen
• Ellipsen
b
– Große Halbachse a, kleine Halbachse b
– Abstand Mittelpunkt-Brennpunkt e
– Exzentrizität ε
a
ϕ
r
• Wähle den Brennpunkt, in dem sich die
Sonne befindet, als Ursprung des
Koordinatensystems
• Die Bewegung findet in einer Ebene
statt, die senkrecht zum Drehimpulsvektor steht
• Darstellung in Polarkoordinaten (r,ϕ),
welche dem Problem besser angepasst
sind
Dynamik des Massenpunkts 4
e
r‘
e2 = a 2 − b2
e
a
r + r ′ = 2a (Definition)
ε =
r=
b2
a(1 − ε cos ϕ )
12
6
Planetenbahnen – 2. Keplersches Gesetz
⎛r⎞
r
• Ort des Planeten: r = ⎜⎜ ⎟⎟
ϕ
⎝ ⎠
• Geschwindigkeit r ⎛ vr ⎞ ⎛ r& ⎞
v = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
des Planeten:
⎝ vϕ ⎠ ⎝ rϕ& ⎠
ϕ
r
v
L = m ⋅ r ⋅ vϕ = m ⋅ r 2 ⋅ ϕ& = konstant
• Drehimpulsbetrag:
• In der Zeit Δt von der
Verbindungslinie überstrichene Fläche
(Δt klein)
A=
1
2
t + Δt
r r
1
1 r
r r
∫ m r × v dt ′ ≈ 2 m r × v ⋅ Δt = 2 L ⋅ Δt
t
A 1 r
= L = konstant
Δt 2
Dynamik des Massenpunkts 4
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Planetenbahnen
• Man kann zeigen, dass Lösungen für
die Bewegungen im Gravitationsfeld
(einer Punktmasse) Kegelschnitte
sind
• Allgemeiner Zusammenhang
zwischen r und ϕ
r=
p
1 + e cos ϕ
p
Parabel
• Art der Bahn:
–
–
–
–
Kreis:
e = 0,
p=a=r
Ellipse: 0 < e < 1, p = b2/a
Parabel: e = 1, p bestimmt Öffnung
Hyperbel: e > 1,
p = b2/a
a
b
Dynamik des Massenpunkts 4
Hyperbel
14
7
Planetenbahnen
•
•
•
Gesamtenergie E (kinetische plus
potentielle Energie) bleibt erhalten
Potentielle Energie ist immer
negativ
Gesamtenergie E < 0:
–
–
–
–
•
Kreisbahnen (hoher Drehimpuls)
Elliptische Bahnen
Bahnen sind geschlossen
Planeten, Monde
Gesamtenergie E = 0
E = EKin + EPot
E>0
E=0
EPot = − G
E<0
m
r
– Parabelbahnen
– Kometen
•
Gesamtenergie E > 0
– Hyperbelbahnen
– Kometen
r
0
Dynamik des Massenpunkts 4
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Planetenbahnen – 3. Keplersches Gesetz
• Die Bahnen der Planeten sind in
guter Näherung Kreisbahnen
– Exzentrizität ε ≤ 0.05 für alle
Planeten außer Merkur
• Gravitationsbeschleunigung
unabhängig von Planetenmassen
aG = − G
mSonne
2
rPlanet
2
aZ = − ωPlanet rPlanet
2
– alle kleiner als 0.001 mSonne
• Gravitationsbeschleunigung aG
und Zentripetalbeschleunigung aZ
sind gleich groß
• Das Verhältnis von Quadrat der
Umlaufzeit TPlanet und der dritten
Potenz des Radius der
Planetenbahn rPlanet hängt nur von
konstanten Größen ab
Dynamik des Massenpunkts 4
⎛ 2π ⎞
⎟⎟ rPlanet
= ⎜⎜
⎝ TPlanet ⎠
2
⎛ 2π ⎞
m
⎟⎟ rPlanet = − G 2Sonne
− ⎜⎜
rPlanet
⎝ TPlanet ⎠
2
2
4π
T
= Planet
= konstant
3
G ⋅ mSonne
rPlanet
16
8
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9