Einführung in die Physik I Dynamik des Massenpunkts (4) O. von der Lühe und U. Landgraf Gravitation • Die Gravitationswechselwirkung ist eine der fundamentalen Kräfte in der Physik • Sie wirkt zwischen zwei Massen m1 und m2, die sich im Abstand r voneinander befinden, anziehend m1 r m2 r m ⋅m F = −G 1 2 2 r r r ⋅ r • Gefunden im Jahre 1665 von Sir Isaac Newton • Universelle Gravitationskonstante G G = 6.67 ⋅10 −11 [N m 2 kg -2 ] • Zentralkraft Dynamik des Massenpunkts 4 2 1 Kraft F [N] 1 .10 8 1 .10 9 1 .10 10 1 .10 11 1 .10 12 1 .10 13 Gravitationskraft 1 kg 0.1 1 r 1 kg 10 100 Abstand r [m] Dynamik des Massenpunkts 4 3 Gravitationsbeschleunigung der Erde • Körper umkreisen die Erde auf annähernd kreisförmigen Bahnen (Kreisbewegung) • Die in einem konstanten Abstand r vom Erdmittelpunkt ausgeübte Schwerkraft bewirkt eine konstante Beschleunigung aG, welche von der Zentripetalbeschleunigung aZ genau aufgehoben wird • Die Beschleunigung nimmt mit zunehmenden Abstand ab Objekt Oberfläche Geostationärer Satellit Erdmond Abstand [km] Periode [s] aG aZ = ω 2 ⋅ r Kreisfrequenz [s-1] Beschleunigung [m s-2] 6.370 5.063 1.24 10-3 9.81 42.160 86.400 (1 Tag) 7.27 10-5 0.223 384.400 2.360.000 (27 Tage) 2.66 10-6 0.00273 Dynamik des Massenpunkts 4 4 2 Gravitationsbeschleunigung der Erde 100 Erdoberfläche Beschleunigung a [m s^-2] 10 Geostationärer Satellit 1 0.1 0.01 1 .10 Mond 3 1 .10 3 1 .10 4 1 .10 5 1 .10 6 Abstand vom Erdmittelpunkt [km] Dynamik des Massenpunkts 4 5 Eigenschaften der Gravitation • Nach bisherigen Erkenntnissen gilt das 1/r2 – Abstandsgesetz über einen Bereich von wenigen Metern bis zu kosmischen Distanzen • Die Newton‘sche Theorie der Gravitation ist 1916 von Albert Einstein im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie erheblich erweitert worden – geringe Abhängigkeit von Relativgeschwindigkeit und Rotation in Extremfällen • Es sind keine Stoffe bekannt, die Gravitation „abschirmen“ können • Die Gravitation ist die schwächste der physikalischen Fundamentalkräfte – Die elektrostatische Anziehung zwischen Protonen und Elektronen ist 1040 größer als ihre Schwerkraft • Die Gravitation wirkt aber ausschließlich anziehend (keine „negativen“ Massen) und kann daher nicht neutralisiert werden • Die Gravitation ist daher die stärkste Kraft, die über kosmische Distanzen wirkt Dynamik des Massenpunkts 4 6 3 Gravitationsfeld und Potential • Eine Masse m gibt Anlass zu einem Gravitationskraftfeld, welches mit einer „Probemasse“ mp untersucht werden kann m r r Gm r Fp = − m p ⋅ 2 ⋅ r r • Feldstärke g des Gravitationsfeldes mp r r Gm r g=− 2 ⋅ r r • Wegen des Äquivalenzprinzips (träge Masse = schwere Masse) ist die Feldstärke unabhängig vom Probekörper Dynamik des Massenpunkts 4 7 Gravitationsfeld und Potential • Das Gravitationsfeld einer Punktmasse ist konservativ – es gibt ein Potential – Für sehr große Entfernungen wird das Potential konstant • Vereinbarung: Nullpunkt der potentiellen Energie einer Probemasse mp ist im Unendlichen – Kraft wird im Unendlichen Null – Potentielle Energie ist für endliche Abstände negativ • Potential ϕ(r) • Feldstärken Dynamik des Massenpunkts 4 r r r Epot (r ) = − ∫ F (r ′) dr ′ r ∞ r Gm dr ′ r ′2 ∞ = mp ⋅ ∫ = − mp ⋅ Gm r′ ϕ (r ) = − Gm r r r r F (r ) = − ∇Epot (r ) r r r g (r ) = − ∇ϕ (r ) 8 4 Gezeiten • Punktmassen sind eine Idealisierung, reale Massenverteilungen ausgedehnt • Gravitationsfeld wird dadurch komplexer, aber – immer konservativ – es gibt immer ein Potential • Ausgedehnte Körper erfahren in einem Gravitationsfeld Gezeitenkräfte ⎛ 1 1 ⎞ G ⋅ mMond − 2 ⎟⎟ = aGez = G ⋅ mMond ⎜⎜ 2 r rM2 ( ) ± r r M ⎠ ⎝ M E ≈ G ⋅ mMond rM2 Dynamik des Massenpunkts 4 ⎛ ⎜ ⎜ 1 ⎜ rE ⎜⎛ ⎜ ⎜⎜1 ± r M ⎝⎝ ⎞ ⎛ G ⋅ mMond ⋅ rE r ⎜⎜1 m 2 E − 1⎟⎟ = m 2 rM rM3 ⎠ ⎝ ⎞ ⎟⎟ ⎠ 2 ⎞ ⎟ ⎟ − 1⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 9 Gerthsen Physik Planetenbahnen • Die Bewegung zweier Massen im gemeinsamen Gravitationsfeld kann mathematisch geschlossen beschrieben werden („Zweikörperproblem“) • Das beste Beispiel für ein Zweikörperproblem stellt der Umlauf eines Planeten um die Sonne dar. Dabei kann der Einfluss der Schwerkraft anderer Planeten zunächst vernachlässigt werden • Johannes Kepler (1571-1630) hat mithilfe umfangreicher Beobachtungen von Tycho Brahe die drei Keplerschen Gesetze (1609 und 1619), welche die Dynamik der Planeten umfassend beschreiben • Isaac Newton formulierte später (1687) die Axiome der Mechanik und das Gravitationsgesetz, welche eine Verallgemeinerung der keplerschen Gesetze darstellen Dynamik des Massenpunkts 4 10 5 Planetenbahnen • 1. Keplersches Gesetz: „Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen. Die Sonne befindet sich in einem der Brennpunkte.“ • 2. Keplersches Gesetz: „Die Verbindungslinie Sonne-Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.“ • 3. Keplersches Gesetz: „Die Quadrate der Umlaufzeiten verschiedener Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer großen Bahnachsen.“ • Das 2. Keplersche Gesetz ist eine direkte Folge der Erhaltung des Drehimpulses • Das 1. und 3. Keplersche Gesetz folgen aus der Eigenschaft der Gravitation, eine Zentralkraft mit einem 1/r2 – Abstandsgesetz zu sein Dynamik des Massenpunkts 4 11 Planetenbahnen – Ellipsen • Ellipsen b – Große Halbachse a, kleine Halbachse b – Abstand Mittelpunkt-Brennpunkt e – Exzentrizität ε a ϕ r • Wähle den Brennpunkt, in dem sich die Sonne befindet, als Ursprung des Koordinatensystems • Die Bewegung findet in einer Ebene statt, die senkrecht zum Drehimpulsvektor steht • Darstellung in Polarkoordinaten (r,ϕ), welche dem Problem besser angepasst sind Dynamik des Massenpunkts 4 e r‘ e2 = a 2 − b2 e a r + r ′ = 2a (Definition) ε = r= b2 a(1 − ε cos ϕ ) 12 6 Planetenbahnen – 2. Keplersches Gesetz ⎛r⎞ r • Ort des Planeten: r = ⎜⎜ ⎟⎟ ϕ ⎝ ⎠ • Geschwindigkeit r ⎛ vr ⎞ ⎛ r& ⎞ v = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ des Planeten: ⎝ vϕ ⎠ ⎝ rϕ& ⎠ ϕ r v L = m ⋅ r ⋅ vϕ = m ⋅ r 2 ⋅ ϕ& = konstant • Drehimpulsbetrag: • In der Zeit Δt von der Verbindungslinie überstrichene Fläche (Δt klein) A= 1 2 t + Δt r r 1 1 r r r ∫ m r × v dt ′ ≈ 2 m r × v ⋅ Δt = 2 L ⋅ Δt t A 1 r = L = konstant Δt 2 Dynamik des Massenpunkts 4 13 Planetenbahnen • Man kann zeigen, dass Lösungen für die Bewegungen im Gravitationsfeld (einer Punktmasse) Kegelschnitte sind • Allgemeiner Zusammenhang zwischen r und ϕ r= p 1 + e cos ϕ p Parabel • Art der Bahn: – – – – Kreis: e = 0, p=a=r Ellipse: 0 < e < 1, p = b2/a Parabel: e = 1, p bestimmt Öffnung Hyperbel: e > 1, p = b2/a a b Dynamik des Massenpunkts 4 Hyperbel 14 7 Planetenbahnen • • • Gesamtenergie E (kinetische plus potentielle Energie) bleibt erhalten Potentielle Energie ist immer negativ Gesamtenergie E < 0: – – – – • Kreisbahnen (hoher Drehimpuls) Elliptische Bahnen Bahnen sind geschlossen Planeten, Monde Gesamtenergie E = 0 E = EKin + EPot E>0 E=0 EPot = − G E<0 m r – Parabelbahnen – Kometen • Gesamtenergie E > 0 – Hyperbelbahnen – Kometen r 0 Dynamik des Massenpunkts 4 15 Planetenbahnen – 3. Keplersches Gesetz • Die Bahnen der Planeten sind in guter Näherung Kreisbahnen – Exzentrizität ε ≤ 0.05 für alle Planeten außer Merkur • Gravitationsbeschleunigung unabhängig von Planetenmassen aG = − G mSonne 2 rPlanet 2 aZ = − ωPlanet rPlanet 2 – alle kleiner als 0.001 mSonne • Gravitationsbeschleunigung aG und Zentripetalbeschleunigung aZ sind gleich groß • Das Verhältnis von Quadrat der Umlaufzeit TPlanet und der dritten Potenz des Radius der Planetenbahn rPlanet hängt nur von konstanten Größen ab Dynamik des Massenpunkts 4 ⎛ 2π ⎞ ⎟⎟ rPlanet = ⎜⎜ ⎝ TPlanet ⎠ 2 ⎛ 2π ⎞ m ⎟⎟ rPlanet = − G 2Sonne − ⎜⎜ rPlanet ⎝ TPlanet ⎠ 2 2 4π T = Planet = konstant 3 G ⋅ mSonne rPlanet 16 8 Dynamik des Massenpunkts 4 17 9
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