4 - WWW-Docs for B-TU

11
4
Relativbewegung eines Massenpunkts
Aufgabe 1
Die Ableitungsregeln für Zylinderkoordinaten lassen
sich aus den Gesetzen der Relativkinematik herleiten.
z, zȀ
³
a) Stellen Sie den Winkelgeschwindigkeitsvektor w
des drehenden Koordinatensystems in KȀ auf.
P(t)
³
ez
³
b) Beschreiben Sie die relative Lage r Ȁ, Relativge³
³
schwindigkeit v Ȁ und Relativbeschleunigung a Ȁ
bez. KȀ im Koordinatensystem KȀ.
rȀ
³
O, OȀ
ö
³
c) Finden Sie die Vektoren der Lage r , Absolutgeschwindigkeit ³
v und Absolutbeschleunigung ³
a in
KȀ mit Hilfe der Relativkinematik.
z
³
eö
³
er
y
r
x
yȀ
xȀ
Aufgabe 2
Beweisen Sie durch Differentiation der Orthogonalitätsbeziehung
SS T + E nach der Zeit,
.
~
dass für beliebige Drehmatrizen das Produkt w
+ SS T schiefsymmetrisch ist, weshalb man
jeder Drehung durch Rösselsprung einen Winkelgeschwindigkeitsvektor w zuordnen kann.
Aufgabe 3
Ein Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindigkeit v F durch den Regen, der mit der Geschwindigkeit v R unter dem Winkel ö zu Boden fällt. Die
Windschutzscheibe des Fahrzeugs ist um 60°
geneigt.
yȀ
60°
ö
vR
xȀ
vF
a) Bestimmen Sie die Relativgeschwindigkeit
des Regens, die der Fahrer beobachtet.
b) Unter welchem Winkel fällt der Regen für v F + 72kmńh, v R + 30mńs, ö + 45° auf die
Windschutzscheibe?
c) Bei welcher Fahrzeuggeschwindigkeit klatscht der Regen senkrecht auf die Windschutzscheibe?
12
4 Relativbewegung eines Massenpunkts
Aufgabe 4
Ein Fahrzeug A fährt mit konstanter Geschwindigkeit
v 0 auf einem Kreis mit Radius R. Der Fahrer beobachtet dabei ein zweites Fahrzeug B, das rechts neben
ihm mit gleicher Geschwindigkeit geradeaus fährt.
Rń2
a) Wählen Sie ein mit dem Fahrzeug A verbundenes,
mitbewegtes Koordinatensystem KȀ, in dem alle
folgenden Vektoren beschrieben werden sollen.
Wie groß ist die Ursprungsgeschwindigkeit v OȀKȀ
und die Winkelgeschwindigkeit w KȀ des mitbewegten Koordinatensystems im skizzierten Augenblick?
v0
v0
R
b) Beschreiben Sie die Absolutgeschwindigkeit v BKȀ
und die relative Lage rȀKȀ des beobachteten Fahrzeugs B im skizzierten Augenblick.
A
B
c) Welche Relativgeschwindigkeit vȀBKȀ des Fahrzeugs B beobachtet der Fahrer des Fahrzeugs A
im skizzierten Augenblick?
d) Wählen Sie ein mit dem Fahrzeug B verbundenes, mitbewegtes Koordinatensystem KȀȀ.
Welche Relativgeschwindigkeit vȀȀKȀȀ des Fahrzeugs A beobachtet der Fahrer des Fahrzeugs B im skizzierten Augenblick?
Aufgabe 5
In einem Mechanismus wird eine
Schwinge über eine Kurbel (Radius R, Winkelgeschwindigkeit W)
angetrieben.
P
yȀ
wS
v rel
b
xȀ
R
ö
a
W
a) Bestimmen Sie die effektive
Schwingenlänge b und den
Schwingenwinkel a aus der
Geometrie.
3R
b) Berechnen Sie mit Hilfe der Relativkinematik die Relativgeschwindigkeit v rel des Kubelzapfens P bezüglich der Schwinge sowie die Winkelgeschwindigkeit w S der Schwinge
in der skizzierten Position.
c) Wie groß ist die Relativgeschwindigkeit v rel und die Winkelgeschwindigkeit w S der
Schwinge für ö + 0° und ö + 180°?
4 Relativbewegung eines Massenpunkts
Aufgabe 6
z
Ein Spielzeugkreisel mit kugelförmiger Kontaktfläche (Radius R) tanzt auf einer Ebene mit der
Winkelgeschwindigkeit W. Durch die Eigendrehung und kleine Kippbewegungen a, b Ơ 1 hat
der Kreisel im inertialen Koordinatensystem K
{0, x, y, z}die Winkelgeschwindigkeit
ȱa.. ) bWȳ
w K +ȧb * aWȧ.
Ȳ W ȴ
Der Mittelpunkt seiner Kugeloberfläche bewegt sich dabei mit der Absolutgeschwindigkeit
13
W
y OȀ
O
y
OȀ
b
x OȀ
P
a
x
ȱx.. OȀȳ
vOȀK +ȧy OȀȧ.
Ȳ0ȴ
Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des körperfesten Punktes P, der momentan die Ebene
berührt.
Aufgabe 7
Ein Reisender jongliert in einem Zug (Reisegeschwindigkeit v R) mit einem Ball. Er wirft dazu
den Ball mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0
senkrecht nach oben. Im Moment des Abwurfs
(t + 0) fährt der Zug in einen Bahnhof ein und
beginnt, mit der konstanten Verzögerung
a V u 0 zu bremsen.
vR
y, yȀ
v0
xȀ
a) Ein Mann auf dem Bahnsteig beobachtet den
Jongleur durch das Fenster. Wie lautet der
Impulssatz für den Ball im raumfesten Koordinatensystem dieses Beobachters? Welche
Flugbahn y(x) beobachtet er?
b) Wie lautet der Impulssatz für den Ball im mitbewegten Koordinatensystem des Jongleurs? Welche Flugbahn yȀ(xȀ) beobachtet
er?
c) Welche Flugbahnen würden die beiden sehen, wenn der Zug nicht bremsen würde?
H
x
1
2
3
14
4 Relativbewegung eines Massenpunkts
Aufgabe 8
Ein Fahrgeschäft auf einem Rummelplatz besteht
aus aus einer horizontalen Scheibe (konstante
Winkelgeschwindigkeit W), auf der sich im Abstand
R von der Drehachse eine Gondel (Radius r) mit
der konstanten Winkelgeschwindigkeit w relativ zur
Scheibe dreht. Im Drehpunkt der Gondel wird ein
mitbewegtes, gondelfestes Koordinatensystem KȀ
definiert, in dem die folgenden Angaben zu machen sind.
y
xȀ
P
wt
r
yȀ
R
Wt
x
a) Welche Scheinkräfte verspürt ein Fahrgast P
(Masse m), der sich an den Gondelrand anlehnt, bezüglich KȀ?
b) Formulieren Sie den Impulssatz für den Fahrgast in Relativkoordinaten und berechnen Sie
die Kontaktkräfte tangential und normal zur
Gondelwand.
c) Wie schnell muss sich die Gondel drehen, damit der Fahrgast sicher an die Gondelwand
gepresst wird?

Download Report