Differenzialgleichungen

Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Differenzialgleichungen
Fakultät Grundlagen
Februar 2016
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Übersicht
1
Definitionen, Beispiele
2
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
3
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 2
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Radioaktiver Zerfall
Differentialgleichungen (DGL) beschreiben Naturgesetze.
Radioaktiver Zerfall: Anzahl der zerfallenden Atomkerne nZ (t, ∆t)
pro Zeiteinheit ∆t ist proportional zur Zahl der vorhandenen Kerne
n(t) und der vergangenen Zeit ∆t .
n(t + ∆t) = n(t) − nZ (t, ∆t) ≈ n(t) − λn(t) · ∆t
n(t + ∆t) − n(t) ≈ −λn(t) · ∆t
n(t + ∆t) − n(t)
≈ −λn(t)
Grenzübergang ∆t → 0
∆t
dn(t)
n(t) : Teilchenanzahl zur Zeit t
= −λn(t)
λ : radioaktive Zerfallskonstante
dt
Welcher Funktionstyp kommt in Frage? =⇒ e-Funktion
n(t) = e−λt erfüllt DGL;
auch n(t) = C · e−λt !!
Startbedingung: n(0) = n0 ergibt die gesuchte spezielle Lösung:
n(t) = n0 · e−λt
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Differenzialgleichungen
Folie: 3
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Loch im Eimer
2
√
v = 2gh
Energiebilanz: ∆m · g · h = ∆m v2
Q : Querschnitt Zylinder; q : Querschnitt Ausfluss
Massenbilanz: Q · [h(t + ∆t) − h(t)] = −v · q · ∆t
{z
}
|
<0
p
∆h = − q · v = − q · √2gh = − q · 2g · √h
∆t
Q
Q
Q
p
q · 2g √
dh
DGL (∆t → 0):
=−
· h; h(0) = H
dt
Q
Beobachtung: Ableitung entspricht bis auf Zahlenfaktor dem Wurzelziehen!
Ansatz: h(t) = (at p
+ b)2
ḣ(t) = 2a(at + b) p
in DGL eingesetzt:
q · 2g
q · 2g
2a(at + b) = −
· (at + b)
a=−
Q
2Q
√
2
h(0) = b = H
h = ± H positives VZ, da Zylinder für t > 0 leer!
p
2
q
√
q · 2g
2H
h(t) =
H−
t
Zylinder leer, d. h. h = 0
t0 = Q
q
g
2Q
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Differenzialgleichungen
Folie: 4
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Federpendel
lineares, ungedämpftes Pendel
Federkraft proportional zur
Auslenkung
c
0
x(t)
m
c
:
:
:
Auslenkung zur Zeit t;
Masse;
Federkonstante
Newton: mẍ = −cx
m
x(t)
mẍ + cx = 0
Lösung: Schwingungsbewegung!
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Differenzialgleichungen
Folie: 5
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Federpendel
mẍ + cx = 0
Welcher Funktionstyp kommt in Frage? =⇒ x1 (t) = cos(ωt)
dx1 (t)
d 2 x1 (t)
= −ω sin(ωt)
= −ω 2 cos(ωt) eingesetzt in DGL:
dt
dt 2
c bzw. ω = p c
m · (−ω 2 cos(ωt)) + c · cos(ωt) = 0
ω2 = m
m
Ebenso erfüllt sin(ωt) die DGL; Insgesamt erhält man als Lösung
die Gesamtheit aller harmonischen Schwingungen:
x(t) = C1 · cos(ωt) + C2 · sin(ωt) Ci ∈ IR
Anpassung an Startwerte x(0) = x0 ; ẋ(0) = v0 ergibt Lösung des
sogenannten Anfangswertproblems.
v0
x(t) = x0 · cos(ωt) +
· sin(ωt)
ω
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Folie: 6
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Gewöhnliche Differenzialgleichung I
Eine Gleichung zwischen einer unbekannten Funktion y (x), ihren
Ableitungen bis einschließlich n-ter Ordnung y 0 (x), . . . , y (n) (x) und
ihrem Argument x heißt gewöhnliche Differentialgleichung
n-ter Ordnung (Abkürzung: DGL).
F (x; y 0 , . . . , y (n) ) = 0
(∗)
implizite Form
y (n) (x) = f (x; y , y 0 , . . . , y (n−1) ) (∗∗) explizite Form
n
= Ordnung der höchsten auftretenden Ableitung
= Ordnung der DGL
Eine Funktion y (x) ist Lösung der DGL, falls sie (∗) bzw. (∗∗)
erfüllt. Die Gesamtheit aller Lösungsfunktionen bilden die
allgemeine Lösung der DGL; Lösungsfunktionen, die durch
zusätzliche Bedingungen festgelegt werden, heißen spezielle oder
partikuläre Lösungen.
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Folie: 7
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Gewöhnliche Differenzialgleichung II
Beispiele:
radioaktiver Zerfall
Pendel
DGL 1. Ordnung
DGL 2. Ordnung
=⇒
=⇒
1 Integrationskonstante
2 Integrationskonstanten
Die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen DGL n-ter Ordnung
enthält n freie Integrationskonstanten.
Die Gesamtheit aller Lösungskurven bildet eine n-parametrige
Kurvenschar. Spezielle oder partikuläre Lösungen erhält man
durch Vorgabe zusätzlicher Bedingungen.
Man unterscheidet:
1 Anfangswertproblem (AWP)
DGL mit Bedingungen für y , y 0 ,. . . ,y (n−1) an einer Stelle x0
2 Randwertproblem (RWP)
DGL mit Bedingungen für y , y 0 ,. . . ,y (n−1) an mehr als einer
Stelle
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Folie: 8
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Gewöhnliche Differenzialgleichung III
Durch Lösen einer DGL n-ter Ordnung erhält man eine
n-parametrige Kurvenschar. Gelegentlich interessiert auch das
umgekehrte Problem: Gibt es es zu einer n-parametrigen
Kurvenschar eindeutig eine DGL n-ter Ordnung? Wie erhält man
diese Differentialgleichung?
yC (x) = C · e−3x
yC0 (x)
(−3) · C · e−3x
=
= −3
yC (x)
yC0 (x) = (−3) · C · e−3x
C · e−3x
bzw.
y 0 = −3y
yC1 ,C2 (x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x)
yC0 1 ,C2 (x) = −2C1 sin(2x) + 2C2 cos(2x)
4y + y 00 = 0
yC001 ,C2 (x) = −4C1 cos(2x) − 4C2 sin(2x)
Eine gewöhnliche DGL n-ter Ordnung ist äquivalent zu einer
n-parametrigen Kurvenschar.
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Folie: 9
Definitionen, Beispiele
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Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
Begriffe
Explizite Form:
y 0 (x) = f (x, y ) ;
(x|y ) ∈ Df ⊂ IR2
Jedem Punkt P(x|y ) ∈ Df wird dadurch der Wert der Steigung der
Lösungskurve durch P zugeordnet.
Definition: Unter einem Linienelement im Punkt P0 (x0 , y0 )
versteht man einen kleinen Tangentenabschnitt an die
Lösungskurve im Punkt P0 , bestimmt durch die Steigung
m = y 0 (x0 ) = f (x0 , y0 ).
Die Gesamtheit aller Linienelemente heißt Richtungsfeld der
Differenzialgleichung.
Das Richtungsfeld gibt einen qualitativen Überblick“ über den
”
Verlauf der Lösungskurven; hat man genügend Linienelemente
gezeichnet, so lassen sich die Lösungskurven einpassen“.
”
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Folie: 10
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Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
Richtungsfeld
Richtungsfeld der Differenzialgleichung y 0 = 10
y
sin(x)
1 − 10y
x
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Folie: 11
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Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
Beispiel I
y0 = −
x
y
y
(∗)
P
Die Steigung m = − yx gibt stets die
Richtung senkrecht zum Ursprungsstrahl
OP an; alle Linienelemente stehen
senkrecht auf OP .
x
=⇒ Lösungskurven sind konzentrische
Kreise um O.
Die allgemeine Lösung von (∗) lautet:
Nachrechnen:
√
y = ± C − x2
y 0 = ± p −x
C − x2
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x2 + y2 = C ;
C > 0.
y · y 0 = −x
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Folie: 12
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Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
Beispiel II
y
(∗)
x
Das Richtungsfeld besteht aus Linienelementen in Richtung der Ursprungsgeraden.
y0 =
y
=⇒ Lösungskurven sind alle Ursprungsgeraden y = C · x.
P(x, y )
x
Vergleich Beispiel I und II
DGL
Kurvenschar
= − yx
y
y0 = x
x2 + y2 = C > 0
Kreise um Ursprung
y = C ·x
Ursprungsgeraden
y0
Beide Kurvenscharen schneiden sich überall senkrecht!
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Folie: 13
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Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
Orthogonaltrajektorien
m1 ⊥ m2
⇔
1
m1 · m2 = −1 bzw. m1 = − m2 .
Ebenso erhält man aus einer DGL die DGL der dazu senkrechten
Kurvenschar – genannt Orthogonaltrajektorien – indem man in der
Ausgangsgleichung y 0 durch − 10 ersetzt.
y
Beispiel: y = C · x 3 kubische Parabeln
y0
3y
3
0
zugehörige DGL: y 0 = 3Cx 2 ;
y = x bzw. y = x
x
DGL der Orthogonaltrajektorien: − 10 = x3 bzw. y 0 = − 3y
y
dy
x sortieren der Variablen ergibt:
Anleihe an Rezept“:
= − 3y
dx
”
3y · dy = −x · dx Ruf nach Integralzeichen!!
2
y2
3 2 = − x2 + C bzw. x 2 + 3y 2 = C > 0 Probe: 2x + 6yy 0 = 0
√
Ellipsen um Ursprung; Halbachsenverhältnis 1 : 3
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Folie: 14
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Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
Orthogonaltrajektorien Beispiel
y
x
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Folie: 15
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Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
Anfangswertproblem
Anfangswertproblem einer Differentialgleichung 1. Ordnung.
y 0 = f (x, y ) ,
y (x0 ) = y0
Die rechte Seite der Differentialgleichung weist jedem Punkt des
Definitionsbereichs eine Steigung zu.
Das Lösen einer DGL bedeutet die Konstruktion der zugehörigen
Kurve, d. h. einer Funktion, deren Ableitung überall mit der
vorgegebenen Steigung übereinstimmt.
Bei gutartiger“ rechter Seite verläuft durch jeden Punkt genau
”
eine Lösungskurve, d. h. die Kurven können sich nicht schneiden.
Der Grundgedanke fast aller numerischer Verfahren ist, die sich
kontinuierlich ändernde Steigung durch die Steigung(en) an einem
oder mehreren diskreten Punkt(en) zu ersetzen.
Alle numerischen Verfahren lassen sich auch auf vektorwertige
Funktionen übertragen.
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Folie: 16
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Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
Numerik; Richtungsfeld
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Folie: 17
Definitionen, Beispiele
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Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
Konstruktion des Eulerverfahrens
y (x)
y
y2
g2
m2
g1
y1
m1
y0
m0
g0
x
x0
x0 + h
| {z }
x1
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Differenzialgleichungen
x1 + h
| {z }
x2
Folie: 18
Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Algorithmus des Eulerverfahrens
Steigungen der Geraden
g0 : m0 = f (x0 , y0 )
y1
Rechenvorschrift
= y0 + h · f (x0 , y0 )
g1 : m1 = f (x1 , y1 )
y2
=
y1 + h · f (x1 , y1 )
g2 : m2 = f (x2 , y2 )
y3
=
y2 + h·f (x2 , y2 )
..
.
..
.
..
.
y
..
.
..
.
y (x)
y2
g2
y1
y0
g1
g0
x
x0
x1
Algorithmus
yn+1
xn+1
=
=
yn + h · f (xn , yn )
xn + h
x2
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Folie: 19
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Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
Separierbare DGL; Trennung der Variablen
f (x)
g (y )
f (x)
dy
=
dx
g (y )
f (x) · dx
Zg (y ) · dy = Z
y0 =
g (y ) dy =
y0 →
dy
dx
Bruchrechnung für Differenzial!
Ruf nach Integral wird erhört!
f (x) dx
Kennt man die Stammfunktionen von g (y ) bzw. f (x), so erhält
man die Lösungsfunktion y (x) in impliziter Form:
Z
Z
g (y ) dy = f (x) dx ⇐⇒ G (y ) = F (x) + C
Ist die Funktion G (y ) nicht allzu kompliziert, dann lässt sich die
obige Beziehung nach y auflösen. y = G −1 (F (x) + C )
Exakter Nachweis mit Kettenregel! Aufgabe!
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Folie: 20
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Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
Beispiel I
2y
AWP : y 0 = x ; y (1) = 1
2y
y0 = x
dy
2y
= x
Z dx
Z
dy
2dx
y =
x
ln |y | = 2 ln |x| + C
ln |y | =
y =
ln(x 2 )
±eC
x
+C
· x2
y = K · x2 ;
K ∈ IR
!
y (1) = K · 1 = 1
Lösung AWP:
y
K =1
y = x2
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Differenzialgleichungen
Folie: 21
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
Beispiel II
y2 + 1
x ; y (1) = 1
y2 + 1
y0 =
x
dy
y2 + 1
=
dx
Z
Z x
dy
dx
=
x
y2 + 1
arctan y = ln x + C
AWP : y 0 =
y
x
y = tan (ln x + C )
!
y (1) = tan |{z}
ln 1 +C = 1
=0
Lösung AWP:
C = arctan(1) = π
4
y = tan ln x + π4
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 22
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
Existenz und Eindeutigkeit; Singularitäten
Anfangswertproblem: y 0 = f (x, y ) ;
y (x0 ) = y0
(AWP)
Ist f (x, y ) und fy (x, y ) in einer Umgebung von (x0 |y0 ) stetig, so
existiert dort eine eindeutige Lösung des Anfangswertproblems.
Singulatitäten von f (x, y )
y2 + 1
y 0 = x ; y = tan (ln x + C )
Für x = 0 keine Lösung.
y
(x0 |y0 )
x
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Differenzialgleichungen
Folie: 23
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
Existenz und Eindeutigkeit; Singularitäten
Anfangswertproblem: y 0 = f (x, y ) ;
y (x0 ) = y0
(AWP)
Ist f (x, y ) und fy (x, y ) in einer Umgebung von (x0 |y0 ) stetig, so
existiert dort eine eindeutige Lösung des Anfangswertproblems.
Singulatitäten von f (x, y )
2y
y0 = x ; y = C · x2
Durch (0|0) unendlich viele
Lösungen; sonst für x = 0 keine
Lösung.
y
(x0 |y0 )
x
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 24
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
Existenz und Eindeutigkeit; Singularitäten
Anfangswertproblem: y 0 = f (x, y ) ;
y (x0 ) = y0
(AWP)
Ist f (x, y ) und fy (x, y ) in einer Umgebung von (x0 |y0 ) stetig, so
existiert dort eine eindeutige Lösung des Anfangswertproblems.
Singulatitäten von f (x, y )
y 0 = − yx ; x 2 + y 2 = C
Für y = 0 senkrechte Tangenten
y
(x0 |y0 )
x
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 25
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
Lineare Substitution
DGL vom Typ
Substitution :
y 0 = f (ax + by + c)
(∗)
u = ax + by + c
differenziert nach x: u 0 = a + b · y 0
y 0 aus der DGL (*): y 0 = f (u)
(u = u(x), y = y (x))
⇒
u 0 = a+b·f (u)
(∗∗)
(∗∗) ist eine separierbare DGL für u(x).
(∗∗) ⇔
du
= a+b·f (u)
dx
⇔
dx =
du
a + b · f (u)
. . . DGL für u(x)
Integration ergibt u(x).
u(x) in die Substitutionsgleichung
Rücksubstitution:
einsetzen und auflösen nach y (x).
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Differenzialgleichungen
Folie: 26
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
Lineare Substitution; Beispiel
AWP: y 0 = (x + y − 1)2 ; y (0) = 1
Substitution: u(x) = x + y (x) − 1
0
u = 1 + y0
=⇒
=⇒ u 0 = 1 + u 2
y0 =
u2
Z
Z
du = 1 + u 2 ⇐⇒
du = dx =⇒
du = 1 dx
dx
1 + u2
1 + u2
=⇒ arctan u = x + C ⇐⇒ u = tan (x + C )
Rücksubstitution:
u = x + y − 1 ⇐⇒ y = u − x + 1
=⇒
y (x) = tan (x + C ) − x + 1
!
y (0) = tan(0 + C ) − 0 + 1 = 1
C =0
Lösung des AWP: y (x) = tan (x) − x + 1
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 27
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
Definition
Normalform
y 0 (x) + g (x) · y (x) = r (x)
Markenzeichen: die unbekannte Funktion y (x) und ihre Ableitung
y 0 (x) gehen linear ein. Die Koeffizienten g (x) und r (x) dürfen
nichtlinear von x abhängen!
r (x) heißt Störfunktion (Störglied).
Bezeichnung:
y 0 + g (x) · y = 0
y0
. . . lineare homogene DGL
+ g (x) · y = r (x) . . . lineare inhomogene DGL
Lineare DGL erster Ordnung werden in zwei Schritten integriert.
Beispiele für Einordnung (Eselsbrücke: y , y 0 → xi ; x → Zahl) :
y
y 0 + x = sin(2x) . . .
x1 + x52 = sin(10) ⇒ linear
0
y + sin(x · y ) = cos(3x) . . . x1 + sin(7 · x2 ) = cos(21) ⇒ nichtlinear
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 28
Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
1.Schritt: homogene Differenzialgleichung
separierbar, besitzt stets die
triviale Lösung y (x) = 0.
y 0 (x) + g (x) · y (x) = 0
Trennung der Variablen:
dy
= −g (x)y
Z dx
Z
dy
y = − g (x) dx
Z
ln |y | = − g (x)dx + ln |C |
= −G (x) + ln |C |
yh (x) = C e−G (x) = Ce −
R
Beispiel:
y 0 cos(x) + y sin(x) = 0
y sin(x)
dy
= −
dx
cos(x)
Z
Z
sin(x)
dy
y = − cos(x) dx
ln |y | = ln | cos(x)| + ln |C |
g (x)dx
yh (x) = C · cos(x)
= C · y1 (x)
Grundlösung: y1 (x) = e−G (x)
Fakultät Grundlagen
y1 (x) = cos(x)
Differenzialgleichungen
Folie: 29
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
2.Schritt: inhomogene Differenzialgleichung
y 0 (x) + g (x) · y (x) = r (x)
y1 (x) sei Lösung der hom. DGL:
y 0 (x) + g (x) · y (x) = 0
Ansatz: y (x) = C (x) · y1 (x) y 0 (x) = C 0 (x) · y1 (x) + C (x) · y10 (x)
y (x), y 0 (x) einsetzen in inhomogene Differenzialgleichung:
C 0 (x) · y1 (x) + C (x) · y10 (x) + g (x) · C (x) · y1 (x) = r (x)
C 0 (x) · y1 (x) + C (x) · y10 (x) + g (x) · y1 (x) = r (x)
|
{z
}
=0
C 0 (x) · y1 (x) = r (x)
y (x) = C (x) · y1 (x)
r (x)
Z
C 0 (x) =
r (x)
y
1 (x)
Z
dx + K · y1 (x)
y (x) = y1 (x) ·
| {z }
r (x)
y1 (x)
C (x) =
dx + K
|
{z
}
y1 (x)
yh (x)
yp (x)
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 30
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
Allgemeine Lösung; Zusammenfassung
Die allgemeine Lösung der linearen inhomogenen DGL
y 0 (x) + g (x) · y (x) = r (x)
besteht aus zwei Anteilen
yh (x) = K · y1 (x)
Z
yp (x) = y1 (x) ·
y (x) = yh (x) + yp (x)
mit
. . . allgemeine Lösung der hom. DGL
r (x)
dx . . . partikuläre Lösung der inhom. DGL
y1 (x)
Diese Eigenschaft ist charakteristisch für lineare Differenzialgleichungen beliebiger Ordnung. Sie vereinfacht oft die Lösung:
Nach Ermittlung der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung
kann man oft aufgrund der Bauart der Störfunktion eine
partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung erraten“.
”
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 31
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
Lineare Differenzialgleichung; Beispiel I
AWP
y + x · y 0 = 2x + 1 ; y (1) = 3
1. Schritt
hom. Dgl: y + x ·
2. Schritt
y0
=0
dy
y
= −x
dx
Z
Z
dy
dx
y = −
x
y1 (x) = x1
C (x)
x ;
C 0 (x) C (x)
yp0 (x) = x − 2 ;
x
0
C (x) C (x)
C (x)
= 2x + 1
x +x ·
x − x2
yp (x) =
ln |y | = − ln |x| + ln |C |
yh (x) = C
x
inhom. Dgl: y + x · y 0 = 2x + 1
C (x)
yp (x) = x
= x +1
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
C 0 (x) = 2x + 1
C (x) = x 2 + x
Folie: 32
Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Lineare Differenzialgleichung; Beispiel II
y
3. Schritt
Allgemeine Lösung:
y (x) = yh (x) + yp (x)
= C
x + x + 1 ; C ∈ IR
4. Schritt
Anfangsbedingung:
!
y (1) = C
1 +1+1=3
C =1
x
y (x) = x1 + x + 1
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 33
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Geometrische Deutung
Numerik
Einfache integrierbare DGL 1. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung
Flussdiagramm für Differenzialgleichungen 1. Ordnung
DGL
H
nein H
H ja
linear
H
H
H
H
nein separierbarH
H ja
H
H
Spez. Verfahren
Substitution?
u = ax + by + c
y
u= x
H
Separieren und
integrieren
Numerik
Fakultät Grundlagen
H
nein H
H ja
Konst. Koeff.
H
H
H
yh mit
Separation
yh mit charakt.
Gleichung
yp mit Variation
der Konstanten
yp mit
Störgliedansatz
Differenzialgleichungen
Folie: 34
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Zurückführen auf DGL 1.Ordnung
Fall 1:
y 00 = f (x, y 0 )
. . . y fehlt in der DGL
Die Substitution u = y 0 führt auf eine DGL 1. Ordnung für u(x).
Fall 2:
y 00 = f (y )
. . . x und y 0 fehlen in der DGL
Multiplikation mit y 0 ( integrierender Faktor“)
”
R 0 00
R
⇒ y 0 · y 00 = f (y ) · y 0 ⇒
y · y dx = f (y ) · y 0 dx
1 y 02 = R f (y ) dy
d y 02 = 2y 0 y 00 ,
2
q R
⇒
wegen dx
dy
y 0 = ± 2 f (y ) dy + C
dx = dy
y 0 dx =
dx
Parameterabhängige DGL 1. Ordnung!
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 35
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Zurückführen auf DGL 1.Ordnung, Beispiel
AWP:
y 00 = − 12 ;
y
y (0) = 2, y 0 (0) = 1
Erzeugen DGL 1. Ordnung
Z
Z
−1 y 0 dx
00
0
y · y dx =
y 2 | {z }
dy
= y1 + C1
Anfangsbedingungen für x=0:
1 02
2y
1
2
=
⇒
1
2
⇒ C1 = 0
1 02
= y1
2y
q
y 0 = ± y2
+ C1
⇒
Lösen DGL 1. Ordnung
q
2
0
y0 =
y da y (0) > 0
R√
R√
y dy =
2 dx
√
3
2 2
= 2 x + C2
3y
√
2
⇒ y = ( 23 2 x + K ) 3
Anfangsbedingung y (0) = 2
2
!
y (0) = K 3 = 2
⇒
K=
√
8
√
√ 2
y (x) = ( 23 2 x + 8) 3
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 36
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Bezeichnungen
Ln [y ] = y (n) + an−1 (x) · y (n−1) + . . . + a1 (x) · y 0 + a0 (x) · y
Ln [y ] = 0
. . . lineare homogene DGL n-ter Ordnung
Ln [y ] = r (x)
. . . lineare inhomogene DGL n-ter Ordnung
r (x)
. . . Störfunktion
Superpositionsprinzip für homogene DGL
y1 (x), y2 (x) mit Ln [yi ] = 0 ⇒ C1 y1 (x) + C2 y2 (x) ist ebenfalls Lösung
n linear unabhängige Lösungen der hom. DGL Ln [y ] = 0 heißen ein
Fundamentalsystem. Die allgemeine Lösung der homogenen
Gleichung erhält man als Linearkombination dieser Funktionen:
yh (x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + . . . + Cn yn (x)
Die allgemeine Lösung y (x) der inhomogenen DGL Ln [y ] = r (x)
ergibt sich als Summe der allgemeinen Lösung der homogenen
DGL und einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL:
y (x) = yh (x) + yp (x)
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 37
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Lösungsstruktur
Spezialfall: Koeffizienten ai hängen nicht von der Variablen x ab!
Ln [y ] = an y (n) + an−1 · y (n−1) + . . . + a1 · y 0 + a0 · y ; ai ∈ IR, an 6= 0
Ln [y ] = 0
. . . lineare homogene DGL n-ter Ordnung
Ln [y ] = r (x)
. . . lineare inhomogene DGL n-ter Ordnung
r (x)
. . . Störfunktion
Die Lösung besteht wieder aus zwei Teilen; der allgemeinen Lösung
yh (x) der zugehörigen homogenen Differenzialgleichung und einer
speziellen Lösung yp (x) der inhomogenen Gleichung.
Die Bestimmung von yh (x) wird sich als eine rein algebraische
Fragestellung entpuppen.
Die Berechnung einer speziellen Lösung yp (x) stellt sich als
gezielte Ratestrategie“ dar.
”
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 38
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Homogene DGL; charakteristische Gleichung
Man sucht Lösungen der Form eλx für die Gleichung
an y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y 0 + a0 y = 0 (∗)
durch folgenden Ansatz mit unbestimmtem Faktor λ
y (x) = e λx ; y 0 (x) = λ · eλx ; y 00 = λ2 · eλx ; . . . y (n) (x) = λn · eλx
eingesetzt in (∗):
an · λn · eλx + an−1 · λn−1 · eλx + . . . + a1 · λ · eλx + a0 · eλx = 0
Division durch eλx 6= 0 ergibt die charakteristische Gleichung:
an · λn + an−1 · λn−1 + . . . + a1 · λ + a0 = 0 (∗∗)
Jede Nullstelle λk von (∗∗)
ergibt eine Fundamentallösung:
λk
λk
yk
komplexe
Nullstellen;
Problem:
mehrfache Nullstellen
Bezeichnungen:
Fakultät Grundlagen
⇒
yk = e λk x
. . . Eigenwert
. . . Eigenfunktion
Differenzialgleichungen
Folie: 39
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Beispiel mit verschiedenen Nullstellen
L[y ] = y (3) − 7y 0 + 6y = 0 Ansatz: y = eλx , y 0 = λeλx , . . . ergibt:
λ3 eλx − 7λeλx + 6eλx = 0
⇒ λ3 − 7λ + 6 = 0
erraten: λ1 = 1
λ3 + 0λ2 − 7λ + 6 : (λ − 1) = λ2 + λ − 6
λ3 − λ2
Polynomdivision
λ2 − 7λ
λ2 + λ − 6 = 0
λ2 − λ
√
−1± 1+24
λ2,3 =
− 6λ + 6
2
− 6λ + 6
λ2 = 2, λ3 = −3
λ1 = 1 ⇒ y1 (x) = ex
λ2 = 2 ⇒ y2 (x) = e2x



⇒

λ3 = −3 ⇒ y3 (x) = e−3x 
Fakultät Grundlagen
yh (x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + C3 y3 (x)
= C1 ex + C2 e2x + C3 e−3x
Differenzialgleichungen
Folie: 40
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Komplexe e-Funktion
d eλx = d e(a+jb)x = d eax · cos(bx) + j sin(bx) =?
dx
dx
dx
Problemstellung: ergibt formales Differenzieren der e-Funktion
dasselbe Resultat wie das Ableiten der cos- und sin-Funktionen?
ejbx = cos(bx) + j sin(bx)
d :
jb · ejbx = −b sin(bx) + jb cos(bx)
dx
jb · cos(bx) + j sin(bx) = −b sin(bx) + jb cos(bx)
− b sin(bx) + jb cos(bx) = −b sin(bx) + jb cos(bx)
Zusammen mit der Produktregel erhält man die Gültigkeit der
Differenziationsregel für e-Funktionen mit komplexem Parameter.
d eλx = λ · eλx bzw.
d e(a+jb)x = (a + jb) · e(a+jb)x
dx
dx
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 41
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Doppelte Nullstellen
exemplarisch für Ordnung n = 2.
L[y ] = y 00 + 2py 0 + qy = 0
Ansatz: y = eλx , y 0 = λeλx , y 00 = λ2 eλx
L[y ] =
λ2
·
eλx
+ 2p · λ ·
eλx
+q·
eλx
=0
charakt. Gleichung: λ2 + 2pλ + q = 0
in:
L[y ]:
⇒
λ1,2 = −p ±
p
p2 − q
Doppelte Nullstelle: q = p 2 d. h. L[y ] = y 00 + 2py 0 + p 2 y = 0
Behauptung: Neben y1 = e−px ist auch y2 = x · e−px Lösung

y2 = x · e−px

y20 = e−px − p · x · e−px
in: L[y ] = y 00 + 2py 0 + p2 y = 0

y200 = −2p · e−px + p 2 · x · e−px
L[y2 ] = − 2pe−px + p 2 xe−px + 2p e−px − pxe−px + p 2 xe−px
h
i
= e−px · x · p 2 − 2p 2 + p 2 + − 2p + 2p = 0
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 42
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
homogene DGL 2. Ordnung; Zahlenbeispiele
eλx
y 00 − 4y 0 + 3y = 0 ⇒ λ2 − 4λ + 3 = 0; λ1,2 =
y1 (x) = e1x ; y2 (x) = e3x
√
4± 16−12
2
λ1 = 1
λ2 = 3
yh (x) = C1 ex + C2 e3x
eλx
y 00 − 4y 0 + 4y = 0 ⇒ λ2 − 4λ + 4 = 0; λ1,2 =
y1 (x) = e2x ; y2 (x) = x · e2x
eλx
√
4± 16−16
2
λ1,2 = 2
yh (x) = C1 e2x + C2 · x · e2x
y 00 − 4y 0 + 5y = 0 ⇒ λ2 − 4λ + 5 = 0; λ1,2 =
√
4± 16−20
2
λ1 = 2 + j
λ2 = 2 − j
y1 (x) = e(2+j)x ; y2 (x) = e(2−j)x
yh (x) = C1 e(2+j)x + C2 e(2−j)x
1
1 2x
cos x + j sin x + e2x cos x − j sin x
= e2x · cos x
2 y1 + y2 = 2 e
1
1
2x cos x + j sin x − e2x cos x − j sin x
= e2x · sin x
2j y1 − y2 = 2j e
alternativ: yh (x) = C̃1 e2x · cos x + C̃2 e2x · sin x = e2x · C̃1 cos x + C̃2 sin x
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 43
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
homogene DGL 2. Ordnung; Schema
Differenzialgleichung
L2 [y ] = a2 y 00 + a1 y 0 + a0 y = 0
y = eλx
Ansatz:
charakteristische Gleichung
a2
λ2
+ a1 λ + a0 = 0
Mitternachtsformel:
λ1,2 =
−a1 ±
√
a12 −4a0 a2
2a2
Fallunterscheidung:
Fall
Fundamentalsystem
eλ1 x ,
eλ2 x
homogene Lösung
yh (x) = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x
λ1 6= λ2
y1 (x) =
λ1 = λ2
y1 (x) = eλ1 x , y2 (x) = x · eλ1 x yh (x) = eλ1 x · C1 + C2 · x
λ1,2 = a ± jb
y1 (x) = eax · cos(bx),
y2 (x) = eax · sin(bx)
y2 (x) =
Fakultät Grundlagen
yh (x) = eax · C1 cos(bx) + C2 sin(bx)
Differenzialgleichungen
Folie: 44
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Lineare inhomogene Differenzialgleichung I
Die allgemeine Lösung von
Ln [y ] = an y (n) + . . . + a1 y 0 + a0 y = r (x)
ergibt sich als Summe der allgemeinen Lösung yh der zugehörigen
homogenen DGL und einer speziellen Lösung yp der inhomogenen
Gleichung. Bei der Bestimmung von yp muss nicht auf
Allgemeinheit geachtet werden, deshalb führt in der Regel ein
gezielter Rateansatz“ zum Ziel.
”
y 00 + 2y 0 − y = x
y 00 + 2y 0 − y = e2x
Ansatz: yp = A0 + A1 x, yp0 = A1
2A1 − A0 + A1 x = x Koeffizientenvergleich
Ansatz: yp = Ae2x , yp0 = 2Ae2x , yp00 = 4Ae2x
4Ae2x + 2 · 2Ae2x − Ae2x = e2x
7A = 1
2A1 − A0 = 0
A1 = −1
−A1
= 1
A0 = −2
yp = −x − 2
Fakultät Grundlagen
yp =
Differenzialgleichungen
: e2x
A=
1
7
1 2x
e
7
Folie: 45
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Lineare inhomogene Differenzialgleichung II
Rateschema“
”
Störfunktion r (x)
1. a0 + a1 x + . . . an x n
2. ae kx
a cos mx, b sin mx
3.
a1 cos mx + a2 sin mx
4.
ae kx cos mx, be kx sin mx
a1 e kx cos mx + a2 e kx sin mx
Ansatz yp
A0 + A1 x + . . . + An x n
Ae kx
A1 cos mx + A2 sin mx
A1 e kx cos mx + A2 e kx sin mx
Besteht die Störfunktion aus zwei unterschiedlichen Anteilen r1 (x)
und r2 (x), dann kann man die jeweils zugehörigen partikulären
Lösungen yp1 und yp2 nach dem Superpositionsprinzip einzeln
ermitteln und addieren.
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 46
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Lineare inhomogene Differenzialgleichung III; Beispiel
y 00 − 2y 0 + 3y = sin x
Ansatz:
yp = A1 cos x + A2 sin x
yp0 = −A1 sin x + A2 cos x
yp00 = −A1 cos x − A2 sin x
− A1 cos x − A2 sin x − 2 − A1 sin x + A2 cos x + 3 A1 cos x + A2 sin x = sin x
2A1 − 2A2 cos x + 2A1 + 2A2 sin x = sin x
Koeffizientenvergleich:
yp =
1
4
cos x + sin x
2A1 − 2A2 = 0
2A1 + 2A2 = 1
A1 = A2 =
1
4
Aufgabe: y 00 + 3y 0 + 2y = 3e−x . . . yh (x) =C1 e−x + C2 e−2x
yp (x) = Ae−x in DGL eingesetzt: . . . 0 = 3e−x
yp (x) =x·Ae−x
Ae−x (x − 2) + 3 · Ae−x (1 − x) + 2 · Ae−x x = 3e−x
A=3
yp (x) = 3xe−x
Resonanz
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 47
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Lineare inhomogene Differenzialgleichung III; Resonanz
Resonanz: Störfunktion r (x) ist bereits Lösung des zugehörigen
homogenen Systems. Modifikation des Rateansatzes“ im
”
Resonanzfall: Multiplikation des normalen“ Ansatzes mit x!
”
Störfunktion r (x)
Ansatz yp
2
n
a0 + a1 x + a2 x + an x
a) λ = 0 einfacher Eigenwert
x · (A0 + A1 x + . . . + An x n )
a) λ = 0 s-facher Eigenwert
x s · (A0 + A1 x + . . . + An x n )
kx
kx
a1 e cos mx + a2 e sin mx
a) λ = k ± jm einfache Eigenwerte x · (A1 e kx cos mx + A2 e kx sin mx)
b) λ = k ± jm s-fache Eigenwerte x s · (A1 e kx cos mx + A2 e kx sin mx)
L2 [y ] λ1 , λ2 r (x)
Res Ansatz yp
x
2e
ja Axe x
y 00 − y ±1
e −x cos x nein e −x (A1 cos x + A2 sin x)
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 48
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Lineare inhomogene Differenzialgleichung III; Resonanz
Resonanz: Störfunktion r (x) ist bereits Lösung des zugehörigen
homogenen Systems. Modifikation des Rateansatzes“ im
”
Resonanzfall: Multiplikation des normalen“ Ansatzes mit x!
”
Störfunktion r (x)
Ansatz yp
2
n
a0 + a1 x + a2 x + an x
a) λ = 0 einfacher Eigenwert
x · (A0 + A1 x + . . . + An x n )
a) λ = 0 s-facher Eigenwert
x s · (A0 + A1 x + . . . + An x n )
kx
kx
a1 e cos mx + a2 e sin mx
a) λ = k ± jm einfache Eigenwerte x · (A1 e kx cos mx + A2 e kx sin mx)
b) λ = k ± jm s-fache Eigenwerte x s · (A1 e kx cos mx + A2 e kx sin mx)
L2 [y ]
λ1 , λ2 r (x)
Res Ansatz yp
2x
ja x · (A0 + A1 x)
y 00 − y 0 0; 1
π
x
e sin(x − 4 ) nein e x (A1 cos x + A2 sin x)
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 49
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Lineare inhomogene Differenzialgleichung III; Resonanz
Resonanz: Störfunktion r (x) ist bereits Lösung des zugehörigen
homogenen Systems. Modifikation des Rateansatzes“ im
”
Resonanzfall: Multiplikation des normalen“ Ansatzes mit x!
”
Störfunktion r (x)
Ansatz yp
2
n
a0 + a1 x + a2 x + an x
a) λ = 0 einfacher Eigenwert
x · (A0 + A1 x + . . . + An x n )
a) λ = 0 s-facher Eigenwert
x s · (A0 + A1 x + . . . + An x n )
kx
kx
a1 e cos mx + a2 e sin mx
a) λ = k ± jm einfache Eigenwerte x · (A1 e kx cos mx + A2 e kx sin mx)
b) λ = k ± jm s-fache Eigenwerte x s · (A1 e kx cos mx + A2 e kx sin mx)
L2 [y ]
λ1 , λ2 r (x)
Res Ansatz yp
2x sin 2x nein e 2x (A cos 2x + A sin 2x)
e
1
2
y 00 + 4y ±2j
3 cos 2x
ja x(A1 cos 2x + A2 sin 2x)
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 50
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Lineare inhomogene Differenzialgleichung III; Resonanz
Resonanz: Störfunktion r (x) ist bereits Lösung des zugehörigen
homogenen Systems. Modifikation des Rateansatzes“ im
”
Resonanzfall: Multiplikation des normalen“ Ansatzes mit x!
”
Störfunktion r (x)
Ansatz yp
2
n
a0 + a1 x + a2 x + an x
a) λ = 0 einfacher Eigenwert
x · (A0 + A1 x + . . . + An x n )
a) λ = 0 s-facher Eigenwert
x s · (A0 + A1 x + . . . + An x n )
kx
kx
a1 e cos mx + a2 e sin mx
a) λ = k ± jm einfache Eigenwerte x · (A1 e kx cos mx + A2 e kx sin mx)
b) λ = k ± jm s-fache Eigenwerte x s · (A1 e kx cos mx + A2 e kx sin mx)
L2 [y ]
λ1 , λ2 r (x)
Res Ansatz yp
x2 − 1
nein A0 + A1 x + A2 x 2
ja Ax 2 e −x
y 00 + 2y 0 + y −1 3e −x
−x
e sin 3x nein e −x (A1 cos 3x + A2 sin 3x)
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 51
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Lineare inhomogene Differenzialgleichung III; Resonanz
Resonanz: Störfunktion r (x) ist bereits Lösung des zugehörigen
homogenen Systems. Modifikation des Rateansatzes“ im
”
Resonanzfall: Multiplikation des normalen“ Ansatzes mit x!
”
Störfunktion r (x)
Ansatz yp
2
n
a0 + a1 x + a2 x + an x
a) λ = 0 einfacher Eigenwert
x · (A0 + A1 x + . . . + An x n )
a) λ = 0 s-facher Eigenwert
x s · (A0 + A1 x + . . . + An x n )
kx
kx
a1 e cos mx + a2 e sin mx
a) λ = k ± jm einfache Eigenwerte x · (A1 e kx cos mx + A2 e kx sin mx)
b) λ = k ± jm s-fache Eigenwerte x s · (A1 e kx cos mx + A2 e kx sin mx)
L2 [y ]
λ1 , λ2 r (x)
Res Ansatz yp
2 sin x
nein A1 cos x + A2 sin x
nein Ae −x
y 00 + 2y 0 + 2y −1 ± j 5e −x
−x
3e cos x ja xe −x (A1 cos x + A2 sin x)
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 52
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Lineare inhom. Differenzialgleichung; komplexer Ansatz
Bei Störfunktionen der Form r (x) = e kx (a1 cos mx + a2 sin mx)
führt ein komplexer Lösungsansatz eventuell schneller zum Ziel.
Darstellung als reine Kosinus-Schwingung
(
r (x) =
e kx (a
1
cos mx + a2 sin mx)
q
)
a =
a12 + a22
r (x) = ae kx cos(mx + ϕ)
tan ϕ = − aa2
1
Komplexe Erweiterung
r (x) = ae kx cos(mx + ϕ)
yp (x) = Ae kx cos(mx + φ)
7→
7
→
r˜(x) = ae kx ej(mx+ϕ)
ỹp (x) = Ae kx ej(mx+φ)
Differenzieren von ỹp (x) und Einsetzen in Differenzialgleichung
führt auf eine komplexe Bestimmungsgleichung für A > 0 und φ.
Rückinterpretation der Lösung als (gedämpfte) harmonische
Schwingung.
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 53
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Komplexer Ansatz; Beispiel
y 00 + 4y 0 + 3y = 8e −x cos 2x =Re{8e −x e 2jx } =Re{8e (2j−1)x }
ỹp (x) = Ae −x · e j(2x+φ) = Ae jφ · e (2j−1)x
ỹp0 (x) = Ae jφ · e (2j−1)x · (2j − 1)
ỹp00 (x) = Ae jφ · e (2j−1)x · (2j − 1)2 = Ae jφ · e (2j−1)x · (−3 − 4j)
Einsetzen in DGL ỹ 00 + 4ỹ 0 + 3ỹ = 8e (2j−1)x
⇒ Ae jφ e (2j−1)x (−3 − 4j + 8j − 4 + 3) = 8e (2j−1)x
√
A=
2
jφ
⇒ Ae (−4 + 4j) = 8 ⇒
3π
φ = − 4
| {z }
| : e (2j−1)x
√
3π
4 2·e j 4
√
3π
· e (2j−1)x = 2e −x · e j(2x− 4 )
√
⇒ yp = Re(ỹp ) = 2e −x cos(2x − 3π
4 )
⇒ ỹp =
√
2e −j
3π
4
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 54
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Mathematisches Pendel
Die Differenzialgleichung des mathematischen Pendels mit Anregung
f (t) und Dämpfung proportional zur
Geschwindigkeit lautet:
r
ẍ(t) + k · ẋ(t) + sin(x(t)) = f (t)
Mit der Substitution y1 (t) = x(t)
und y2 (t) = ẋ(t) erhält man aus
der Differenzialgleichung 2. Ordnung
ein äquivalentes System von zwei Differenzialgleichungen 1. Ordnung:
ẏ1 = ẋ
ẏ2 = ẍ
= y2
= f (t) − k · y2 − sin(y1 )
Fakultät Grundlagen
x
~
R
G~
x
~
R = G~ · sin(x)
Differenzialgleichungen
Folie: 55
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Mathematisches Pendel – Phasenebene
Die nichtlineare DGL lässt sich nicht geschlossen lösen. Die numerische Lösung
erfolgt z. B. mit MATLAB. Zur Visualisierung benutzt man oft die Phasenebene“.
”
Dazu wird die Geschwindigkeit ẋ(t) über der Ortsvariablen x(t) aufgetragen. Dabei
lassen sich leichter periodische Zustände als geschlossene Ortskurven erkennen. Die
Bilder entstanden bei harmonischer Anregung mit ω = 1 und Dämpfung k = 0.1.
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 56
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Mathematisches Pendel (vektoriell)
Pendel :
Allgemein:



y (x) = 


ẏ1
ẏ2
y1 (x)
.
.
.
yn (x)

=


,


y2
f (t) − k · y2 − sin(y1 )



y 0(x) = 


y10 (x)
.
.
.
yn0 (x)




,




f (x, y ) = 


f1 (x, y )
.
.
.
fn (x, y )






Vektorielle Form eines Differenzialgleichungssystems:
y0
=
f
(x, y ) ,
y (x0 )
=
y
0
Numerische Verfahren verlangen bei der Eingabe DGL-Systeme!
MATLAB: reibschwinger.m
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 57
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Eliminationsverfahren
ẋ(t) = x(t) + y (t) + t
ẏ (t) = 3x(t) − y (t)
bzw.
ẋ = x + y + t
ẏ = 3x − y
(1)
(2)
x(0) = − 41
y (0) = 1
1. Schritt: y eliminieren ⇒ DGL 2. Ordnung für x(t)
d : ẏ = ẍ − ẋ − 1 (b)
(1)
y = ẋ − x − t (a)
dt
(a), (b) in (2): ẍ − ẋ − 1 = 3x − (ẋ − x − t) bzw. ẍ − 4x = 1 + t
⇒ x(t) = C1 e 2t + C2 e −2t − 14 (1 + t)
2. Schritt: Ermittlung von y (t) durch Einsetzen von x(t) in (a).
⇒ y (t) = C1 e 2t − 3C2 e −2t − 34 t
3. Schritt: Ermittlung der Integrationskonstanten C1 und C2 aus
den Anfangsbedingungen.
1
1
x(0) = − 14
⇒ C1 + C2 − 14 = − 14
⇒ C1 = , C2 = −
y (0) = 1
⇒ C1 − 3C2
= 1
4
4
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 58
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Matrizenlösung (Eigenwerte)
ẋ = A· x +f
ẋ1
ẋ1
o
=
bzw. 1 1
x1
t
·
+
3 −1
x2
0
Lösung des homogenen Systems ẋ = A · x Ansatz: x = a · eλt
a1
1 1
a1
λt
λ·
·e =
·
· eλt : eλt
a2
3 −1
a2
Ein homogenes LGS
1 1
1 0
a1
besitzt eine nicht=
−λ·
·
a2
3 −1
0 1
triviale Lösung, wenn
{z
}
|
die Determinante der
A − λE = 1 −3 λ −11− λ
Koeffizientenmatrix
zu Null wird!
1−λ
1
λ1 = 2
= λ2 − 4
0 = 3
−1 − λ λ2 = −2
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 59
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Matrizenlösung (Eigenvektoren)
Das homogen lineare Gleichungssystem
1 1
1 0
a1
[A − λE ] · a =
−λ·
·
=o
3 −1
0 1
a2
besitzt für λ1,2 = ±2 (Eigenwerte) nichttriviale Lösungen.
Bestimmung der zugehörigen Vektoren (Eigenvektoren):
−1 1
a1
λ1 = 2 : o = [A − 2E ] · a =
·
3 −3
a2
3 1
a1
λ2 = −2 : o = [A + 2E ] · a =
·
3 1
a2
x h = C1
1
1
e2t +C2
Fakultät Grundlagen
1
−3
e−2t
=
C12t
a1 = 11
1
a2 = −3
!
+ C2 e−2t
C12t − 3C2 e−2t
Differenzialgleichungen
Folie: 60
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Asymptotische Stabilität
Die homogene Lösung eines Systems beschreibt das Eigenleben“
”
des Systems; die partikuläre Lösung die Antwort auf eine Anregung
(vgl. Diskusion der Schwingungsdifferenzialgleichung).
Der Anwender erwartet, dass das Eigenleben“ des Systems, d. h.
”
die homogene Lösung der Differenzialgleichung mit fortschreitender
Zeit abklingt.
Man kommt deshalb zu folgender Begriffsbildung:
System ist asymptotisch stabil
⇐⇒ xh (t) → 0 für t → ∞
⇐⇒ Realteil sämtlicher Eigenwerte ist negativ: RE(λi ) < 0
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 61
Definitionen, Beispiele
Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen höhere Ordnung
Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung
Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme von Differenzialgleichungen
Matrizenlösung (partikuläre Lösung)
a0 + a1 t
x1
t
Ansatz: x p =
=
·
+
b0 + b1 t
x2
0
a1
1 1
a0 + a1 t
t
=
·
+
b1
3 −1
b0 + b1 t
0
Koeffizientenvergleich
a1
(a0 + b0 ) + (a1 + b1 )t
t
für beide
=
+
b1
(3a0 − b0 ) + (3a1 − b1 )t
0
Komponenten

1
a
=
−
0 =
a1
+ b1 + 1 
0
4

1

a1 = a0
+ b0
− 4 (1 + t)
a1 = − 14
xp =
0 =
3a1
− b1
b0 = 0
− 34 t



3
b1 = 3a0
− b0
b1 = − 4
1
1 2t
1
− 4 (1 + t)
−2t
x = x h + x p = C1 1 e + C2 −3 e +
− 34 t
ẋ1
ẋ1
1 1
3 −1
Fakultät Grundlagen
Differenzialgleichungen
Folie: 62

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