1 0 - SUUGAKU.JP

年番号
1
¼
とする．A，B の 2 人がゲームをして，先に 3 勝した方が優勝
2
する．各回のゲームで A が勝つ確率を sin2 µ，B が勝つ確率を cos2 µ とす
0<µ<
4
る．t = cos 4µ とおく．以下の問いに答えよ．
氏名
¼
; と x 軸，y 軸で囲まれた図形の面積が，2 つ
2
の曲線 y = a sin x，y = b sin x (0 < b < a) によって 3 等分されるとき，
曲線 y = cos x #0 5 x 5
定数 a; b の値を求めよ．
(1) ちょうど 3 回目のゲームで優勝が決まる確率を t の 1 次式で表せ．
（日本女子大学 2013 ）
(2) ちょうど 4 回目のゲームで優勝が決まる確率 p(µ) を t の 2 次式で表せ．
(3) 確率 p(µ) の最大値を求めよ．
5
（日本女子大学 2012 ）
1
を満たす実数と
2
する．点 P を線分 OA 上で AP = t となるようにとる．直線 y = 1 上の A
平面上に 2 点 O(0; 0)，A(0; 1) がある．t を 0 5 t <
より右側の部分に点 S を PO = PS となるようにとる．ÎOPS の二等分線が
2
x 軸と交わる点を R とする．
次の問いに答えよ．
(1) 関数 f(x) = xe¡2x の極値と曲線 y = f(x) の変曲点の座標を求めよ．
(1) AS の長さを t で表せ．
(2) 曲線 y = f(x) 上の変曲点における接線，曲線 y = f(x) および直線 x = 3
(2) OR の長さを t で表せ．
1
の範囲を動くとき，PR の長さの最小値を求めよ．また，
(3) t が 0 5 t <
2
PR の長さを最小にする t の値を求めよ．
で囲まれた部分の面積を求めよ．
（日本女子大学 2012 ）
3
次の等式が成り立つように，定数 a; b; c; d の値を定めよ．
(1) lim T
x!1
(2) lim
x!2
3x2 ¡ 5x + 4
¡ (ax + b)l = 0
x¡1
x2 + cx + 12
=d
x2 ¡ 5x + 6
（日本女子大学 2012 ）
（日本女子大学 2013 ）
6
下の図のように，F1 を 1 辺の長さが 1 の正三角形とする．F1 の 3 つの辺の
7
曲線 y = ¡(x ¡ 1)(x + 1)2 を C とし，曲線 C が y 軸と交わる点を A，x 軸
それぞれを 3 等分し 3 つの線分に分ける．この 3 つの線分の中央の線分に，
と交わる点のうち接点でない方を B とする．点 P は曲線 C 上にあって，点 A
その線分を 1 辺とする正三角形を F1 の外側に追加して得られる多角形を F2
と点 B の間を動く点とし，その x 座標を t とおく．また，原点を O とおく．
とする．次に，F2 の 12 個の辺のそれぞれを 3 等分し 3 つの線分に分ける．
(1) 四角形 OBPA の面積を t の式で表せ．
この 3 つの線分の中央の線分に，その線分を 1 辺とする正三角形を F2 の外側
(2) 曲線 C と線分 AP とで囲まれた図形の面積を S1 ，曲線 C と線分 PB とで囲
に追加して得られる多角形を F3 とする．以下同様にして，F4 ; F5 ; F6 ; Ý
まれた図形の面積を S2 とする．面積の和 S1 + S2 を最小にする t の値を求
を作るものとする．Fn の辺の個数を Kn ，周の長さを Ln ，面積を Sn とする．
めよ．
（日本女子大学 2013 ）
8
1 辺の長さが a の正四面体 OABC において，辺 OB の中点を P とし，辺 OC
を 2 : 1 に内分する点を Q とする．
(1) 線分 AP，線分 AQ，線分 PQ の長さを求めよ．
(2) cos ÎPAQ の値を求めよ．
(3) 4PAQ の面積を求めよ．
（日本女子大学 2013 ）
9
(1) Kn (n = 1) を求めよ．
平面上で点 P から直線 ` に引いた垂線と ` との交点を，点 P から直線 ` に
下ろした垂線の足という．
(2) Ln (n = 1) を求めよ．
(1) 点 P(p; q) から直線 ax + by + c = 0 に下ろした垂線の足の座標を求めよ．
(3) S1 と Sn ¡ Sn¡1 (n = 2) を求めよ．
(2) 3 点 A(5; 0)，B(4; 3)，C(3; 4) を考える．2 点 A，B を通る直線を `1 ，
(4) Sn (n = 1) を求めよ．
2 点 B，C を通る直線を `2 ，2 点 A，C を通る直線を `3 とする．点 P(p; q)
(5) 数列 fLn g の極限を調べよ．
から `1 ，`2 ，`3 へ下ろした垂線の足をそれぞれ H1 ，H2 ，H3 とする．3 点
(6) 数列 fSn g の極限を調べよ．
H1 ，H2 ，H3 が一直線上にあるような点 P(p; q) の軌跡を求めよ．
（日本女子大学 2013 ）
（日本女子大学 2013 ）
10 関数 f(x) =
Z
4
0
t(t ¡ x) dt について，実数 x が ¡5 5 x 5 5 の範囲を
動くとき，次の問いに答えよ．
(1) f(x) の最大値と，最大値を与える x の値を求めよ．
(2) f(x) の最小値と，最小値を与える x の値を求めよ．
（日本女子大学 2013 ）

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