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フィボナッチ数と三辺整数の三角形
山本文隆
長崎県立小浜高等学校
１．はじめに
α ２ +α １＝２β ２、α ２-α １＝２β １・・・・2-4
三辺整数の三角形にはピタゴラス三角形
β２+β１＝α２、β２-β１＝α１・・・・・・・2-5
１角６０°、１角１２０°等の三角形があるがそ
次に式を変形すると
のどれもフィボナッチ数と密接に関わっている。
(Ｃ－Ａ)(Ｃ＋Ａ)＝Ｂ２＝４β １２ β ２２・・・・2-6
三角形ａｂｃにおいて辺の長さをＡ、Ｂ、Ｃ
Ｃ－ＡとＣ＋Ａは２以外、互いに素である
角θｃを６０°９０°１２０°とおいて、余弦定
Ｃ－Ａ＝２β１２、Ｃ＋Ａ＝２β２２・・・・・2-7
理を考えると
(Ｃ－Ｂ)(Ｃ＋Ｂ)＝Ａ２＝α１２α２２・・・・・2-8
Ｃ２＝Ａ２＋Ｂ２－２ＡＢｃｏｓθ ｃ・・・・1-1
２
６０：Ｃ＝Ａ＋Ｂ－ＡＢ・・・1-2
Ｃ－Ｂ＝α１２、Ｃ＋Ｂ＝α２２・・・・・・ 2-9
θｃ＝
９０：Ｃ２＝Ａ２＋Ｂ２・・・・・・1-3
6-8、6-10 式を連立させてとくと
２
２
Ｃ－ＢとＣ＋Ｂは互いに素であるから
θｃ＝
２
２
２
Ａ＝α１α２＝β２２－β１２・・・・・・・2-10
α２２－α１２
Ｂ＝─────＝２β１β２・・・・・・2-11
２
α２２＋α１２
Ｃ＝─────＝β２２＋β１２・・・・・2-12
２
すなわち、ピタゴラス数の変数Ａ、Ｂ、ＣはＡ
θｃ＝１２０：Ｃ＝Ａ＋Ｂ＋ＡＢ・・・1-4
1-3 は３平方の定理でありピタゴラス三角形が存
在する。また 1-2 と 1-4 の解も整数解を持つこと
は山田潤（２０１３）が導いている。そしてこれ
ら三辺整数の解のうちピタゴラス三角形について
はフィボナッチ数と関わりが深いことを拙著（山
本文隆（２０１３））で示した。そして今回１角
が６０°１２０°の三角形もピタゴラス数と同じ
を構成する２成分のみで表せ、また
Ｂを構成する２成分のみでも表せる。そしてＡ、
Ｂの入れ替えを考えたときＢの成分で表した公式
は、Ａの成分で表した公式のちょうど２倍になる。
系列のフィボナッチ数が関わっていることが解っ
た。ここではピタゴラス数とフィボナッチ数の関
係をまとめ直し１角が６０°１２０°の三角形と
なおＡ＋Ｂ＋Ｃ、Ａ＋Ｂ－Ｃ、Ｃ＋Ａ－Ｂ、
Ｃ＋Ｂ－Ａの４要素の間にも
Ａ+Ｂ+Ｃ=α２(α２+α１)=２β２(β２+β１)
の関係まで考える。
=２α ２ β ２・・・・・・・・・・・・2-13
Ａ+Ｂ-Ｃ=α１(α２-α１) =２β１(β２-β１)
２．ピタゴラス数
=２α１β１・・・・・・・・・・・・2-14
既約ピタゴラス数を構成する成分は４成分であ
Ｃ+Ａ-Ｂ=α１(α２+α１)=２β２(β２-β１)
る。そしてそれは驚くほどに精巧に組み合わさっ
ている。まずｍ、ｎを任意の整数としてユークリ
=２α １β ２・・・・・・・・・・・2-15
Ｃ+Ｂ-Ａ=α２(α２-α１) =２β１(β２+β１)
ッド解（原解と仮称）
=２α ２β １・・・・・・・・・・・2-16
Ａ＝Ｍ２－Ｎ２、Ｂ＝２ＭＮ、Ｃ＝Ｍ２＋Ｎ２・・2-1
で考えると
という華麗な関係がある。ピタゴラス数を構成す
る最も基本的な要素は２成分ではなくα１、α２、
Ａ＝（Ｍ－Ｎ）（Ｍ＋Ｎ）＝α１α２
β１、β２の４成分である。
（α１＝Ｍ－Ｎ、α２＝Ｍ＋Ｎ）・・・・・・2-2
Ｂ＝２ＮＭ=２β１β２(β１=Ｎ,β２=Ｍ)・・・・2-3
例えば拙著「ピタゴラス数ネット」では次のよ
うな関係を導いた。まず原解は
従って
Ａ＝（Ｍ－Ｎ）（Ｍ＋Ｎ）、Ｂ＝２ＭＮ
- 1 -
Ｃ＝Ｍ２+Ｎ２＝Ｍ（Ｍ+Ｎ）－Ｎ（Ｍ-Ｎ）
また２成分で表すときはβ１、β２に相当する連続
＝（Ｍ-Ｎ）Ｍ＋Ｎ（Ｍ+Ｎ）・・・・2-17
したＨｋ、Ｈｋ＋１で表せば効率的で原解のときは
で４成分からなる。また独自に導いたピタゴラス
Ｈ０＝ｎ、Ｈ１＝ｍの使用となる。
数の解（仮称単位解）は
数列組Ｈの関連を表１表２に載せる。ところ
Ａ＝ｎ(２ｍ+ｎ)、Ｂ＝２ｍ(ｍ+ｎ)
２
Ｃ＝ｎ +２ｍｎ+２ｍ
でピタゴラス三角形の面積をＤｋ＝ＡｋＢｋ／２と
２
おけばＳｋ＝Ｄｋ－Ｄｋ－１も
＝(ｍ+ｎ)(２ｍ+ｎ)－ｍｎ
＝ｎ(ｍ+ｎ)+ｍ(２ｍ+ｎ)
・・・・・・2-18
でありこれも４成分で構成される。
単位解と原解を比べると、Ｍ－Ｎ→ｎ
Ｎ→ｍ、Ｍ→ｍ＋ｎ、Ｍ＋Ｎ→２ｍ＋ｎ
の対応がありＮ→ｍ、Ｍ→ｍ＋ｎという置き換
えで全てを表せる。さらにそこには
ｍ-ｎ → ｎ → ｍ → ｍ+ｎ →２ｍ+ｎ
の一連の系列が見られる。これをｍとｎに分けて
係数を考えると
ｍ：１、０、１、１、２
表１
フィボナッチ数列組Ｈ
ｎ：－１、１、０、１，１
これはそれぞれがフィボナッチ数になっており
ｎはｍに１段階遅れている。
従ってこの系列のピタゴラス構成成分を
Ｈｋ＝ｆｋｍ＋ｆｋ－１ｎ
とおき、これをフィボナ
ッチ数列組Ｈと仮称した（山本文隆（２０１３））。
フィボナッチ数列組Ｈはフィボナッチ数
ｆｋ＋２＝ｆｋ＋１＋ｆｋ
と同じく
Ｈｋ＋２＝Ｈｋ＋１＋Ｈｋ・・・・・・・・・2-19
の関係がある。また数列組がＨｋー１、Ｈｋ、Ｈｋ＋１、
Ｈｋ＋２の４成分の連続で構成されるとき、順に
Ｈｋー１＝α１、Ｈｋ＝β１、Ｈｋ＋１＝β２、Ｈｋ＋２＝α２
と対応する。一般式は
表２、ｋ＝－１～３までの公式
Ａｋ＝Ｈｋ－１Ｈｋ＋２、Ｂ＝２ＨｋＨｋ＋１
またピタゴラス三角形の面積であり、山本文隆
Ｃｋ＝Ｈｋ－１Ｈｋ＋１＋ＨｋＨｋ＋２
（２０１３）が示した通り、面積和もまた面積
＝Ｈｋ＋１Ｈｋ＋２＋Ｈｋー１Ｈｋ
になる。Ｄｋ－１＋Ｓｋ＝Ｄｋ
なおｋ＝０は原解、ｋ＝１は単位解である。
原
※
解：Ａ０＝Ｈ－１Ｈ２＝ｍ２－ｎ２、
Ｃ０＝Ｈ２Ｈ０＋Ｈ１Ｈ－１＝Ｈ２Ｈ
２
２
２
＝Ｈ１＋Ｈ０＝ｍ＋ｎ
例えば原解と単位解で考えると
Ｄ０＝(ｍ－ｎ)ｎｍ(ｍ＋ｎ)
Ｂ０＝２Ｈ０Ｈ１＝２ｍｎ
・・・・・・・2-20
2-21
Ｄ１＝ｎｍ(ｍ＋ｎ)(２ｍ＋ｎ) 2-22
1
－Ｈ０Ｈ－１
２
単位解：Ａ１＝Ｈ０Ｈ３＝ｎ（ｎ＋２ｍ）
Ｓ１＝ｎｍ(ｍ＋ｎ)(ｍ＋２ｎ) 2-23
なおフィボナッチ数列組Ｈのすべてに共通して次
の関係があることを新たに導いた。
Ｂ
Ａ－─=(－１) ｋ (ｍ２－ｍｎ－ｎ２ )・・2-24
２
Ｂ１＝２Ｈ１Ｈ２＝２ｍ（ｍ＋ｎ）
Ｃ１＝Ｈ３Ｈ１＋Ｈ２Ｈ０＝Ｈ３Ｈ２－Ｈ１Ｈ０
これは次のようにして得られる。
＝Ｈ２２＋Ｈ１２＝ｎ２＋２ｍｎ＋２ｍ２
- 2 -
２
２
Ａ＝Ｈｋ＋１－Ｈｋ＝
なおｎ＝ｍのときは正三角形となる。
＝(ｆｋ＋１ｍ＋ｆｋｎ)２－(ｆｋｍ＋ｆｋ－１ｎ)２
２
２
＝(ｆｋ＋１－ｆｋ )ｍ
これを６０°負項含む解と仮称する。
２
正三角形以外で最も簡単な整数比は
＋２ｆｋ２ｍｎ＋(ｆｋ２－ｆｋ－１２)ｎ２・2-25
ｍ＝３、ｎ＝２(ｍ＝２、ｎ＝３)であり
Ｂ
──＝Ｈｋ＋１Ｈｋ
２
＝(ｆｋ＋１ｍ＋ｆｋｎ)(ｆｋｍ＋ｆｋ－１ｎ)
Ａ＝８、Ｂ＝３、Ｃ＝７である。
７２＝８２＋３２－２・８・３ｃｏｓθ
ｃｏｓθ＝（６４＋９－４９）／４８
＝ｆｋ＋１ｆｋｍ２＋(ｆｋ＋１ｆｋ－１＋ｆｋ２)ｍｎ
+ｆｋｆｋ－１ｎ２
＝２４／４８＝１／２
・・・ 2-26
θ＝６０°
Ｂ
Ａ－──＝(ｆｋ＋１２－ｆｋ＋１ｆｋ－ｆｋ２)ｍ２
２
＋（ｆｋ２－ｆｋ＋１ｆｋ－１) ｍｎ
＋(ｆｋ２－ｆｋｆｋ－１－ｆｋ－１２)ｎ２・2-27
であるが、フィボナッチ数の特性より
ｆｋ＋１ｆｋ－１－ｆｋ２
＝ｆｋ＋１２－ｆｋ＋１ｆｋ－ｆｋ２＝（－１）ｋ・・2-28
図２
３．１角が６０°の３辺整数の三角形
1-2 より
２
２
２
Ｃ＝Ａ＋Ｂ－ＡＢ・・3-1
Ｃ２－（Ａ－Ｂ）２＝ＡＢ
変形して
（Ｃ＋Ａ－Ｂ）（Ｃ－Ａ＋Ｂ）＝ＡＢ・・3-2
ここで
Ｃ＋Ａ－Ｂ＝Ａ、Ｃ－Ａ＋Ｂ＝Ｂなら
Ｃ＝Ａ＝Ｂ
であり正三角形となる。このとき整
数解は無限に存在する。逆に
ｎ
ｍ
２）Ｃ＋Ａ－Ｂ＝─Ｂ、Ｃ－Ａ＋Ｂ＝─Ａ
ｍ
ｎ
のとき
ｍ＋ｎ
ｍ＋ｎ
Ｃ＝───Ｂ－Ａ＝───Ａ－Ｂ・・・・3-7
ｍ
ｎ
２ｎ＋ｍ
２ｍ＋ｎ
────Ａ＝────Ｂ・・・・・・・3-8
ｎ
ｍ
従ってＡ、Ｂ、Ｃを満たす簡単な公式の一例はそ
れぞれＡ＝２ｍｎ＋ｎ２、Ｂ＝２ｍｎ＋ｍ２
Ｃ＝ｍ２＋ｍｎ＋ｎ２
Ｃ＋Ａ－Ｂ＝Ｂ、Ｃ－Ａ＋Ｂ＝Ａ
ならば
６０°負項含む解のＡ－Ｂ図分布
・・・・3-9
これを６０°正項のみの解と仮称する。
２Ｂ＝Ｃ＋Ａ、２Ａ＝Ｃ＋Ｂ
正三角形以外で最も簡単な整数比は
前者から後者を引いてＣを消去すると
ｍ＝２、ｎ＝１(ｍ＝１、ｎ＝２)であり
２(Ｂ－Ａ)＝Ａ－Ｂより３(Ｂ－Ａ)＝０
ゆえにＡ＝Ｂ、このときＣ＝Ａ＝Ｂ
Ａ＝５、Ｂ＝８、Ｃ＝７
であるから、同じく正三角形となる。
７２＝５２＋８２－２・５・８ｃｏｓθ
ｃｏｓθ＝（２５＋６ 1-４９）／８０
次にＡ、Ｂにそれぞれ逆数の有理数（ｍ／ｎ、
ｎ／ｍ、ｍ、ｎは任意整数）を掛け
ｍｎ
（Ｃ＋Ａ－Ｂ）
（Ｃ－Ａ＋Ｂ）＝─Ａ─Ｂ・・・3-3
ｎｍ
ｍ
ｎ
１）Ｃ＋Ａ－Ｂ＝─Ａ、Ｃ－Ａ＋Ｂ＝─Ｂ
ｎ
ｍ
のとき
ｍ－ｎ
ｎ－ｍ
Ｃ＝Ｂ＋───Ａ＝Ａ＋───Ｂ・・・・3-4
ｎ
ｍ
２ｎ－ｍ
２ｍ－ｎ
────Ａ＝────Ｂ・・・・・・・3-5
ｎ
ｍ
従ってＡ、Ｂ、Ｃを満たす簡単な公式の一例はそ
０／８０＝１／２
図３
れぞれ
Ａ＝２ｍｎ－ｎ２、Ｂ＝２ｍｎ－ｍ２
Ｃ＝ｍ２－ｍｎ＋ｎ２
・・・・・・・3-6
これを充たす条件は２ｎ＞ｍかつ２ｍ＞ｎ
- 3 -
θ＝６０°
６０°正項のみの解のＡ－Ｂ図分布
＝４
７２＝５２＋３２－２・５・３ｃｏｓθ
ｃｏｓθ＝（２５＋９－４９）／３０＝－
１５／３０＝－１／２
θ＝１２０°
ｎ
ｍ
２）Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝─Ｂ、Ａ＋Ｂ－Ｃ＝─Ａ
ｍ
ｎ
のとき
ｎ－ｍ
ｎ－ｍ
Ｃ＝───Ｂ－Ａ＝───Ａ＋Ｂ・・・・4-7
ｍ
ｎ
２ｎ－ｍ
ｎ－２ｍ
─────Ａ＝─────Ｂ・・・・・4-8
ｎ
ｍ
従ってＡ、Ｂ、Ｃを満たす簡単な公式の一
例はそれぞれ
Ａ＝ｎ２－２ｍｎ、Ｂ＝２ｍｎ－ｍ２
Ｃ＝ｍ２－ｍｎ＋ｎ２
・・・・・・・・4-9
これを充たす条件はｎ＞２ｍであり”６０°負
図４
項含む解”でＡが－Ａになった式である。従って
６０°三辺整数の三角形の最小組
最も簡単な整数はｍとｎが入れ替わるだけで
ｍ＝１、ｎ＝３
４．１角が１２０°の３辺整数の三角形
1-4 より
Ｃ２＝Ａ２＋Ｂ２＋ＡＢ・・・・・4-1
１）２）をあわせた
Ａ＝±(ｎ２-２ｍｎ)、Ｂ＝±(２ｍｎ-ｍ２)
（Ａ＋Ｂ）２－Ｃ２＝ＡＢ
変形して
Ｃ＝ｍ２－ｍｎ＋ｎ２・・・・・・・・・・4-10
（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）
（Ａ＋Ｂ－Ｃ）＝ＡＢ・・・・4-2
ここで
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝Ａ、Ａ＋Ｂ－Ｃ＝Ｂ
となる。
を１２０°の解と仮称する。
なら
Ｃ＝Ａ＝－Ｂ
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝Ｂ、Ａ＋Ｂ－Ｃ＝Ａ
なら
Ｃ＝Ｂ＝－Ａ
となって、成立しない。
次にＡ、Ｂにそれぞれ逆数の有理数を掛け
ｍｎ
（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）（Ａ＋Ｂ－Ｃ）＝─Ａ─Ｂ・・4-3
ｎｍ
ｍ
ｎ
１）Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝─Ａ、Ａ＋Ｂ－Ｃ＝─Ｂ
ｎ
ｍ
のとき
ｍ－ｎ
ｍ－ｎ
Ｃ＝───Ａ－Ｂ＝───Ｂ＋Ａ・4-4
ｎ
ｍ
ｍ－２ｎ
２ｍ－ｎ
─────Ａ＝─────Ｂ・・・・・4-5
ｎ
ｍ
従ってＡ、Ｂ、Ｃを満たす簡単な公式の一例はそ
図５
１２０°三辺整数の三角形の最小組
５．フィボナッチ数列組Ｈとの関係
（１）山田潤の解との比較、相似と相違
1-2 式をＢについて整理して
れぞれ
２
Ｂ２－ＡＢ＋Ａ２－Ｃ２＝０・・・・・・・5-1
２
Ａ＝２ｍｎ－ｎ、Ｂ＝ｍ－２ｍｎ
Ｃ＝ｍ２－ｍｎ＋ｎ２
これを充たす条件は
・・・・・・・4-6
ｍ＞２ｎであり
”６０°負項含む解”でＢが－Ｂになった式であ
る。これは cos ６０＝－ cos １２０であることか
ら自明である。
最も簡単な整数はｍ＝３、ｎ＝１であり
これを解いて
Ａ±√４Ｃ２－３Ａ２
Ｂ＝──────────・・・・・・5-2
２
ここで山田解は
Ａ＝２ｍｎ－ｎ２、Ｃ＝ｍ２－ｍｎ＋ｎ２
・・・・・・・・・5-3
であるから、判別式
Ｄ＝４Ｃ２－３Ａ２は
４(ｍ２－ｍｎ＋ｎ２)２－３(２ｍｎ－ｎ２)２
Ａ＝５，Ｂ＝３、Ｃ＝７となって、
- 4 -
＝４ｍ８ｍ３ｎ＋４ｍｎ３＋ｎ４
Ｖｋ＝Ｈｋ－１＋Ｈｋ＋１・・・・・・・・5-10
1-
＝（ｎ２＋２ｍｎ－２ｍ２）２・・・・・・・5-4
従って
２ｍｎ－ｎ２±（ｎ２＋２ｍｎ－２ｍ２）
Ｂ＝──────────────── ・5-5
２
・・・・
となり＋のときＢ＝２ｍｎ－ｍ２・・・・5-6
２
２
－のときＢ＝ｍ－ｎ・・・・・5-7
２
Ｂ＝ｍ－ｎ２
の場合は山田解であり、
従って、６０°の公式もまた全て数列組Ｈで表せ
て
Ａ＝Ｈｋ＋２Ｈｋ－１、
Ｂ＝ＨｋＨｋ－１＋ＨｋＨｋ＋１
Ｈｋ＋２Ｈｋ＋Ｈｋ－１Ｈｋ＋１＋Ｈｋ－１２
Ｃ＝──────────────・・5-11
２
つぎに”６０°の負項含む解”は
Ｂ＝２ｍｎ－ｍ２は６０°負項を含む解である。
Ａ＝（２ｍ－ｎ）ｎ、Ｂ＝ｍ（２ｎ－ｍ）
（２）フィボナッチ数列Ｈとの関わり
Ｃ＝ｍ２－ｍｎ＋ｎ２
１）６０°におけるフィボナッチ数との関わり
・・・・・・・5-12
であるがこれに対応する山田解（原解の２）が存
在することが表３の中の対称性から見えてくる。
フィボナッチ数との関わりを考えると
山田解は
これを表３の中に負の原解として示しているが公
Ａ＝Ｎ(２Ｍ－Ｎ)、Ｂ＝(Ｍ－Ｎ)(Ｍ＋Ｎ)
式で示すと
で２Ｍ－Ｎ、Ｍ－Ｎ、Ｎ、Ｍ＋Ｎから構成され
Ａ＝Ｍ（Ｍ＋２Ｎ）、Ｂ＝（Ｍ＋Ｎ）（Ｍ－Ｎ）
る。ピタゴラス数の原解と比べるとＭの２倍が２
Ｃ＝Ｍ２＋２ＭＮ＋Ｎ２
Ｍ－Ｎと変化している点が異なるが他の成分は一
・・・・・・・・5-13
成分を対応させると
致する。この山田解はピタゴラス数のユークリッ
Ｍ－Ｎ、Ｍ、Ｍ＋Ｎ、Ｍ＋２Ｎ
ド解（原解）に相当している。また６０°正項の
→２ｎ－ｍ、ｎ、ｍ、２ｍ－ｎ
みの解は
であり、今度は
Ａ＝ｎ（２ｍ＋ｎ）、Ｂ＝ｍ（２ｎ＋ｍ）・・5-8
に進めていけばいい。
で２ｎ＋ｍ、ｎ、ｍ、２ｍ＋ｎ
Ｍ→ｎ
と逆方向
から構成され
る。ピタゴラス数同様後者３っつの成分は
ｍ
Ｍ＋Ｎ→ｍ
Ｎ→
Ｍ→ｍ＋ｎとして置き換えればフィボナッチ
数の関係で連続してつながる。そこでこれを最初
の成分２Ｎ＋Ｍにも当てはめると山田解と正の単
位解の間には２Ｍ－Ｎ→２(ｍ+ｎ)-ｍ＝２ｎ＋ｍ
の関係がありこれも成立する。６０°正項のみの
解はピタゴラス数単位解に相当する。
ところでこの系列は一般のフィボナッチ数と異
なる。表２に示すがこの系列は
ｆ’
（０）＝２、
ｆ’（１）＝１から始まっている。これを準フィ
ボナッチ数Ｖｎとして数列組を新たに
Ｖｋ＝ｆ’（ｋ）ｍ＋ｆ’（ｋ－１）ｎ
Ｖｋ＋２＝Ｖｋ＋１＋Ｖｋと定めると一般式はＡとＢ
を逆転させ
Ａ＝Ｈｋ＋２Ｈｋ－１、Ｂ＝ＨｋＶｋ
表３、表４、６０°と１２０°の数列組
Ｈｋ＋２Ｈｋ＋Ｈｋ－１Ｖｋ
Ｃ＝───────── ・・・・・・5-9
２
なお表３より数列組Ｖ（□）はその前後の数列
２）１２０°におけるフィボナッチ数との関り
組Ｈの和となっていることが解る。これを表４に
１２０°の場合は６０°の負の単位解でＡ、ま
載せる。□印は☆印２つの和である。式で表せば
たはＢの正負を反転させたものに相当することを
- 5 -
３節で示した。
３）負項含む解
1-2 の
６０°：Ｃ２＝Ａ２＋Ｂ２－ＡＢ
1-3 の
１２０°：Ｃ２＝Ａ２＋Ｂ２＋ＡＢ
Ａ＝２ｍｎ－ｎ２、Ｂ＝２ｍｎ－ｍ２
ⅰ．整数ｎで構成する放物線群
１
１
３
２
Ｂ＝－───Ａ
＋─Ａ＋─ｎ２・・6-7
４ｎ２
２
４
を見比べてみれば解るとおり、ＡまたはＢの一方
が正負を反転させれば１２０°の与式と同じにな
る。Ａを反転させるかＢを反転させるかで３節１）
２）の違いが出るが本質は６０°の負の単位解と
同じである。なお表３、表４で黒く塗りつぶした
ⅱ．整数ｍで構成する放物線群
１
１
３
２
Ａ＝－───Ｂ
＋─Ｂ＋─ｍ２・・・・・6-8
４ｍ２
２
４
４）正項のみの解
Ａ＝２ｍｎ＋ｎ２、Ｂ＝２ｍｎ＋ｍ２
マークは正負の反転を示す。
ⅰ．整数ｎで構成する放物線群
１
１
３
２
Ｂ＝ ───Ａ
＋─Ａ－─ｎ２・・・・・6-9
４ｎ２
２
４
６．６０°ネット、１２０°ネット
ピタゴラスネットと同様６０°の整数辺三角形の
群として描くことが出来る。
ⅱ．整数ｍで構成する放物線群
１
３
２１
Ａ＝ ───Ｂ
＋─Ｂ－─ｍ２・・・・6-10
４ｍ２
２
４
１）山田解原解の１
これらのグラフを示すと次の様になる。
ネット、１２０°の整数辺三角形ネットも放物線
Ａ＝２ｍｎ－ｎ２、Ｂ＝ｍ２－ｎ２
ⅰ．整数ｎで構成する放物線群
Ａ，Ｂから、ｍを消去すると
Ａ＋ｎ２
ｍ＝────をＢの式に代入して
２ｎ
１
１
３
２
Ｂ＝───Ａ
＋─Ａ－─ｎ２・・・・・・6-1
４ｎ２
２
４
ⅱ．整数ｍで構成する放物線群
Ａ－Ｂ＝２ｍｎ－ｍ２
図６
であるから
原解と正項負項単位解で描くピタゴラス数ネット
２
Ａ－Ｂ＋ｍ
ｎ＝──────をＢの式に代入して
２ｍ
１
１
３
２
Ｂ＝－───(Ａ-Ｂ)
－─(Ａ-Ｂ)＋─ｍ２・・6-2
４ｍ２
２
４
この式は一見楕円に見えるが、４５°の回転座
標で変換すると
√２
３√２
２
Ｂ’＝－───Ａ’
＋─── ｍ２・・6-3
２ｍ２
４
という放物線となる。
２）山田解原解の２
Ａ＝２ｍｎ＋ｍ２、Ｂ＝ｍ２－ｎ２
図７、山田解原解の２と６０°負項解のＡ－Ｂ図分布
図２の分布を繋ぐネットＡ＝Ｂ軸を挟んで線対称
ⅰ．整数ｎで構成する放物線群
Ａ－Ｂ＝２ｍｎ＋ｎ２であるから
Ａ＋Ｂ－ｎ２
ｍ＝──────をＢの式に代入して
２ｎ
１
１
３
２
Ｂ＝───(Ａ-Ｂ)
－─(Ａ-Ｂ)－─ｎ２
４ｎ２
２
４
・・・・・・・6-4
４５°の回転座標で変換すると
√２
３√２
２
───Ａ’
－─── ｎ２・6-5
２ｎ２
４
ⅱ．整数ｍで構成する放物線群
Ｂ’＝
１）と同様
１
１
３
２
Ｂ＝－───Ａ
＋─Ａ＋─ｍ２・6-6
４ｍ２
２
４
図８、山田解原解の１と６０°正項解のＡ－Ｂ図分布
図２の分布を繋ぐネット。図７に対し１８０°回転、
またはＡ＝－Ｂ軸に対し折り返した関係にある。
- 6 -
列組Ｈ」（２０１３）で表せることが判明した。
なお、それぞれの系列から生まれた公式の比較
検討はこれからの課題である。またピタゴラス数
ネット（仮称、２０１２）に相当するグラフも描
け、同じく放物線から構成される。
１）既約ピタゴラス数の全ては、垂直２辺の一辺
をなす成分の２つで表現できる。偶数辺での表
現は奇数辺での表現のちょうど２倍になる。
図９山田解１,２と正項解、負項解で描く６０°ネット
２）ピタゴラス数を構成する基本成分は、垂直な
２種の分布が重なって見難いが、図７と図８が
２辺を積の形で構成する４成分であり、これら
重なっておりＡ＝－Ｂ軸を挟んで線対称の関係。
はフィボナッチ数列組Ｈの４連続組成で構成さ
れている。
３）フィボナッチ数列組Ｈの４連続組成を順にず
らせば、面積和が面積になるピタゴラス数を順
次得ることができる。
４）ピタゴラス数を垂直２辺の座標に配列したと
き、そのグラフの基本形態は上下左右に開く４
方向の放物線となり、そのほかにも無限の幾何
学図形を描く可能性が秘められている。これを
ピタゴラス数ネットと仮称する。
５）”６０°負項含む解”と”１２０°の
解”
の関係はＡ→－Ａとなるか、Ｂ→－Ｂとなるか
であり、Ａ，Ｂどちらかの符号が入れ替わるだ
けである。
６）山田解と６０°正項のみの解はＢを二次関数
として解いた解の±の符号の違いだけで表裏一
体の関係にある。
７）ピタゴラス数と解の成分が似ており、６０°
１２０°共フィボナッチ数列組Ｈで公式化でき
る。ただし５成分である。
６．参考文献
図１０１２０°の解、２種上：２種の解の重ね
中央、下、図７の６０°負項含む解に対しＢ軸反転（中
央）とＡ軸反転（下）したもの。６０°負項含む解に対
しＡまたはＢを反転して求まる
山田潤（２０１３）
「１角が６０°の３辺整数の三角形」
日本数学教育学会誌数学教育６８－４（９６巻第７号）
山本文隆（２０１３）
７．まとめ
「ピタゴラス三角形の面積と面積和を求める公
独自の導出で解いた６０°の３辺整数の三角形
式群に表れるフィボナッチ数列組Ｈ」、
は山田解と似ていた（Ａ、Ｃは同じ）がＢが異な
全国数学教育学会誌、数学教育学研究
ることに疑問を持ち、始めた研究である。結果的
第１９巻第１号２０１３、ｐｐ１～８
にこれらは原解と単位解の関係であることが解っ
小林吹代
た。そしてこれもまた「ピタゴラス三角形の面積
と面積和を求める公式群に表れるフィボナッチ数
『ピタゴラス数を生み出す行列の話』
ベレ出版
山本文隆（２０１２）『ピタゴラス数ネット』文芸社
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