数学数学数学

　∠OAE＝∠BAD
（共通）
1
1 ………………………………………………………①
1
1
2
y＝2π×
＋4π×
＋6π× ＋8π× ＝ π
∠AEO＝90°
……………………②
4 （接線と接点を通る半径は垂直に交わる）
4
4
4
4
∠ADB＝90°
（二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺と垂直に交わる）
…③
2
（1＋2＋3＋4）
＝5πm。2 周目は，y＝ π（5＋6＋
4
y）
｝
②，③より，∠AEO＝∠ADB………………④
2
①，④より，2
組の角がそれぞれ等しいから，
7＋8）
＝13πm。3
周目は，y＝ π
（9＋10＋11＋
4
△AOE∽△ABD
（x＋y）
｝
12）
＝21πm。
384
2
② y
は，1
）周するごとに半径が 4 m ずつ長くなる
⑷　（cm
7
1
通分する。
3 弧 4 個の長さの和だから，8π× 4 ×4＝8πm ず
⑴　①　ア　13π　イ　21π　②　y＝8πx−3π　③　105π
（m）
つ長くなる。x＝1 のとき，y＝5πだから，
￣
2 −√￣
5
［解　答］
87π
2
［解　答］
⑵　（m2）
y＝8πx−3π
2
1
√￣
5
③ 4 周目は，8π×4−3π＝29πm。5 周目は，8π
−
1
√￣
5
4
2
2
2
⑴　12　⑵　−8x
＋8y2　⑶　−
⑷　イ　⑸　3
35
×5−3π＝37πm。1
周目から
5√2周目までの合計
￣
⑴　72√
￣
6
（cm
）
⑵　①　72√
￣
6
（cm
）
（求め方）
上の部分を長方形
BIJD を共通の底面とする体積の等し
29
。
⑴　12　⑵　−8x2＋8y2　⑶　−
⑷　イ　⑸　9
2
は，5π＋13π＋21π＋29π＋37π＝105πm
い
2
つの四角すい
A-BIJD
と
C-BIJD
に分ける。A-BIJD
の高さは，
Ａから底面
BIJD に下ろした垂線の長さになる
⑹　1＋√￣
3
＞0
2
2
⑹　1＋√
￣
3
y 座標は 1 だから，1＝x より，x＝±1。つまり，Ｃの x 座標が＋1，Ｂの
x
（求め方）
y＝x 上の点Ｂ，Ｃの
1
⑵ 右図のような
4 つのお 1
から，対角線 AC2 の長さの＝3√￣
2 cm。したがって，A-BIJD
の体積は，6√￣
2 ×3√￣
6 ×3√￣
2 × ＝36√￣
6（cm3）。
2
上の点Ｂ，Ｃの
y 座標は
1 だから，1＝x
より，x＝±1。つまり，Ｃの
x 座標が＋1，Ｂの
x
2
3
（求め方）
y＝x
座標が−1
で，BC
の長さは，1−
（−1）
＝2。四角形
ABCD
が平行四辺形だから，AD
の長さも
2。したがって，
うぎ形の合計となる。
6m
座標が−1 で，BC の長さは，1−
＝2。四角形
2。したがって，
m 3） ABCD が平行四辺形だから，AD の長さも
求める上の部分の体積は，36√
￣
6（−1）
×2＝72√
￣
65（cm
1
2
1 x 座標を
2
a2 とすると，Ｄの
。つまり，a2
x 座標は
（a＋2）
。ＡとＤの y 座標は等しいから，a2＝ 13（a＋2）
×
（52π＋6
π＋￣
a＋b の値）。Ａの
）
③　√
6（cm）
②　36
（cm2π＋7
4
2
2
。つまり，a2
Ａの x 座標を a とすると，Ｄの x7座標は
（a＋2）
。ＡとＤの y 座標は等しいから，a ＝ 3（a＋2）
m
87π 2
2
−2a−2＝0。これを解いて，a＝1±√
￣
3
。a＞0
だから，a＝1＋√
￣
3
4（9）
，63（9）
8 π）＝
（m ）
8m
2
−2a−2＝0。これを解いて，a＝1±√
￣
3 。a＞0 だから，a＝1＋√￣
3
2
［配　点］
2
⑴　5（cm）
［解　説］
3
⑴　5（
cm） 3 点，⑷⑸−各 4 点，⑹− 6 点…計 23 点
式で求める。 1 ⑴⑵⑶−各
24
⑴ ① 1 周目。y は中心角 90°で，半径が 1 m，2 m，
1
⑵　（cm）
（求め方）
△BOD
と△BOE
は 3 辺がそれぞれ等しいから，△BOD≡△BOE
⑴−
3 点，⑵−
6 点，⑶−
8 点，⑷−
3 点…計
20 点
2
7×12
4 2455（cm）
⑵　（求め方）
△BOD
と△BOE
は 3 辺がそれぞれ等しいから，△BOD≡△BOE
⑴ 15−7÷4×
（−12）
−24＝15＋
−24＝12
3 m，4 m の 4 つのおうぎ形の弧の長さの和だから，
4 の二等辺三角形の底辺
3 点，⑵−
3 点…計
12 点
BO は∠Ｂの二等分線で，BD＝BE
DE を垂直に 2 等分する。DE と BO の交点をＧとす
3 ⑴①②③−各
1
⑴ 直方体の体積の
から，
三角すい
A-EFH
の体積をひ
1
1 と BO1の交点をＧとす
1
2
D＝3 cm。
BO
は∠Ｂの二等分線で，BD＝BE
DE を垂直に
2 等分する。DE
⑵ 因数分解してから展開するというやり方もある。
る。また
AD は，二等辺三角形の頂角Ａの二等分線だから，底辺
BC を垂直に
2 等分する。△BGD
と△BDO＝は，
y＝2π×
＋4π×
＋6π× ＋8π×
π
3 点，⑵①−
62 点，②③−各の二等辺三角形の底辺
3 点…計 15 点
4 ⑴−
4
4
4
4
4
2
る。また
AD
は，二等辺三角形の頂角Ａの二等分線だから，底辺
BC を垂直に 2 等分する。△BGD
と△BDO は，
，BO＝5 cm 12
1 だから，△BGD∽△BDO。したがって，GD：BD＝DO：BO
1
∠Ｂが共通，∠BGD＝∠BDO＝90°
だから，
（x−3y）
−
（3x−y）
く。6×6×6√￣
6 × −6×6× ×6√￣
6 × ＝108√￣
6
2
（1＋2＋3＋4）＝5πm。2 周目は，
y＝ π
（5＋6＋
2
3 24
∠Ｂが共通，∠BGD＝∠BDO＝90°
だから，△BGD∽△BDO。したがって，GD：BD＝DO：BO
だから，
12 2−（3x−y）
12
4
＝
｛
（x−3y）
＋
（3x−y）
｛
｝
（x−3y）
｝
GD：4＝3：5　より，GD＝
。DE＝ ×2＝
−36√￣
6 ＝72√￣
6（cm3） 12
5
5
5
12
24
2
GD：4＝3：5　より，GD＝
。DE＝ ×2＝
＝
（x−3y＋3x−y）
（x−3y−3x＋y）
7＋8）＝13πm。3 周目は，y＝ π
（9＋10＋11＋
3 5
5
5
4
⑶　（証明）
⑵ ① 解答参照
O
＝
（4x−4y）
（−2x−2y）
＝4
（x−y）
×
｛−2
（x＋y）
｝
12）＝21πm。
⑶　（証明）
△AOE
と△ABD において，
②
切断面の△AIJ
は，AI＝AJ
の二等辺三角形。
2
2
G
＝−8
（x−y）
（
x＋y）
＝−8x
＋8y
② y は，1 周するごとに半径が 4 m ずつ長くなる
△AOE
と△ABD
において，
3
∠OAE＝∠BAD
（共通）
………………………………………………………①
Ａから底辺
IJ
に下ろした垂線と
IJ
との交点をＫ
1−√
1
￣
0
∠OAE＝∠BAD
（共通）
………………………………………………………①
1
∠AEO＝90°
（接線と接点を通る半径は垂直に交わる）
……………………②
⑶ ￣
2 をかけて，2
で通分する。
弧 4 個の長さの和だから，8π× ×4＝8πm ず12.11.9
大阪公立Vもし第1回付録.indd
3 の分母分子に√
13.9.12
大阪公立Vもし第1回_数学解答解説.indd
2
√￣
2とすると，三角形の高さは
4
AK
となる。三平方
D
∠AEO＝90°
（
接線と接点を通る半径は垂直に交わる）
……………………②
∠ADB＝90°
（二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺と垂直に交わる）
…③
2
2
25
つ長くなる。x＝1
のとき，y＝5πだから，
1−√
10定 √
￣
￣
2 −√
￣
5二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺と垂直に交わる）
√2￣
2（1−√
10）
￣
√￣
22＋BI
−√￣
∠ADB＝90°
（
…③
の
−IK2＝
②，③より，∠AEO＝∠ADB………………④
− 理より，AK
＝＝AI −IK ＝AB
−
√
￣
2
2
√
￣
2
×√
￣
2
2
2 組の角がそれぞれ等しいから，
2
②，③より，∠AEO＝∠ADB………………④
①，④より，2
62＋（3√￣
6）
−
（3√￣
2）
＝36＋54−18＝72 よって， y＝8πx−3π
√
￣
2
−√
2
￣
0−√
￣
2
＋√
￣
5
−2√
￣
5 ＋√￣
5
√￣
5
①，④より，2
組の角がそれぞれ等しいから，
△AOE∽△ABD
＝
＝断面 AIJ の面＝−
AK＝6√￣
2 cm。切
積は，6√￣
2 × ③ 4 周目は，8π×4−3π＝29πm。5 周目は，8π
A
2
2
2
△AOE∽△ABD
384
×5−3π＝37πm。1 周目から 5 周目までの合計
2 1
2
⑷　6√
（cm
a＋b＞−6
⑷ イは
になる。
￣
2 ×）＝36
（cm
）
7 a＋b＜0，ウは
384
⑷　（cm2）2
は，5π＋13π＋21π＋29π＋37π＝105πm
7
a＝2，b＝2
アは例えば
のとき，a＋b＝4＞0
③ ②より，
AK＝CK＝6√
￣
2 cm。
また AC＝6√￣
2 cm
3
⑵ 右図のような 4 つのお
y
a＝5，b＝−4
エは
のとき，a＋b＝1＞0
3
⑴　①　ア　13π　イ　21π　②　y＝8πx−3π　③　105π
（m）
だから，△ACK は，正
x
3 2
6 2
うぎ形の合計となる。
6m
⑴　①　ア　13π　イ　21π　②　y＝8πx−3π　③　105π
（m）
M
87π 2 a＋b＜0 になるのはイ。
よって，常に
5m
A
C
⑵　三角形である。
（m ）
1
2
87π
×（52π＋62π＋72π＋
2
r の値）
a＋b
⑸ 条件にあうのは次の
8
通り
（かっこ内が
。
⑵　（m
）
4
2右図より，
7m
4
87π 2
2
12
（
3）
，
21
（
3）
，
24
（
6）
，
36
（
9）
，
42
（
6）
，
45
（
9）
，
54
（
9）
，
63
（
9）
E
8
π）
＝
（m
）
r：3√
￣
23）
＝1：√
￣
3 より，￣
3
8m
2 BIJD を共通の底面とする体積の等し
4
⑴　72√
￣
6（cm
⑵　①　72√
6（cm
（求め方）
3
6 2 ）
6 2　上の部分を長方形
O
8
2
3
3
⑴　72√
￣
6
（cm
）
⑵　①　72√
￣
6
（cm
）
（求め方）
上の部分を長方形
BIJD
を共通の底面とする体積の等し
したがって，確率は，
＝
r＝√
￣
6 cm A-BIJD と C-BIJD に分ける。A-BIJD の高さは，
Ａから底面 BIJD に下ろした垂線の長さになる
い 2 つの四角すい
36 9
3
い 2 つの四角すい A-BIJD と1 C-BIJD に分ける。A-BIJD の高さは，Ａから底面 BIJD に下ろした垂線の長さになる
1
⑹ 解答参照。Ａの
として，
方程式で求める。
x 座標を a＝3√
K
から，対角線 AC の長さの
￣
2 cm。したがって，A-BIJD
の体積は，6√￣
2 ×3√￣
6 ×3√￣
2 × ＝36√￣
6（cm3）。
D
4
2
1
13
（単位
cm）
から，対角線 AC の長さの＝3√￣
2 cm。したがって，A-BIJD の体積は，6√￣
2 ×3√￣
6 ×3√￣
2 × ＝36√￣
6（cm3）。
位 cm）
2 ￣
3
4
3
求める上の部分の体積は，36√
6
×2＝72√
￣
6
（cm
）
2
1
求める上の部分の体積は，36√
￣
6 ×2＝72√
￣
6（cm3）
③　√￣
6（cm）
②　36
（cm2）
⑴ 直方体の体積のから，
三角すい A-EFH の体積をひ
⑴ △OBD
は直角三角形で，BD＝4
cm，OD＝3
cm。
2
2
③　√
￣
6（cm）
②　36
（cm ）
2
2
2
BO＝xcm とすると，x ＝4 ＋3 だから，BO＝5 cm
1
1
1
く。6×6×6√￣
6 × −6×6× ×6√￣
6 × ＝108√￣
6
2
2
3
⑵ 解答参照。右図のように三
［配　点］
4 −36√￣
6 ＝72√￣
6（cm3）
［配　点］
角形の相似を利用する。
⑴⑵⑶−各
3 点，⑷⑸−各 4 点，⑹− 6 点…計 23 点
1
E
⑴⑵⑶−各
3 点，⑷⑸−各
1
⑵ ① 解答参照
O 23
⑶ 解答参照。
⑴− 3 点，⑵−
6 点，⑶− 4
8 点，⑹−
点，⑷− 6
3 点…計
点…計
20 点
点
2
⑴−
3 点，⑵−
6 点，⑶−
8 点，⑷−
2
② 切断面の△AIJ は，AI＝AJ の二等辺三角形。
⑷ BC＝8
cm を底辺とすると，
⑴①②③−各
3 点，⑵−
3 点…計
12 5点3 点…計 20 点
もある。
数　学
数　学
1
1
G
3
3
⑴①②③−各
3
点，⑵−
3
点…計
12
点
3
高
さ
AD
の
値
が
わ
か
れ
ば
よ
4 ⑴− 3 点，⑵①− 6 点，②③−各 3 点…計 15 点
3 点，⑵①− 6 点，②③−各
15D点
B 3 点…計
4 ⑴−
4
い。AO＝xcm，AE＝ycm
とすると，△AOE∽△ABD
x：（y＋4）
＝y：x＋3 …②
IJ に下ろした垂線と IJ との交点をＫ
とすると，三角形の高さは AK となる。三平方
の定理より，AK2＝AI2−IK2＝AB2＋BI2−IK2＝
（単位 cm）
だから，
x：（y＋4）
＝3：4 ……①
Ａから底辺
13.9.12 4:54:49
2:02:27
12.11.9
PM
A
3 3 2
2
62 ＋
（3√￣
6）
−
（3√￣
2）
＝36＋54−18＝72 よって，
AK＝6√￣
2 cm。切断面 AIJ の面積は，6√￣
2×
1
2
2:02:26 PM
4:54:48

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