IS・LMモデルの解き方

IS-LM曲線の解き方
小畑
結
亀
佳奈美
目次
1. 代入・消去法
2. 逆行列
3. クラメールの公式
（補足： 3×3の行列式）
IS-LM曲線について

IS曲線
財市場の均衡：𝑌 = 𝐶 𝑌 + 𝐼 𝑟 + 𝐺
政府によって決められるもの

LM曲線
𝑀
貨幣市場の均衡：
𝑃
= 𝐿(𝑌, 𝑟)
＝𝑏₀＋𝑏₁𝑌－𝑏₂𝑟
中央銀行によって決められるもの
𝑟:利子率
𝐺や𝑀が変化したときに
𝑌がどのように
変化するのかを
調べていきます。
𝑟**
𝑟*
𝑌*
𝑌**
𝑌：生産量（𝐺𝐷𝑃）
1.代入・消去法
𝐶＝𝑐₀＋𝑐₁𝑌
𝐼 = 𝑑₀－𝑑₁𝑟
𝑐₀, 𝑐₁, 𝑑₀, 𝑑₁は係数である。
また、𝑐₁は限界消費性向であり、
0＜𝑐₁＜1となる。
𝑌 = 𝐶＋𝐼＋𝐺
𝑌=𝑐₀＋𝑐₁𝑌＋𝑑₀－𝑑₁𝑟＋𝐺
𝐶
𝐼
1
𝑌＝
｛𝑐₀＋𝑑₀－𝑑₁𝑟＋𝐺｝ー①
1−𝑐₁
𝑀
＝𝑏₀＋𝑏₁𝑌－𝑏₂𝑟
𝑃
①をYに代入
𝑀
𝑏₁
＝𝑏₀＋
{𝑐₀＋𝑑₀ー𝑑₁𝑟＋𝐺}ー𝑏₂𝑟
𝑃
1−𝑐₁
1
𝑏₁
𝑀
𝑟＝ 𝑏₁𝑑₁ {𝑏₀＋
(𝑐₀＋𝑑₀＋𝐺)－ }
1−𝑐₁
𝑃
+𝑏₂
ー②
𝑏₀, 𝑏₁も係数である
1−𝑐₁
②を①に代入する
1
𝑑₁
𝑏₁
𝑀
𝑌＝
[𝑐₀＋𝑑₀＋ 𝑏₁𝑑₁ {𝑏₀＋
(𝑐₀＋𝑑₀＋𝐺)－ }＋𝐺]
1−𝑐₁
1−𝑐₁
𝑃
+𝑏₂
1−𝑐₁
ー③
③より、
1
𝑑₁
Δ𝑌＝
{1－ 𝑏₁𝑑₁
1−𝑐₁
+𝑏₂
1−𝑐₁
×
𝑏₁
1
𝑑₁
Δ𝑀
}Δ𝐺＋
× 𝑏₁𝑑₁ ×
1−𝑐₁
1−𝑐₁
𝑃
+𝑏₂
1−𝑐₁
𝒃₀, 𝒃₁, 𝒄₀, 𝒄₁, 𝒅₀, 𝒅₁は
係数であるため、
無視する。
1
𝑑₁(1−𝑐₁)
𝑏₁
1
𝑑₁(1−𝑐₁)
Δ𝑀
＝
{1－
×
}Δ𝐺＋
×
×
1−𝑐₁
𝑏₁d₁+𝑏₂(1−𝑐₁) 1−𝑐₁
1−𝑐₁ 𝑏₁d₁+𝑏₂(1−𝑐₁)
𝑃
1
＝
1−𝑐₁
＝
×
𝑏₁d₁+b₂(1―c₁)―b₁d₁
𝑏₁d₁+𝑏₂(1−𝑐₁)
𝑑₁
Δ𝑀
Δ𝐺＋
𝑏₁d₁+𝑏₂(1−𝑐₁) 𝑃
b₂
𝑑₁
Δ𝑀
Δ𝐺＋
𝑏₁d₁+𝑏₂(1−𝑐₁)
𝑏₁d₁+𝑏₂(1−𝑐₁) 𝑃
行列式とは…❓

行列式とは…
行列を数式とみなしたもの。
2×2の行列の場合、下のように表せる。
𝑎
𝑐
𝑏
＝𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑑
また、
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
𝑥
𝑒
𝑦 ＝ 𝑓
1
𝑌＝
｛𝑐₀＋𝑑₀－𝑑₁𝑟＋𝐺｝ー①
1−𝑐₁
𝑀
＝𝑏₀＋𝑏₁𝑌－𝑏₂𝑟 －②
𝑃
①より、
1 − 𝑐₁ 𝑌＋𝑑₁𝑟＝𝑐₀＋𝑑₀＋𝐺 ―①‘
①,②を用いて行列の形で表す
両辺に(1 − 𝑐₁)をかける
②より、
−
𝑀
𝑏₁𝑌＋𝑏₂𝑟＝b₀－
𝑃
―②‘
②を移項する
①‘,②’の式を行列で表すと…
𝑐₀
1 − 𝑐₁ 𝑑₁ 𝑌
1
0
＝ 𝑏₀ +
𝐺+
−𝑏₁ 𝑏₂ 𝑟
0
−1
𝑀
𝑃
IS曲線
LM曲線
この行列を用いて、
逆行列・クラメールの方式を解いていきます。
2.逆行列

逆行列とは？
𝑎
𝐴＝
𝑐
1
𝑏
𝑑
−1
の逆行列は、𝐴 ＝
𝑎𝑑−𝑏𝑐 −𝑐
𝑑
−𝑏
𝑎
(思考ツールとしての数学P139)

正方行列
行の個数と列の個数が同じ行列
例えば、２行２列ならば２次正方行列といいます。

逆行列を用いたやり方
1 − 𝑐₁ 𝑑₁
𝐴=
とすると、𝐴−1 はどうなるか。
−𝑏₁ 𝑏₂
−1
𝐴
1 − 𝑐₁
=
−𝑏₁
−1
=
1
1−𝑐₁ 𝑏₂+𝑑₁b₁
𝑐₀
𝑌
1
0
＝ 𝑏₀ +
𝐺+
𝑟
0
−1
1 − 𝑐₁ 𝑑₁
−𝑏₁ 𝑏₂
1 − 𝑐₁ 𝑑₁
−𝑏₁ 𝑏₂
𝑑₁
𝑏₂
−1
1 − 𝑐₁ 𝑑₁
−𝑏₁ 𝑏₂
𝑏₂
𝑏₁
−𝑑₁
1 − 𝑐₁
1 − 𝑐₁
両辺に
−𝑏₁
𝑀
𝑃
1 − 𝑐₁ 𝑑₁
𝑌
＝
−𝑏₁ 𝑏₂
𝑟
−1
𝑑₁
𝑏₂
𝑐₀
1
0
{ 𝑏₀ +
𝐺+
0
−1
−1
をかける
𝑀
}
𝑃
𝑏₂
𝑏₁
𝑌
＝
𝑟
1
1−𝑐₁ 𝑏₂+𝑑₁b₁
Δ𝑌＝
1
{
1−𝑐₁ 𝑏₂+𝑑₁b₁
＝
＝
b₂
1−𝑐₁ 𝑏₂+𝑑₁b₁
𝑐₀
−𝑑₁
1
0
× { 𝑏₀ +
𝐺+
1 − 𝑐₁
0
−1
𝑏₂
𝑑₁
Δ𝐺＋
𝑏₁
𝑐₁ − 1
Δ𝐺＋
𝑑₁
Δ𝑀
1−𝑐₁ 𝑏₂+𝑑₁b₁ 𝑃
b₂
𝑑₁
Δ𝑀
Δ𝐺＋
𝑏₁d₁+𝑏₂(1−𝑐₁)
𝑏₁d₁+𝑏₂(1−𝑐₁) 𝑃
𝑀
}
𝑃
Δ𝑀
}
𝑃
𝒃₀, 𝒃₁, 𝒄₀, 𝒄₁, 𝒅₀, 𝒅₁は係数
であるため、無視する。
3.クラメールの公式
𝑎
例）
𝑐
𝑏
𝑑
𝑥=
=
𝑒
𝑓
𝑎
𝑐
𝑥
𝑒
𝑦 = 𝑓
𝑏
𝑑
𝑏
𝑑
𝑑𝑒−𝑏𝑓
𝑎𝑑−𝑏𝑐
という行列があるとする。
𝑒
𝑎 𝑏
の１列目を 𝑓 にする
𝑐 𝑑
𝑎 𝑏
を代入
𝑐 𝑑
行列式にする
では、𝑦 について解くとどうなるだろう？
𝑦=
𝑎
𝑐
𝑎
𝑐
𝑒
𝑓
𝑏
𝑑
𝑎𝑓−𝑐𝑒
＝
𝑎𝑑−𝑏𝑐
𝑒
𝑎 𝑏
の２列目を 𝑓 にする
𝑐 𝑑
𝑎 𝑏
を代入
𝑐 𝑑

クラメールの公式を用いたやり方
まず、 ∆𝐺について考えていく。
1 − 𝑐₁
−𝑏₁
Δ𝑌＝
𝑑₁
𝑏₂
1 𝑑₁
0 𝑏₂
1−𝑐₁ 𝑑₁
−𝑏₁ 𝑏₂
𝑐₀
𝑌
1
0
＝ 𝑏₀ +
𝐺+
𝑟
0
−1
𝑀
𝑃
1
にする
0
1 − 𝑐₁ 𝑑₁
Yの係数
を代入
−𝑏₁ 𝑏₂
1行目を𝐺の係数
∆𝐺
＝
1×𝑏₂−𝑑₁×0
∆𝐺
(1−𝑐₁)×𝑏₂−𝑑₁×(−𝑏₁)
＝
b₂
𝑏₁d₁+𝑏₂(1−𝑐₁)
Δ𝐺
同様に、ΔM についても考えていく。
𝑐₀
1 − 𝑐₁ 𝑑₁ 𝑌
1
0
＝ 𝑏₀ +
𝐺+
−𝑏₁ 𝑏₂ 𝑟
0
−1
ΔY＝
0 𝑑₁
−1 𝑏₂ Δ𝑀
1−𝑐₁ 𝑑₁ 𝑃
−𝑏₁ 𝑏₂
0×b₂−𝑑₁×(−1)
Δ𝑀
＝
(1−𝑐₁)×b₂−𝑑₁×(−𝑏₂) 𝑃
𝑑₁
Δ𝑀
＝
𝑏₁d₁+𝑏₂(1−𝑐₁) 𝑃
𝑀
𝑃
0
１行目を𝑀の係数
を代入
−1
1 − 𝑐₁ 𝑑₁
Yの係数
を代入
−𝑏₁ 𝑏₂
補足：３×３の行列式
次の３×３の行列があるとする。
𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃
𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃
の行列式は、
𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃
𝑎₁₁ 𝑎₂₂ 𝑎₃₃－ 𝑎₁₁ 𝑎₂₃ 𝑎₃₂＋ 𝑎₁₂ 𝑎₂₃ 𝑎₃₁ －𝑎₁₂ 𝑎₂₁ 𝑎₃₃＋ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁𝑎₃₂－𝑎₁₃ 𝑎₂₂ 𝑎₃₁
と表すことができる。
では、正や負はどのように決まっているのか？

偶順列
１
このように、
１→２→３, ２→３→１, ３→１→２の順のとき
２
３

偶順列といい、符号が正（＋）になる。
奇順列
１
このように、
３
２
１→３→２, ２→１→３, ３→２→１の順のとき
奇順列といい、符号が負（－）になる。
ご清聴ありがとうございました。

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