5．パラメータ推定問題としての宇宙測地学

５．パラメータ推定問題としての宇宙測地学
5.0 線形の最小二乗法
誤差の二乗和を最小にするようなパラメータを解とする
e! = y! − ax!! + bx! + c
e! = y! − ax!! + bx! + c
y!
e!
a
e = d − Gm, where e = e! , d = y! , m = b
e!
y!
c
x!!
G = x!!
x!!
x!
x!
x!
1
1
1
残差二乗和 !
e!! = !e e =
!
d − Gm d − Gm !!!
= !dd − !dGm − !m !Gd + !m !GGm !Φ
!!
= 0 になるようなmが求める解である。 ∂Φ
= −2 !dG + 2 !m !GG = 0
∂m
よって、 !GGm = !Gd
m=
!
GG
!! !
Gd ①
① 式では N 個のデータdは全て均一な精度を持つと仮定されているが、そうで
ない場合は
1
σ!!
⋮
W=
0
⋯
0
⋱
⋮
1
σ!!
⋯
を用いて、Wd = WGmとして最小二乗法を使う。
m=
!
GWG
!! !
GWd
5.1 非線形の場合→線形化する
d = F m の場合、あるm = m! のまわりで Taylor 展開する
d = F m! +
∂F
∂m
!!!! ∆m
+ O ∆m
もし２次以上の項が無視できれば、∆d = d − F m として
∆d =
∂F
∂m
!!!! ∆m
6. VLBI の原理と地球科学的成果
6.1 原理：何をするものか？
電波星（準星 Quasar）からの微弱な電波を複数局で受信して遅延時間τ! を測る。
マイクロ波 L 帯 ~1GHz
S 帯 ~2GHz
C 帯 ~5GHz
X 帯 ~10GHz
K 帯 ~20GHz
6.2 実際のデータ解析／物理効果
電波星←慣性座標系で指定 (α, δ)
観測点←地球固定座標系 (X,Y,Z)
回転行列の積で表現
τ! =
R
ıs + ∆ıs B! + ∆B + τ!"#!$ 2 地点からの距離
i
+τ対流圏電波伝搬遅延 + τ電離層電離層伝搬遅延 + τ相対論的効果
B! には潮汐変形も考慮される。
実際には１つの電波星を 1~2 分観測して、τ! を決める。これを 100 以上決めて
おいて、最小二乗法を適用する。
6.3 測地 VLBI の効果
・地球回転、観測の高精度高頻度化
－以前は星の光学観測（天候：昼間は不可）
・プレート運動の実測
(欠点) 装置が大型／高価→GPS

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