最終 12月センター試験本番レベル模試［数学Ⅰ・Ａ、数学Ⅰ］講評 数学Ⅰ・A、数学Ⅰ 本番に向けて最後まで解ききる訓練を行おう。 Ⅰ．全体講評 0 最終 12 月センター試験本番レベル模試も終わり， いよいよ本番のセンター試験を迎える。今回も含め て，これまで受験してきた模試は，あくまでも本番 で良い結果を出すための練習にすぎない。結果に一 喜一憂するのではなく，冷静に，これから本番当日 数学Ⅰ・A 大問別得点率（%） 20 40 60 80 100 第 1 問〔1〕 51.3 77.5 第 1 問〔2〕 第2問 54.0 第3問 76.2 までどのようにコンディションを整えるのか，以下 第4問 55.7 の大問別分析や学習アドバイスを参考にして対策を 第5問 56.1 立ててほしい。 第6問 50.1 今回の平均点は数学Ⅰ・A が 60.4 点，数学Ⅰが 50.9 点であった。センター試験本番レベル模試，全 国統一高校生テストの全 6 回をしっかりと復習し て，万全の態勢で試験を迎えよう。具体的な対策と して，例えば，知識があやふやな単元の過去問だけ を 10 年分徹底的にやり抜いてみたり，時間を計測 Ⅱ．大問別分析 数学Ⅰ・Ａ して過去問演習を行ったり，自分の弱点に応じて直 第 1 問〔1〕 数と式（10 点） 前の対策をたてよう。今回は，数学Ⅰ・A のみ得 点分布グラフと大問別得点率を紹介した。数学Ⅰ受 絶対値を含む方程式，不等式の解法を最終確 認しておこう。 験者は後半にある大問毎の講評を参考にしてほし 絶対値を含む不等式の解，および絶対値を含む不 い。 等式間の必要条件・十分条件の判定を行う問題であ る。平均点は 5.1 点（得点率 51.3％）であった。 得点分布 数学Ⅰ・A 30 ⑴は，2 次不等式の解を求める問題。わざわざ展 開しないように，式の形を見て変形できるようにし 平均 60.4% 25 ておこう。 受 験 20 者 数 の 15 割 合 10 （％） ⑵は，不等式と同値な条件を選択する問題であ る。絶対値記号を含む項全体が 0 以上となるので， 0 とならない条件が求める条件である。なお，x が 実数というような条件は問題文でさらっと書いてあ 5 0 るが，問題全体に関わる部分なので見落とさないよ 10 20 30 40 50 60 得点率（％） 70 80 90 100 うにすること。 ⑶は，必要条件・十分条件の判定を行う問題。設 問オは，⑴で解いた不等式がヒントとなっている。 センター試験では，前の設問が利用できることも多 いので，このことを意識してセンター試験当日まで 問題演習を重ねよう。 1/4 最終 12月センター試験本番レベル模試［数学Ⅰ・Ａ、数学Ⅰ］講評 第 1 問〔2〕 データの分析（10 点） 番までグラフを描いて考えることを実践し続けよ 適切な図を選ぶポイントを押さえておこう。 う。 データの代表値の計算，およびデータに対応する 箱ひげ図，散布図などの図を選ぶことがテーマの問 第 3 問 図形と計量（20 点） 題である。平均点は 7.8 点（得点率 77.5％）であっ た。 正弦定理と余弦定理の使い分けについて最終 確認しておこう。 ⑴は，中央値，平均値，分散などの代表値を求め 正弦定理，余弦定理の使い分けと三角形の面積， る問題。中央値はデータの個数が偶数か奇数かで異 内接円の半径などがテーマの問題である。平均点は なるので，定義を正確に理解しておくこと。その他 15.3 点（得点率 76.2％）であった。 の代表値についても定義から計算できるように最終 ⑴は，余弦定理を用いて角の大きさを求める問 確認しておこう。 題，および三角形の面積，内接円の半径を求める問 ⑵は，データに対応する箱ひげ図を選択する問題 題。いずれも基本問題であるから，間違えた問題が である。本問では，第 1 四分位数，中央値，第 3 四 ある場合には大至急確認しておくこと。 分位数の値から正しい図が判断できる。箱ひげ図の ⑵設問シ，スは，余弦定理を用いて辺の長さを求 箱，線（ひげ）がそれぞれ何を意味するか正確に覚 める問題。分かっているのは，2 辺の長さとその間 え，自分で描けるくらいまで理解を深めておこう。 にはさまれない角の情報（余弦）であるが，一般に ⑶は，データに対応する散布図を選ぶ問題，およ この条件では三角形は一意に決まらないので，長さ び相関係数を求める問題。両方の得点の組を同時に を求めた後の解の吟味が必要となる。本問では，正 見ることが難しい場合には，一方の得点で見て誤っ と負の解が出るので，正の解が求める長さと判断で ているものを消去していくと良い。設問タは，相関 きるが，問題によっては両方正の解（鋭角三角形と 係数の値を選ぶ問題。解答解説の本解では，相関の 鈍角三角形）で出る場合もあるので，この点をしっ 強さから相関係数の値を選んでいるが，（注）で示 かりと確認しておこう。設問ソ～チは，正接の比の したように，計算によって求めることもできる。や 値を求める問題で，2 つの正接の値に現れる共通の や煩雑な計算であるが，計算方法についても確認し 辺の長さを見出せたか，すなわち，正接の定義に ておこう。 従って考えられたかがポイントである。この点が把 4 4 4 4 4 4 4 握できれば，2 つの内接円の半径の比に置き換える 第 2 問 2 次関数（20 点） 発想については容易であろう。定義に戻って考える グラフを描いて考えることを実践し続けよ う。 設問は，センター試験においてもよく出題されるの で，この点を念頭に置いて問題演習に取り組もう。 前半は 2 次関数のグラフと x 軸の交点に関する 問題，後半は 2 次関数のグラフの移動と最大・最小 第 4 問 場合の数と確率（20 点） に 関 す る 問 題 で あ る。 平 均 点 は 10.8 点（ 得 点 率 問題文の設定を読み取る練習を続けよう。 54.0％）であった。 3 個のサイコロを同時に投げるときの目に関する ⑴設問コ～スは，2 次関数のグラフと x 軸の交点 場合の数，および玉の番号とサイコロの目から定ま 間の距離が与えられたときの係数を求める問題。解 る得点に関する確率の問題である。平均点は 11.2 答解説では，交点の座標を実際に求めてから a の値 点（得点率 55.7％）であった。 を求めたが，数学Ⅱの 2 次方程式の解と係数の関係 ⑴ A，B，C 3 個のサイコロを同時に投げるとき を利用して計算することもできる。 の目の出方に関する場合の数の問題。3 個の目の組 ⑵設問セ～ツは，平行移動した 2 次関数がある変 み合わせを書き出し，サイコロの区別を考えること 域で与えられた最大値，最小値をとる条件を求める で場合の数を求めればよい。 問題である。2 次関数の最大・最小は，グラフの軸 ⑵は，袋から取り出した玉の番号とサイコロの目 の位置に着目して別々に考えると確実に正答を得る の種類の数が一致するときのみ得点がある確率の問 ことができる。区間に対する軸の位置，グラフの対 題である。設問サ～セ，設問ソ～テは，それぞれの 称性を意識して解答できるように，センター試験本 得点となる袋から取り出した玉の番号，サイコロの 2/4 最終 12月センター試験本番レベル模試［数学Ⅰ・Ａ、数学Ⅰ］講評 目の種類，サイコロの目の最大値，で起こり得る状 抜く練習はセンター試験本番までしっかりと行お 況を読み取って，すべての場合を考えられるかがポ う。 イントである。問題文の設定を読み取る練習はセン ⑵は，メネラウスの定理を利用して長さを求める ター試験本番までしっかりと続けていこう。 問題であるが，適切な平面を取り出すことができる かが最初の関門である。空間図形では，空間図形の 第 5 問 整数の性質（20 点） ままで考えるのではなく，平面に落とし込んで議論 数の決定における「互いに素」の理解を深め よう。 を行うことが多い。空間図形を扱う際には，平面を 三つの自然数のうちの二つの数の和や最小公倍数 組むようにしよう。 取り出して議論することを意識して問題演習に取り が与えられたときの三つの自然数の組の決定，およ び自然数の末尾の 0 の個数がテーマの問題である。 平均点は 11.2 点（得点率 56.1％）であった。 数学Ⅰ ⑴は，与えられた数の素因数分解を行う問題。各 第 1 問 数と式（25 点） 数を小さな素因数から順に割っていくことで，正確 に素因数分解できるようにしておくこと。 絶対値を含む方程式，不等式の解法を最終確 認しておこう。 ⑵は，三つの自然数のうちの二つの数の和や最小 ［1］は，式の計算，および実数が有理数となる条 公倍数から，最大公約数と最小公倍数の関係や互い 件に関する問題， ［2］は，絶対値を含む不等式の に素などの性質を利用して三つの自然数の組を決定 解，および絶対値を含む不等式間の必要条件・十分 していく問題である。設問サ～スでは，「a，b は互 条件の判定を行う問題である。平均点は 14.3 点（得 いに素 点率 57.2％）であった。 a＋b，ab は互いに素」を用いて最大公 約数を決定する。「互いに素」は数の決定において ［1］⑴，⑵は，式変形を利用して式の値を求める 頻繁に用いるものであるから，必ず押さえておくこ 問題。いずれも 2 乗の形から式の値を求めるが，符 と。 号に注意して計算すること。 ⑶は，数の積を素因数分解した形から，その数の ⑶は，実数が有理数となる条件を求める問題であ 末尾の 0 の個数を考察する問題で，2 と 5 の組み合 る。解答解説のアドバイスにも載せたが，実数が有 わせが 1 組できるごとに 0 が 1 個現れることが理解 理数となる条件と合わせ，無理数の相等についても できているかがポイント。素因数分解した数の形か 理解しておこう。 ら考察できることについては，整理して理解してお ［2］⑴は，2 次不等式の解を求める問題。わざわ こう。 ざ展開しないように，式の形を見て変形できるよう にしておこう。 第 6 問 図形の性質（20 点） ⑵は，不等式と同値な条件を選択する問題であ 空間図形を扱うときは，平面に落とし込んで 議論を展開することを意識しよう。 る。絶対値記号を含む項全体が 0 以上となるので， 四面体における三平方の定理や三角形の相似の利 実数というような条件は問題文でさらっと書いてあ 用，およびメネラウスの定理の適用に関する問題で るが，問題全体に関わる部分なので見落とさないよ ある。平均点は 10.0 点（得点率 50.1％）であった。 うにすること。 ⑴設問アおよび設問イ，ウは，三角形が二等辺三 ⑶は，必要条件・十分条件の判定を行う問題。設 角形であることを利用して三平方の定理を適用する 問タは，⑴で解いた不等式がヒントとなっている。 問題。本問は空間図形の問題であるが，適切な平面 センター試験では，前の設問が利用できることも多 で考えられるかがポイントである。設問シ，および いので，このことを意識してセンター試験当日まで 設問スでは，相似な 2 組の三角形の辺の長さの対応 問題演習を重ねよう。 0 とならない条件が求める条件である。なお，x が から長さを求める。図形と計量，図形の性質の分野 では相似な三角形の組を見つけられるかがポイント 第 2 問 2 次関数（25 点） となることも多いので，図を描いて図形の性質を見 数学Ⅰ・A 第 2 問と共通 3/4 最終 12月センター試験本番レベル模試［数学Ⅰ・Ａ、数学Ⅰ］講評 第 3 問 図形と計量（30 点） ⑷は，データに変更を施したときの分散，相関係 正弦定理，余弦定理を正確に使い分けられる ようになろう。 数の値の変化を調べる問題。変更前と変更後の分散 三角錐の側面の三角形における正弦定理・余弦定 ことができる。ここでも定義は必要となるので，用 理の適用，および展開図を利用して線分の長さの和 語の定義について最終確認をしっかりと行おう。 や相関係数を表すことでどのように変わるかを見る の 2 乗の最小値を考える問題である。平均点は 15.1 点（得点率 50.3％）であった。 設問アは，正弦定理を用いて角の大きさを求める Ⅲ．学習アドバイス 問題。sin∠AOB の値からは，∠AOB の値が 2 つ ◆本番に向けて基本の最終チェックを 求まるが，∠AOB が鋭角という条件から一意に定 基礎的な問題で点を落としてしまった人は，その めることができる。設問キ～タは，誘導に従って方 出来なかった項目についてだけでも早急に固めてお 程式を導き，それを解いて辺の長さを求める問題で くこと。この時期は焦って大学入試の対策にばかり ある。正弦定理・余弦定理や三角形の面積などの基 目が行きがちになるが，そのままでは志望校対策に 本事項は正確に使えるようにしておくこと。設問 力を入れても効果は薄い。穴が発見されたら，その ト～ネは，線分の長さの和の 2 乗の最小値を求める 場で復習をしていくようにしよう。 問題。展開図上で最小になる状況が考えられれば， 余弦定理を用いるという解答の方針は明快であろ ◆傾向の変化に注意 う。空間図形上の複数の面を通る線分を考えるとき 問題構成が変わることは十分考えられる。試験本 に展開図が有効であることも本問を通じて理解して 番では，必ず問題冊子表紙の注意事項をよく読も おこう。 う。また，見慣れない構成で出題されたとしても決 して慌ててはならない。条件は皆同じだからだ。そ 第 4 問 データの分析（20 点） して，数学Ⅰ・A を選択する人は，間違って数学Ⅰ 適切な図を選ぶポイントを押さえておこう。 を解かないようにくれぐれも気をつけよう。 データの代表値の計算，およびデータに対応する 箱ひげ図，散布図などの図を選ぶことがテーマの問 ◆マークミス・計算ミスに注意 題である。平均点は 11.4 点（得点率 56.8％）であっ 数学は他教科に比べるとマークミスを犯す危険が た。 高い。対策としては，試験本番までマークシートを ⑴は，中央値，平均値，分散などの代表値を求め 使って過去問演習をしておく，大問毎に塗ったマー る問題。中央値はデータの個数が偶数か奇数かで異 ク箇所の数が問題数と合っていることを確認するな なるので，定義を正確に理解しておくこと。 どが挙げられる。また，数学では，計算ミスが命取 ⑵は，データに対応する箱ひげ図を選択する問題 となることが多い。問題の前半部分でミスをする である。本問では，第 1 四分位数，中央値，第 3 四 と，後半まで影響する問題が多いので，前半の設問 分位数の値から正しい図が判断できる。箱ひげ図の では答えが出たら必ず確認し，後半に影響を及ぼさ 箱，線（ひげ）がそれぞれ何を意味するか正確に覚 ないようにしたい。 え，自分で描けるくらいまで理解を深めておこう。 以上，センター試験本番において，持っている実 ⑶は，データに対応する散布図を選ぶ問題，およ 力を最大限に発揮するために気をつけておくべきこ び相関係数を求める問題。両方の得点の組を同時に とについて簡単にまとめた。本番に向けて万全の態 見ることが難しい場合には，一方の得点で見て誤っ 勢を整えて頑張ってほしい。 ているものを消去していくと良い。設問サは，相関 係数の値を選ぶ問題。解答解説の本解では，相関の 強さから相関係数の値を選んでいるが，（注）で示 したように，計算によって求めることもできる。や や煩雑な計算であるが，計算方法についても確認し ておこう。 4/4
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