学習指導要領解説抜粋（PDF：440KB）

高等学校学習指導要領解説
数学統計関係部分抜粋
第１部
数学
第２章
各科目
第１節
数学Ⅰ
３内容と内容の取扱い
（4）データの分析
(4) データの分析
統計の基本的な考えを理解するとともに，それを用いてデータを整理・分析し傾
向を把握できるようにする。
ア
データの散らばり
四分位偏差，分散及び標準偏差などの意味について理解し，それらを用いてデ
ータの傾向を把握し，説明すること。
イ
データの相関
散布図や相関係数の意味を理解し，それらを用いて二つのデータの相関を把握
し説明すること。
中学校では，コンピュータを用いるなどして，ヒストグラムや代表値などにより資料の
傾向をとらえることや，資料を整理して活用すること及び標本調査などを扱っている。
ここでは，統計の用語の意味やその扱いについて理解させるとともに，例えば表計算用
のソフトウェアや電卓も適宜用いるなどして，目的に応じデータを収集・整理し，四分位
数，四分位範囲，四分位偏差，分散，標準偏差，散布図及び相関係数などに着目させ，デ
ータの傾向を的確に把握することができるようにする。
なお，様々な事象から見いだされる確率や統計に関するデータを，中学校では「資料」
と表していたが，高等学校では生活の中で活用することや統計学とのつながりを一層重視
し，一般的に用いられる「データ」という用語を用いることとした。また，従前の「相関
図」も，今回の改訂で「散布図」に改めることにした。
指導に当たっては，生徒が意欲をもって学習を進めることができるように，テーマを適
切に選び，具体的な事象に基づいた扱いをすることが大切である。また，Σは「数学Ｂ」
で扱うことに留意する。
ア
データの散らばり
ここでは，中学校での学習を更に発展させて，四分位数，四分位範囲，四分位偏差，分
散及び標準偏差などの用語を知り，意味を理解させるとともに，それらを利用してデータ
の傾向を的確にとらえ説明できるようにする。なお，四分位範囲とは第３四分位数から第
１四分位数を引いた値であり，四分位偏差とは四分位範囲を２で割った値である。
指導に当たっては，これらの用語を具体的な事象と関連付けて扱うことが大切である。
例えば，充電式機器の使用可能時間について，平均値や分散，標準偏差を求めて，それら
の意味を理解させることが考えられる。また，四分位数に関連して箱ひげ図を扱うことも
1
考えられる。箱ひげ図とは，次のように，最小値，第１四分位数，中央値（第２四分位数），
第３四分位数，最大値を箱と線（ひげ）を用いて一つの図で表したものである。箱の長さ
が四分位範囲で，全データの真ん中の半数が入っている区間を表している。またこの図中
に，平均値を記入して中央値との差を考えたり，第１・第３四分位数と中央値との差を考
えたりすることにより，データの散らばり具合が把握しやすくなるので，複数のデータの
分布を比較する場合などに使われる。
最大値
第３四分位数
平均値
中央値
第１四分位数
最小値
イ
データの相関
ここでは，散布図及び相関係数の意味を理解させるとともに，それらを利用してデータ
の相関を的確にとらえ説明できるようにする。例えば，あるクラスの生徒について，100
ｍ走と走り幅跳びの計測記録を収集し，散布図に表したり相関係数を求めたりして，これ
らのデータの間の傾向をとらえさせることが考えられる。特に，多くのデータを扱う場合
には，コンピュータなどを積極的に活用するようにする。
2
第５節
数学Ｂ
３内容と内容の取扱い
(1) 確率分布と統計的な推測
(1) 確率分布と統計的な推測
確率変数とその分布，統計的な推測について理解し，それらを不確定な事象の考察に
活用できるようにする。
ア
確率分布
(ｱ) 確率変数と確率分布
確率変数及び確率分布について理解し，確率変数の平均，分散及び標準偏差を用い
て確率分布の特徴をとらえること。
(ｲ) 二項分布
二項分布について理解し，それを事象の考察に活用すること。
イ
正規分布
正規分布について理解し，二項分布が正規分布で近似できることを知ること。また，
それらを事象の考察に活用すること。
ウ
統計的な推測
(ｱ) 母集団と標本
標本調査の考え方について理解し，標本を用いて母集団の傾向を推測できることを
知ること。
(ｲ) 統計的な推測の考え
母平均の統計的な推測について理解し，それを事象の考察に活用すること。
今回の改訂では，従前の「数学Ｃ」の「確率分布」と「統計処理」を一つにまとめ，こ
こで扱うこととした。
中学校第３学年では，標本調査の必要性や意味について理解させるとともに，簡単な場
合について標本調査を行い，母集団の傾向をとらえ説明することを扱っている。
「数学Ⅰ」の「(4) データの分析」では，分散，標準偏差及び相関係数などを扱い，デ
ータの傾向を把握し，説明することを学習している。また，「数学Ⅱ」の「(1) いろいろ
な式」では二項定理を扱い，「数学Ａ」の「(1) 場合の数と確率」では，場合の数，確率
とその基本的な法則，独立な試行の確率及び条件付き確率などを扱っている。
ここでは，まず，確率変数や確率分布について理解させる。従前の「数学Ａ」の「場合
の数と確率」で扱われた期待値もここで扱い，確率分布としては二項分布と正規分布を扱
う。また，標本調査の考え方及びそれを用いて母集団のもつ傾向を推測する方法について
理解させる。さらに，確率の理論を統計に応用し，統計的な見方や考え方を豊かにし，そ
れらを活用して母平均などを推定できるようにする。
なお，これらの内容については理論的な扱いに深入りせず，具体的な例や作業を通して
確率分布の考えや統計的な推測の考えを理解させるようにする。例えば，二項分布が正規
分布で近似されることなどの数理的現象については，コンピュータなどを用いて直観的に
理解できるようにすることが考えられる。また，ここでの学習に関して，「数学Ⅱ」及び
「数学Ａ」の該当する内容を履修していない場合には，適宜必要な事項を補足するなどの
3
配慮が必要である。
ア
確率分布
(ｱ) 確率変数と確率分布
ここでは，確率変数とその分布について理解させる。
ここで扱う確率変数は，標本空間の各要素に対し一つの実数を対応させる写像のことであ
る。
例えば，互いに区別できる２枚の硬貨を投げる試行についての標本空間を
Ｓ＝｛(表，表)，(表，裏)，(裏，表)，(裏，裏)｝
とする。この試行において，Ｓのそれぞれの根元事象に対して表の出る枚数を確率変数Ｘ
とすれば，（表，表）のときX
（裏，裏）のときX
２，（表，裏）のときX
１，（裏，表）のときX
１，
0となり，次のような確率分布表が得られる。
X
0
1
2
計
確率
1
4
1
2
1
4
1
このような具体例を通して，確率変数とその分布の意味を十分に理解させることが大切
である。また，確率分布の特徴を示す確率変数の平均（期待値），分散及び標準偏差につ
いて理解させ，確率分布の特徴をとらえることができるようにする。なお，それらの計算
に際しては，電卓などの活用を積極的に図るようにする。
(ｲ) 二項分布
基本的な離散型確率分布として，二項分布を扱う。
一つの試行において，ある事象Ｅが起こる確率を，起こらない確率をとする。すなわ
ち、P E
1
，
1とする。この試行を独立に回だけ繰り返したとき，事
，0
象Ｅの起こる回数を確率変数Xとすれば，Xは二項分布
,
に従い，Xが値をとる確率は
次のようになる。
P X
また，二項分布
nＣ k
,
0, 1, 2， … ，
に従う確率変数Xの平均は
，標準偏差は
である。
例えば，１個のさいころを５回投げるとき，１の目の出る回数をX回とすると，確率変
数Xは二項分布
5,
に従い，１の目が回出る確率はP
で与えら
5Ｃ k れる。指導に当たっては，生徒の実態等に応じて適切な具体例を工夫することが大切であ
る。
イ
正規分布
統計学において重要な役割を果たす正規分布について，その意味を直観的に理解させる
ようにする。
変量Xに対応する関数
x
0があって，確率 P
4
X
が，区間
,
に対応する曲線
y
x とx軸との間の面積で定められるとき，Xを連続型確率変数， x を確率密度関数と
いう。
ここでは，これらについて具体的な事象を基に理解させる。例えば，身長などの計測に
おいては，測定値Xはある範囲のすべての実数値をとると考えられるので，Xは連続型確率
変数である。
0， ∞
また，
∞を定数とするとき，
を確率密度関数とする
√
連続分布が正規分布であることや，その平均は，標準偏差はであることを扱う。なお，
正規分布の確率密度関数
に現れる自然対数の底 √
については，数学Ⅲ
で扱われることに留意する。
確率変数Xが正規分布N ,
う。この Yについては，
X
表を用いて確率 P
P
X
に従うとき，Y
0に対する確率 P 0
X µ
と置くとYは標準正規分布N 0, 1 に従
Y
が数表に表されているので，この数
を求めることができる。なお，確率変数Xに関しては，
2
，P
X
2
，P
3
X
3
の値について触れるこ
とも大切である。
次に，の値が大きいとき，二項分布が正規分布で近似できることについて扱う。
を自然数，0
1，
1
とする。二項分布 ,
に従う確率変数Xは離散型で
あり，
P X
nＣ k
0, 1, 2， … ，
である。このとき，の値が大きくなると Xの分布が，正規分布N
ことをコンピュータなどを用いて直観的に理解させる。そこで，Z
, に近づいていく
X µ
と置いて離散型の
確率変数Zを考えると，の値が十分大きいとき，Zの分布は標準正規分布で近似できる。
これを用いて，例えば，さいころを400回投げたとき，１の目が100回以上出る確率などを
簡単に求めることができる。なお，「二項分布が正規分布で近似できることを知ること」
とは，二項分布で表わされる確率を正規分布を活用して求めることに重点を置くことを表
現したものである。
ウ
統計的な推測
(ｱ) 母集団と標本
統計調査には，調査の対象となるものをもれなく調べる全数調査もあるが，全数調査で
は多くの時間，費用及び労力がかかり，実用的でないこともある。そこで，標本を抽出し
て調査し，その結果から全体の性質を推測する標本調査が必要となる。中学校第３学年で
は，標本調査の必要性や意味とともに簡単な場合についての標本調査が扱われている。こ
こでは，中学校における学習を踏まえながら標本調査の考え方について理解を深める。
なお，「標本を用いて母集団の傾向を推測できることを知ること」とは，乱数表やコン
ピュータなどで作った擬似乱数などを用いて実際に標本を抽出するなどの具体的な活動を
5
行い，標本のもつ傾向から母集団のもつ傾向が推測できることの理解に重点を置くことを
表現したものである。
(ｲ) 統計的な推測の考え
母平均の推測を扱う。母平均，母標準偏差をもつ母集団から大きさの標本
X , X , …, X を無作為に抽出するとき，の値が十分に大きければ標本平均
の値はに近い。さらに，標本平均との差を
√
で割って，Z
X
X
X
X
√
X
X
X
X
と置くと，
Zは平均0，標準偏差1の分布に従う。そして，の値が十分大きければ，Zの分布は標準正
規分布N 0, 1 と近似的に等しい。このことに基づいて母平均の統計的な推測が可能になる。
例えば，大量に生産された製品の中から無作為に抽出された製品に関するあるデータに
ついて，そのデータの平均値と母標準偏差が与えられているとする。このとき，このデー
タの平均値を用いて信頼度95％で母平均を推測することなどに統計的な推測の考えは活用
できる。
母平均の信頼区間の意味を生徒に理解させるために，幾つもの標本を抽出し，標本平均
を計算することが考えられる。その際，コンピュータなどを積極的に活用させるようにす
る。このような学習を通して，統計的な推測の意味やよさを理解させ，活用する態度を育
てることが大切である。
6
中学校学習指導要領解説
数学統計関係部分抜粋
第３節
各学年の内容
[第１学年]
Ｄ資料の活用
(1) 目的に応じて資料を収集し，コンピュータを用いたりするなどして表やグラフに整理
し，代表値や資料の散らばりに着目してその資料の傾向を読み取ることができるように
する。
ア
ヒストグラムや代表値の必要性と意味を理解すること。
イ
ヒストグラムや代表値を用いて資料の傾向をとらえ説明すること。
〔用語・記号〕
平均値中央値最頻値相対度数範囲階級
［内容の取扱い］
(6) 内容の「D 資料の活用」の(1)に関連して，誤差や近似値，a×10 n の形の表現を取り扱
うものとする。
小学校算数科では，棒グラフ，折れ線グラフ，円グラフ及び帯グラフを学習し，度数分
布を表やグラフに表したり，資料の平均や散らばりを調べるなどの活動を通して，統計的
に考察したり表現したりしてきている。また，第５学年では測定値の平均について学習し，
第６学年では資料の平均を基に統計的に考察したり表現したりすることを学習している。
中学校数学科において第１学年では，これらの学習の上に立って，資料を収集，整理する
場合には，目的に応じた適切で能率的な資料の集め方や，合理的な処理の仕方が重要であ
ることを理解できるようにする。さらに，ヒストグラムや代表値などについて理解し，そ
れらを用いて資料の傾向をとらえ説明することを通して，資料の傾向を読み取ることがで
きるようにする。そのため，指導に当たっては，他の領域と同様，問題の設定とその解決，
解決方法の見直しなど，問題解決の過程を大切にする。
ヒストグラムの必要性と意味
日常生活においては，資料に基づいて判断しなければならないことが少なくない。
目的に応じて収集した資料については，人口統計における男女別のように質的な特徴に
着目したものと，過去１ヶ月間の正午の気温のように量的な特徴に着目したものがある。
いずれの資料についても，適切な判断を下すためには，目的に応じて統計的な処理を行
い，それを基にして資料の傾向を読み取る必要がある。
そのための統計的な処理の方法として，度数分布表やヒストグラムがある。ヒストグラ
ムを用いることで，資料の分布の様子をとらえることができる。変量をいくつかの階級に
分け，ある階級に属する度数を明らかにすることで，全体の形，左右の広がりの範囲，山
の頂上の位置，対称性など，直観的にとらえやすくなる。
1
ヒストグラムから資料の傾向を読み取る場合，階級の幅の設定の仕方に注意する必要が
ある。例えば，図１はある中学校の第１学年の男子生徒 100 人のハンドボール投げの記録
である。
16， 12， 27， 18， 18， 23， 22， 24， 15， 13
26， 12， 24， 24， 15， 10， 18， 15， 18， 18
18， 18， 15， 16， 21， 11， 12， 20， 26， 27
16， 20， 25， 21， 18， 18， 23， 16， 18， 24
16， 18， 14， 18， 14， 14， 18， 15， 14， 18
23， 23， 23， 14， 14， 21， 21， 27， 25， 23
20， 22， 27， 18， 18， 14， 18， 18， 27， 24
15， 25， 15， 24， 23， 21， 25， 25， 15， 16
24， 11， 25， 23， 13， 13， 20， 15， 20， 26
18， 20， 25， 22， 23， 23， 21， 22， 16， 22
図１（単位ｍ）
この資料から，階級の幅を３m に設定したヒストグラムと，２m に設定したヒストグラ
ムを作成すると，それぞれ図２と図３のようになる。
図２のヒストグラムからは，資料の分布の様子は一つの山の形に見えるが，図３では二
つの山の形に見える。したがって，ヒストグラムから「ハンドボールを 19m から 20m く
らい投げた生徒は多いか」を考える場合，図２と図３のどちらのヒストグラムを基にする
かで，生徒の判断は異なる可能性がある。
このように，同じ資料についても階級の幅が異なるとヒストグラムから読み取ることが
できる傾向が異なる場合がある。したがって，ヒストグラムから資料の傾向を読み取る場
合，その目的に応じて資料の傾向を的確に読み取ることができるように，階級の幅の異な
る複数のヒストグラムを作り検討することが必要である。ヒストグラムを手作業で作成す
る経験をすることは，その意味の理解を深める上で大切であるが，上述したような学習に
おいては，コンピュータなどを利用して，考える時間を確保することが大切である。
代表値の必要性と意味
資料の傾向を読み取る場合，度数分布表やヒストグラム以外に代表値を用いる場合があ
る。代表値には，分布の特徴をある観点に立って一つの数値で表す点に特徴があり，平均
2
値，中央値（メジアン），最頻値（モード）が用いられることが多い。一つの数値で表すこ
とで，資料の特徴を簡潔に表すことができ，複数の資料を比較することも容易になる。し
かしその反面，分布の形などの情報は失われているので代表値の用い方には留意する必要
がある。
平均値は，度数分布表に整理されていない資料でも容易に求められるが，代表値として
適切であるとはいえない場合がある。
例えば，分布が非対称であったり，極端にかけ離れた値があったりすると，平均値はそ
の値に強く影響を受けるので代表値としてふさわしくない場合がある。このようなとき，
中央値や最頻値を用いる。また，代表値として用いる目的から，平均値がふさわしくない
場合もある。例えば，ある靴メーカーが，来年，どのようなサイズの靴を多く製造するか
を決める場合，今年１年間に売れた靴のサイズの平均値を求め，その平均値のサイズの靴
を来年，最も多く製造するようなことはしない。この場合は，最も多く売り上げがあった
靴のサイズ，つまり最頻値を用いる方が望ましい。このように，代表値を用いる場合は，
資料の特徴や代表値を用いる目的を明らかにし，どのような代表値を用いるべきか判断す
る必要がある。
また，資料の分布の特徴を一つの数値で表す方法として，代表値以外に範囲がある。
資料の範囲とは，資料の最大値と最小値との差であり，資料の散らばりの程度を表す値
である。平均値が等しい二つの資料でも範囲が等しいとはいえない。また，範囲は極端に
かけ離れた値が一つでもあるときは，その影響を受けるので，取扱いや解釈の仕方には十
分注意する必要がある。
相対度数の必要性と意味
大きさの異なる二つ以上の資料の傾向を比較する場合，度数分布表の各階級の度数で単
純に比べることはできない。このような場合，相対度数を用いると，各階級の度数につい
て，総度数に対する割合が明らかになるので，大きさの異なる集団の階級ごとの比較が可
能になる。
相対度数は，全体（総度数）に対する部分（各階級の度数）の割合を示す値で，各階級
の頻度とみなされる。このことは，第２学年で学ぶ確率の基礎になることにも考慮して指
導することが大切である。
また，一つの資料について相対度数を用いることで，ある階級の全体に対する割合や，
ある階級以上(以下)の全体に占める割合が分かりやすくなる。
資料の傾向をとらえ説明すること
ヒストグラムや代表値を用いて，資料の傾向をとらえ説明することができるようにする。
ヒストグラムや代表値は，それ自体を作ったり求めたりすることが目的なのではなく，
それらを用いて資料の傾向を読み取ることができてこそ意味がある。指導に当たっては，
日常生活を題材とした問題などを取り上げ，それを解決するため必要な資料を収集し，コ
ンピュータなどを利用してヒストグラムを作成したり代表値を求めたりして資料の傾向を
とらえ，その結果を基に説明するという一連の活動を経験できるようにすることが重要で
3
ある。
例えば，二つの学級の間でそれぞれ代表を決めてリレーをするとき，代表の人数を変え
ることによって勝敗にどう影響するかを予測することを考える。資料としては，体育の授
業等の記録を用いることもできるだろうし，新たに測定し直して収集することもできるで
あろう。これらの資料から度数分布表やヒストグラムを作成するなどして，
「それぞれの学
級から 10 人の代表選手を選抜してリレーをしたら，どちらの学級が勝つか」や「代表選
手の人数を 10 人ではなく 20 人にしたら，どちらの学級が勝つか」などを分布の状況など
を基にして予測する。大切なことは，予測が当たるかどうかということより，何を根拠に
して資料の傾向をとらえ説明しているのかを明らかにすることである。そのために，説明
し伝え合う活動を通して，同じ資料から様々な解釈ができることを知り，お互いの説明や
その根拠とする事柄について理解を深めることも考えられる。
資料の傾向をとらえる場合，日常生活では，簡潔さの観点から代表値のみを用いる場合
が多い。しかし，そのことによって失われる情報もあるので，その点を踏まえて資料の傾
向をとらえられるようにする必要がある。
コンピュータなどの利用
大量の資料を整理する場合や大きな数，端数のある数を扱う場合などには，コンピュー
タなどを利用して作業の効率化を図り，処理した結果を基に資料の傾向を読み取ることに
重点を置いて指導できるようにする。ただし，ヒストグラムや代表値の必要性と意味を理
解することの指導においては，手作業でこれらを作成したり求めたりすることが重要な意
味をもつことに配慮することも必要である。
なお，指導に当たっては，生徒一人一人がコンピュータなどを操作したり，一斉指導に
おける提示用の機材として用いたりするなど，その有効な利用方法を工夫することが必要
である。また，情報通信ネットワーク等を活用して資料を収集する場合は，二次的な資料
が多くなると考えられるので，誰がどのようにして調べた結果なのかなど，その信頼性に
注意しなければならない。
誤差や近似値
小学校算数科においては，概数について理解し，目的に応じて用いることを学習してい
る。また，十進位取り記数法についても学習している。ここでは，誤差や近似値，数を
a ×10 n の形で表すことを取り扱う。
測定には誤差が伴う。例えば，最小目盛りが㎜で表されている身長測定器を用いて資料
を収集する際，ある生徒の身長の測定値が 157.4 ㎝ということは,157.35cm 以上 157.45cm
未満であることを意味する。
すなわち，この生徒の身長を x ㎝とすると，
157.35≦ x ＜157.45
として表される。さらに，これを数直線上に表すなどして，測定値には誤差があり，近似
値として 157.4cm を用いることなど，近似値と誤差の意味について実感を伴って理解でき
るようにする。
4
また，数の表し方については，資料の収集に際し，測定値として 2300ｍが得られたとき，
この値が十の位の数字まで信頼できるならば，一の位の０は位を示しているだけと考え，
これを 2300ｍではなく 2.30×10³ｍのように表す。このことによって，どの数字までが有
効数字であるかを明らかにすることができ，近似値について誤差の見積りもできる。ここ
での学習は，このような数の表し方について知ることがねらいである。
〔数学的活動〕
(1)「Ａ数と式」，「Ｂ図形」，「Ｃ関数」及び「Ｄ資料の活用」の学習やそれらを相互に関
連付けた学習において，次のような数学的活動に取り組む機会を設けるものとする。
ア
既習の数学を基にして，数や図形の性質などを見いだす活動
イ
日常生活で数学を利用する活動
ウ
数学的な表現を用いて，自分なりに説明し伝え合う活動
第１学年における「日常生活で数学を利用する活動」として，例えば次のような活動が
考えられる。ここでは，生徒が数学的活動に主体的に取り組むことができるよう，その前
提となる指導についても触れる。
○ヒストグラムや代表値などを利用して，集団における自分の位置を判断する活動
この活動は，第１学年「Ｄ資料の活用」の(1)のイの指導における数学的活動であり，
例えば「自分の通学時間は，同じ中学校の生徒の中で長い方だといえるか」について，資
料を収集し，ヒストグラムや代表値などを基にして判断することをねらいとする。また，
その過程において，ヒストグラムや代表値などを用いて資料の傾向をとらえることのよさ
を知り，資料を整理して活用する際に生かせるようにする。
そのために，不確定な事象の考察におけるヒストグラムや代表値の必要性と意味につい
て活動を通して指導しておく。
こうした学習を基にして，同じ中学校の生徒の通学時間を調査し，コンピュータなどを
利用してヒストグラムや代表値を求め，それに基づいて判断する活動に取り組む機会を設
ける。その結果，例えば平均値が 13 分で，自分の通学時間も 13 分であることから，
「自分
の通学時間は平均値に近いので，自分と同じくらいの通学時間の人が多くいる。だから通
学時間が長いとはいえない」と判断してよいかどうか考える。集団の中における位置は，
分布の状況に影響されるので，平均値だけで判断することは適切でない場合がある。特に
ヒストグラムが右の図のようになる場合，「自分と同じくらいの通学時間の人が多く
いる」という判断は正しいとはいえない。平均値だけで判断している生徒には，平均値の
特徴を振り返り，他の代表値と比較したり，全体の分布の状況を基に考えたりするように
促す。
通学時間が長い方かどうかについては，中央値を基準にして判断したり，相対度数を用
いて「自分は通学時間が長い生徒の 10％に入るので，通学時間は長い方だ」などと判断し
たりすることが考えられる。
5
[第２学年]
Ｄ資料の活用
(1) 不確定な事象についての観察や実験などの活動を通して，確率について理解
し，それを用いて考察し表現することができるようにする。
ア確率の必要性と意味を理解し，簡単な場合について確率を求めること。
イ確率を用いて不確定な事象をとらえ説明すること。
小学校算数科においては，第６学年で，具体的な事柄について起こり得る場合を順序よ
く整理して調べることを学習している。
中学校第１学年においては，相対度数は，全体（総度数）に対する部分（各階級の度数）
の割合を示す値で，各階級の頻度とみなされることを学習している。
中学校数学科において第２学年では，これらの学習の上に立って，これまで確定した事
象を表すのに用いられてきた数が，さいころの目の出方など不確定な事象の起こりやすさ
の程度を表すためにも用いられることを知り，確率を用いて不確定な事象をとらえ説明で
きるようにする。
確率の必要性と意味
数学の授業では，確定した事象を取り扱うことが多い。しかし実際には，日常生活や社
会における不確定な事象も数学の考察の対象となり，その起こりやすさの程度を数値で表
現し把握するために確率が必要になる。
さいころを振る場合，どの目が出るかを予言することはできない。しかし，多数回の試
行の結果をそれぞれの目について整理してみると，全体の試行回数に対するある目の出る
回数の割合には，ある安定した値をとるという傾向が見られる。このような「大数の法則」
を基にして，事象の起こりやすさの程度を表すのに確率が用いられることを理解する。
例えば，さいころを振る回数 n を大きくし，１の目が出る回数 r を求めて，r/n の値を
計算してみる。n を次第に大きくしていくと，それに伴って r も大きくなるが，r/n の値
は次第にある値に近づいていく。この r/n が近づいていく一定の値を，さいころを振って
１の目が出る確率という。
ところでこの場合，さいころを正しく振るならば，どの目が出ることも同様に期待され
るから，多数回の試行を行えば，それぞれの目が出る回数の割合は，どの目についても 1/6
に安定すると考えられる。実際，多数回の試行を行ったとき，上述した r/n が近づく一定
の値とは，1/6 に他ならない。
このように，起こり得るどの場合も同様に期待されるとき，つまり「同様に確からしい」
ときには，起こり得る場合の数を数えることによって確率を求めることができる。
確率を求めるには，実際に多数回の試行を行うよりも，場合の数に基づいて考えた方が，
6
時間も労力も節約できる。しかしその反面，不確定な事象について何が分かるのかという
確率本来の意味は忘れられがちである。例えば，「さいころを振って１の目が出る確率が
1/6 である」ことから，
「さいころを６回投げると，そのうち１回は必ず１の目が出る」と
考えてしまうのは，確率の意味の理解が不十分であることが原因であると考えられる。
指導に当たっては，実際に多数回の試行を行うなどの経験を通して，ある事柄の起こる
割合が，一定の値に近づくことを実感を伴って理解できるようにする。また，場合の数に
基づいて確率を求めた際には，それが正しいかどうかだけでなく，そのことによってある
事柄の起こりやすさについてどのようなことが分かったのかを実験や調査などを通して確
認することも大切である。
簡単な場合について確率を求めること
起こり得る場合の数を基にして確率を求めるには，同様に確からしいと考えられる起こ
り得るすべての場合を正しく求める必要がある。ここでは小学校第６学年における指導を
踏まえ，起こり得る場合を順序よく整理し正しく数え上げるようにする。その際，樹形図
や二次元の表などを利用して，起こり得るすべての場合を簡単に求めることができる程度
の事象を取り上げる。
簡単な場合の例として，２個の硬貨を投げたときの表・裏の出方が考えられる。２個の
硬貨の表・裏の出方のすべての場合は（表，表）
（表，裏）
（裏，表）
（裏，裏）の４通りで
あり，それぞれの場合の起こることは同様に確からしいと考えられる。このうち，２個と
も表になる場合は，同様に確からしい４通りの場合のうちの一つであるから，その確率は
1/4 になる。
ところで，この例で「確率が 1/4 である」とは，先にも述べたように２個の硬貨を４回
投げると，そのうちのｌ回は必ず二つとも表が出るという確定的なことを意味するもので
はないことに注意する必要がある。
また，上の事例では，表・裏の出方のすべての場合が（表，表）（表，裏）（裏，裏）の
３通りであると考え，２個とも表になる確率は 1/3 であると考える誤りが起こりやすい。
この場合，起こり得る場合を落ちや重なりがないように数えられるようにするとともに，
実際に多数回の試行を行ってその結果と比較し，実感を伴って理解できるようにする。
不確定な事象をとらえ説明すること
我々は，確率を用いることで，不確定な事象をとらえ説明することができる。不確定な
事象をとらえ説明するための根拠として有効なのが確率である。
指導に当たっては，確率を求めることだけを目的とするのではなく，不確定な事象に関
する問題解決を重視し，生徒が確率を根拠として説明することを大切にする。その際，日
常生活や社会における事象を取り上げ，確率を基にして説明できる事柄を明らかにするこ
とが必要である。
例えば，くじ引きをするとき，何番目に引くかで有利不利が生じないかどうか，つまり
公平なくじ引きであるかどうかを考えて，その理由を確率に基づいて説明することが考え
られる。この場合，くじ引きのルールを明確にすることの重要性や，ルールを変更すると
判断も変わることがあることに気付くように指導することも大切である。
確率を用いて不確定な事象をとらえ説明することを通して，「必ず～になる」とは言い
7
切れない事柄についても，数を用いて考えたり判断したりすることができることを理解し，
数学と実生活や社会との関係を実感できるようにする。その際，確率の必要性と意味の理
解を大切にして指導する。
〔数学的活動〕
(1)「Ａ数と式」，「Ｂ図形」，「Ｃ関数」及び「Ｄ資料の活用」の学習やそれらを相互に関
連付けた学習において，次のような数学的活動に取り組む機会を設けるものとする。
ア
既習の数学を基にして，数や図形の性質などを見いだし，発展させる活動
イ
日常生活や社会で数学を利用する活動
ウ
数学的な表現を用いて，根拠を明らかにし筋道立てて説明し伝え合う活動
○くじ引きが公平であるかどうかを，確率を用いて説明する活動
この活動は，第２学年「Ｄ資料の活用」の(1)のイの指導における数学的活動であり，
例えば「５本のうち２本の当たりくじが入っているくじを２人の生徒が引くとき，先に引
くか後で引くかによって当たりやすさに違いがあるか」について，確率を用いて説明する
ことをねらいとする。また，その過程において，求めた確率に基づいてどのような判断が
できるのかを知り，不確定な事象の考察に生かせるようにする。
そのために，多数回試行を行ったり，起こり得る場合の数を求めたりして簡単な場合に
ついて確率を求めることを活動を通して指導しておく。
こうした学習を基にして，くじ引きが公平であるかどうか説明する活動に取り組む機会
を設ける。まず，実際に何回かくじ引きを行うなどして「先に引いた方が有利」，「後から
引いた方が有利」，「どちらも同じ」など予想を立てる。次に，その予想が正しいことを樹
形図などを作って起こり得る場合の数を求め，先に引いた場合と後から引いた場合に当た
る確率をそれぞれ計算する。この場合，どちらの確率も等しいことを当たりやすさに違い
がないと解釈し，くじ引きが公平であることを説明する。確率を求めても説明することが
できない生徒には，確率の意味を見直すように促し，多数回試行との関係を確認する。
8
[第３学年]
Ｄ資料の活用
(1) コンピュータを用いたりするなどして，母集団から標本を取り出し，標本の傾向を調
べることで，母集団の傾向が読み取れることを理解できるようにする。
ア
標本調査の必要性と意味を理解すること。
イ
簡単な場合について標本調査を行い，母集団の傾向をとらえ説明すること。
〔用語・記号〕
全数調査
中学校数学科において第１学年では，目的に応じて資料を収集して整理し，ヒストグラ
ムや代表値を用いて資料の傾向を読み取ることを学習している。また，第２学年では，多
数回の試行を行って資料を集めることにより，不確定な事象の起こりやすさに一定の傾向
があることを調べる活動を通して，確率について学習している。
第３学年では，これらの学習の上に立って，母集団の一部分を標本として抽出する方法
や，標本の傾向を調べることで，母集団の傾向が読み取れることを理解できるようにする
ことがねらいである。
標本調査の必要性と意味
第１学年においては，すべての資料がそろえられることを前提に，ヒストグラムや代表
値を用いて資料の傾向を読み取ることを学習してきた。しかし，日常生活や社会において
は，様々な理由から，収集できる資料が全体の一部分に過ぎない場合が少なくない。例え
ば，社会の動向を調査する世論調査のためにすべての成人から回答を得ることは，時間的，
経済的に考えて現実的ではない。また，食品の安全性をチェックするために，製造した商
品をすべて開封して調べることはしない。このような場合，一部の資料を基にして，全体
についてどのようなことがどの程度まで分かるのかを考えることが必要になる。このよう
な考え方から生み出されたのが標本調査であり，全数調査と比較するなどして，標本調査
の必要性と意味の理解を深めるようにする。
簡単な場合について標本調査を行うこと
ここでは，母集団から無作為抽出により標本を抽出することと，標本から母集団の傾向
を推定することについて学習する。これらを理解するためには，実際に標本調査を行う必
要がある。
標本調査であるから，ある程度大きな母集団を対象にすることは当然であるが，ここで
は生徒が標本を取り出すことが困難とならないように注意する。また，標本調査による推
定の結果を評価するために，推定しようとする母集団の性質が求められるか，知られてい
ることも必要である。
母集団から標本を抽出する場合，注意しなければならないことは，標本が母集団の特徴
を的確に反映するように偏りなく抽出することである。別の言い方をすれば，母集団のど
の資料が取り出される確率も等しくなるように抽出すること，すなわち無作為抽出を行う
ことが必要である。ここでは，乱数を利用することにより無作為抽出が可能になることを
理解できるようにする。
例えば，ある英和辞典に掲載されている見出しの単語の数を標本調査で調べることを考
9
える。この英和辞典が 980 ページであるとすると，乱数さいやコンピュータなどを利用し
て，001 から 980 までの乱数を発生させ，ある程度の数のページを無作為に抽出する。そ
して，抽出したそれぞれのページに掲載されている単語の数を調べ，その平均値から，こ
の英和辞典に掲載されている見出しの単語数を推定する。英和辞典に掲載されている見出
しの単語の数は，その英和辞典に示されているのが一般的であるから，推定した収録単語
数と実際の収録単語数を比較することができる。無作為抽出で取り出すページ数を変えて
何回か標本調査をしてその結果を比較したり，最初の 10 ページを抽出するというように無
作為抽出をしない場合と比較したりして，標本調査についての理解を深める。このような
経験を基にして，無作為に抽出された標本から母集団の傾向を推定すれば，その結果が大
きくはずれる危険性が少ないことを実感できるようにする。
母集団の傾向をとらえ説明すること
標本調査により母集団の傾向をとらえ説明することを通して，標本調査についての理解
を深める。指導に当たっては，日常生活や社会における事象に関する問題解決を重視し，
生徒の活動を中心に展開されるようにする。
標本調査では，母集団についての確定的な判断は困難である。実際に標本調査を活用す
る場合には，この点を補完するため，予測や判断に誤りが生じる可能性を定量的に評価す
るのが一般的である。しかし，ここでは標本調査の学習の初期の段階であることに留意し，
実験などを通して，標本調査では予測や判断に誤りが生じる可能性があることを経験的に
理解できるようにする。
生徒が導いた予測や判断については，生徒が何を根拠にしてそのことを説明したのかを
重視し，調査の方法や結論が適切であるかどうかについて，伝え合う活動などを通して共
通理解を図るようにする。
例えば，「自分の中学校の３年生の生徒 200 人の，一日の睡眠時間は何時間くらいだろ
うか」を考える場合，次のような活動が考えられる。
① 「一日の睡眠時間」の意味を明らかにして（昨日の睡眠時間か，過去１週間の平均睡眠
時間かなど）質問紙を作成する。
② 標本となる生徒を抽出し調査を実施する。
③ 調査の結果を整理する。
④ 調査結果を基にして，全生徒の睡眠時間を予測して説明する。
この場合，④で説明することには，予測だけでなく，①から③のような母集団の傾向をと
らえる過程が含まれている。また，これらを基に，標本の抽出の仕方や予測の適切さにつ
いて，学級全体で話し合う。
このように，標本調査を行い，母集団の傾向をとらえ説明することを通して，生徒が標
本調査の結果や，それに基づく説明を正しく解釈できるようにする。例えば，調査する地
域や集団が偏っていないかや，アンケート調査の質問が誘導的でないかなどにも目を向け
られるようにする。母集団の傾向をとらえ説明することを通して，標本調査を活用できる
ようにし，不確定な事象に関する情報に惑わされないようにすることが大切である。
コンピュータなどの利用
コンピュータなどを利用する場面としては，第１学年と同様に大量の資料を整理する場
10
合や，大きな数，端数のある数を扱う場合の作業の効率化が考えられる。それ以外にも，
母集団から標本を抽出する際に必要な乱数を簡単に数多く得るために利用することができ
る。この際，乱数さいなども利用すれば，母集団のどの資料も恣意性が無く選ばれること
を直観的に理解しやすくなる。また，インターネットなどの情報通信ネットワークを利用
して資料を収集したり，様々な標本調査とその結果について調べたりすることもできる。
この場合，情報の信頼性等について事前に検討しておくことが必要である。また，生徒自
身が予測や判断の前提として，資料の信頼性に目を向けられるようにすることも大切であ
る。
11
小学校学習指導要領解説
算数統計関係部分抜粋
第３章
各学年の内容
２第２学年の内容
〔Ｄ数量関係〕
Ｄ(3) 簡単な表やグラフ
(3) 身の回りにある数量を分類整理し，簡単な表やグラフを用いて表したり読み取ったり
することができるようにする。
身の回りにある数量を分類整理して，それを簡単な表やグラフを用いて表すことができ
るようにする。ここで，簡単な表とは，次のような，観点が一つの表のことである。
さいている花の数（こ）
さいている花の数
へちま
かぼちゃ
きゅうり
なす
４
３
５
２
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
きゅうり
かぼちゃ
へちま
なす
また，簡単なグラフとは，○などを並べて大きさを表したグラフのことである。
このような表やグラフから，数が最も多いなどの特徴を読み取ったりすることができるよ
うにする。この際，決まった形式の表やグラフをかくことの技能的な面を強調するよりも，
特徴を読み取ったりすることを重視する。分類整理して数えたものを表やグラフを用いて
表すことにより，それぞれの大きさが比べやすくなり，違いを読み取りやすくなるのであ
る。
1
３第３学年の内容
〔第 3 学年〕
〔Ｄ数量関係〕
Ｄ(3) 表と棒グラフ
(3) 資料を分類整理し，表やグラフを用いて分かりやすく表したり読み取ったりすること
ができるようにする。
ア
棒グラフの読み方やかき方について知ること。
第２学年では，分類整理したことを表を用いて表したり，絵や図などを用いた簡単なグ
ラフに表したりすることを指導している。第３学年では，これらの指導を基にして，身の
回りにある事象について，目的に応じて観点を決め，資料を分類整理して，これを表やグ
ラフを用いて表したり，読み取ったりすることができるようにすることを主なねらいとし
ている。
また，簡単な２次元の表を取り扱い，日時や場所などの二つの観点から表を見ることが
できるようにする。表については，分類の仕方や，表し方に様々な種類があるので，それ
ぞれの特色について理解したり，目的に応じて用いたりできるようにすることが大切であ
る。
また，表と関連付けながら，児童自身が見いだしたことを表現することを通して，資料
の中の数量の大きさの違いを一目でとらえることができるという棒グラフの特徴について
も気付くことができるようにする。
ア
棒グラフの読み方やかき方
第２学年までのグラフについての指導を基に，第３学年では，棒グラフについて，数量
の大小や差などを読むことに加えて，最大値や最小値をとらえたり，項目間の関係，集団
のもつ全体的な特徴などを読み取ったりすることができるようにすることをねらいとして
いる。
指導に当たっては，児童の分かりやすく表そうとする工夫を生かしながら，項目の取り
方や並べ方，表題の付け方などについて正しく指導する必要がある。また，目盛りの付け
方，読み方については，ものさしを用いた測定のときの手続きや数直線の目盛りの付け方
を生かす指導とも関連して，最小目盛りが１，10，100 に当たるものを中心とし，目的に
よっては最小目盛りが２，５などに当たるものについても，読んだりかいたりできるよう
にする。
その際，同じグラフを異なる目盛りの付け方で表した複数のグラフを比較したり，何種類
かのグラフ用紙の中から適切な用紙を選択したりする活動を通して，グラフ用紙の大きさ
などに応じて目盛りの付け方を工夫し，目的にあった目盛りを用いることができるように
する
2
４第４学年の内容
〔Ｄ数量関係〕
〔第 4 学年〕
Ｄ(1) 伴って変わる二つの数量
(1) 伴って変わる二つの数量の関係を表したり調べたりすることができるようにする。
ア
変化の様子を折れ線グラフを用いて表したり，変化の特徴を読み取ったりするこ
と。
第４学年では，具体的な場面において，伴って変わる二つの数量があることに着目し，
それらの関係を表やグラフを用いて表し，関係を明らかにする能力を伸ばしていくことを
ねらいとしている。
ア
変化の様子と折れ線グラフ
第４学年では，表を作り，折れ線グラフを用いて関数的な関係を表したり，折れ線グラ
フから関数的な関係にある二つの数量の変化の特徴を読み取ったりすることができるよう
にする。これらの指導により，関数の考えを伸ばしていくようにする。
変化の様子を折れ線グラフを用いて表すとは，関数的な関係にある二つの数量について，
一方をグラフの横軸に，もう一方をグラフの縦軸に取って，伴って変わる数量の組をグラ
フ上に点で示し，その点と点をつなぐことによって，部分の変化や全体の変化の様子を視
覚的に示すことである。
また，折れ線グラフから変化の特徴を読み取るとは，一方の数量が増加するときの他方
の数量の増減の様子を視覚的にとらえ，二つの変化する数量の間にある関係を明確にする
ことである。そのためには，各部分の折れ線の傾きから数量の増減の様子をとらえること
が必要となる。
Ｄ(4) 資料の分類整理
(4) 目的に応じて資料を集めて分類整理し，表やグラフを用いて分かりやすく表したり，
特徴を調べたりすることができるようにする。
ア
資料を二つの観点から分類整理して特徴を調べること。
イ
折れ線グラフの読み方やかき方について知ること。
第４学年では，目的に応じて資料を集め，その資料を分類整理し，特徴や傾向をとらえ
る能力を伸ばすことをねらいとしている。
ア
二つの観点から分類整理すること
第４学年では，資料を二つの観点から分類整理して表を用いて表すことができるように
する。
資料を集めて分類整理するに当たって，目的に応じ，ある観点から起こり得る場合を分
類して，項目を決めることが必要である。例えば，Ａ，Ｂの二つの観点から資料を調べる
とき，Ａから見て資料は「性質ａをもっている」と「性質ａをもっていない」の場合が考
えられ，またＢから見て資料は「性質ｂをもっている」と「性質ｂをもっていない」の場
合が考えられる。そのとき，これらを組み合わせると，資料についてＡ，Ｂ二つの観点か
ら見て，四つの場合が考えられる。
3
このように，二つの観点から，物事を分類整理したり，論理的に起こり得る場合を調べ
たり，落ちや重なりがないように考えたりすることが大切である。
なお，第４学年の「内容の取扱い」の(7)では，「資料を調べるときに，落ちや重なり
がないようにすることを取り扱うものとする」と示している。ここで取り扱う落ちや重な
りがないようにすることについては，資料の読み飛ばしのないように順序よく数えること，
あらかじめ起こり得る場合を整理すること，重複して数えることがないように数えた資料
に色や印を付けることなど，数え間違いをなくす方法を具体的に指導する必要がある。そ
の際，正しい結果が得られるように間違いをなくしていこうとする態度を養うよう配慮す
る必要がある。
イ
折れ線グラフの読み方とかき方
第４学年では，Ｄ(1)で述べたように関数的な関係を表すことに関しても折れ線グラフ
を指導するが，ここでは，資料を目的に応じて折れ線グラフを用いて表したり，それを読
み取ったり調べたりすることをねらいとしている。
指導に当たっては，折れ線グラフについて，紙面の大きさや目的に応じて，適切な一目
盛りの大きさやグラフ全体の大きさを決めることができるようにする。その際，同じグラ
フであっても，折れ線グラフの縦軸の幅を変えることなどによって，見え方が異なること
に気付かせるようにする。
4
５第５学年の内容
〔Ｄ数量関係〕
Ｄ(3 ) 百分率
(3) 百分率について理解できるようにする。
資料を数量的に考察する場合には，数量の大きさの間の関係を差でとらえる場合と割合
でとらえる場合がある。資料の全体と部分，部分と部分の関係を考察する場合には，割合
を用いて表す場合が多い。
第４学年までに，基準にする大きさを１として，それに対する割合を小数で表すことを
経験してきている。第５学年では，百分率について理解し用いることができるようにする
ことをねらいとしている。
割合をなるべく整数で表すために，基準とする量の大きさを 100 として，それに対する
割合で表す方法が，百分率（パーセント）である。したがって，割合を整数で表すと分か
りやすいというよさに気付くようにすることが大切である。
日常の生活では，百分率は，「欠席率が 15％だった。」とか「定価の 20％引きで買った。」
というような確定的な事象の関係を表すことに用いられるほかに，天気予報などで「明日
の降水確率は 20％である。」というように不確定な事象に関しても用い
られる。日常の生活の中から百分率が用いられる事象を探すなどの活動を通して，算数が
生活の様々な場で用いられていることに気付くことができるよう配慮する必要がある。
なお，第５学年の「内容の取扱い」の(4)では，「歩合の表し方について触れるものとす
る」と示している。ここで取り扱う歩合の意味については，百分率の場合と関連付け，基
準とする大きさを 10 とみて，それに対する割合を「割」で表していること
などに触れるようにする。また，歩合も，百分率と同様，日常生活の中で用いられている
割合の便利な表現であることに気付くことができるよう配慮する。
Ｄ(4 ) 円グラフや帯グラフ
(4) 目的に応じて資料を集めて分類整理し，円グラフや帯グラフを用いて表したり，特徴
を調べたりすることができるようにする。
第５学年では，資料について，全体と部分，部分と部分の間の関係を調べると特徴をと
らえやすい事象があることに気付かせ，資料を割合を示す円グラフや帯グラフに表したり，
それを読み取ったりすることを主なねらいとしている。
円グラフや帯グラフの指導については，百分率と関連させて，そのかき方とともに，そ
れを読み取ることも取り扱う。その際，グラフという表現の特徴を生かして，統計的な見
方を育成していくようにすることが大切である。なお，円グラフについては，10 等分又は
100 等分の目盛りの入った用紙を用いる。
5
６第６学年の内容
〔Ｄ数量関係〕
Ｄ(4 ) 資料の考察
(4) 資料の平均や散らばりを調べ，統計的に考察したり表現したりすることができるよう
にする。
ア
資料の平均について知ること。
イ
度数分布を表す表やグラフについて知ること。
第６学年では，資料の代表値としての平均や度数分布の表，柱状グラフを取り扱うなど，
統計的な考察をしたり表現をしたりする能力を伸ばすことをねらいとしている。
ア
資料の平均
第５学年の「Ｂ量と測定」の領域の(3 )では，測定値の平均について指導してきている。
この指導の上に，第６学年では，資料の代表値としての平均について知り，平均について
の理解を深めることをねらいとしている。
資料がある範囲にわたって分布しているときに，その傾向をとらえるために，資料を代
表する値として平均がよく用いられる。第６学年では，幾つかの数量があったときそれら
を同じ大きさの数量にならすという意味を踏まえながら，集団の特徴を表す値として平均
が用いられることに触れるようにする。
その際，資料の傾向を表すものとして，資料の散らばりについても指導する。平均が同
じであっても，値が密集しているか，分散しているかによって，資料の特徴が異なること
などについて理解できるようにすることが必要である。そのためには，数直線上に値を点
で示すなど，散らばりの様子を表す工夫を行う活動を取り入れることが大切である。
そして，平均を用いて，身の回りにある事柄について統計的な考察をしたり表現したり
する能力を伸ばすよう配慮することが大切である。
イ
度数分布を表す表やグラフ
資料がある範囲にわたって分布しているときに，資料全体の分布の様子や特徴を分かり
やすくするためには，度数分布表や柱状グラフ(ヒストグラム）に表すとよいことを知らせ，
それらをかいたり読み取ったりできるようにする。
度数分布表は，分布の様子を数量的にとらえやすくするために，数量を幾つかの区間（階
級という）に分けて，各区間に，それに入る度数を対応させた表である。
柱状グラフについては，各階級の幅を横とし，度数を縦とする長方形をかいたものとい
う程度の理解でよい。
統計的な処理で大切なことの一つに，ねらいに合った資料の整理がある。階級の幅をど
のようにとるかなど，分類，整理をうまく行うかどうかによって，資料の傾向や特徴がつ
かみやすくなったり，つかみにくくなったりすることがあるので，このことについても配
慮する必要がある。
6

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