練習問題 8 問 1. 次の値を求めよ。 1. 2. 10 P3 3. 20 C2 4. 5. 6. 20 C3 20 P2 20 C17 20 C18 = 10 × 9 × 8 = 720 20 P2 = 20 × 19 = 380 20 × 19 = 190 20 C2 = 2! 20 × 19 × 18 = 1140 20 C3 = 3! 20 C17 = 20 C3 = 1140 20 C18 = 20 C2 = 190 10 P3 問 2. 男子 9 人、女子 8 人のクラスがある。 (1) クラスから 4 人の委員の選び方は何通りあるか。クラス全体の人数は 17 人である。17 人から 4 人を選ぶ方法の数は、 17 C4 = 17 × 16 × 15 × 14 = 2380 通り 4×3×2×1 (2) 4 人の委員すべてが男子である選び方は何通りあるか。 9 人から 4 人を選ぶ方法の数は、 9 C4 = 9×8×7×6 = 126 通り 4×3×2×1 (3) 少なくとも 1 人の女子を含んだ 4 人の委員の選び方は何通りあるか。 17 人から 4 人を選ぶ方法の数から、4 人とも男子の場合を引いてやればよいので、 17 C4 − 9 C4 = 2380 − 126 = 2254 通り (4) 男子 3 人、女子 1 人の委員の選び方は何通りあるか。 9 C3 × 8 C1 = 672 通り (5) 男子 2 人、女子 2 人の委員の選び方は何通りあるか。 9 C2 × 8 C2 = 1008 通り (6) 男子 1 人、女子 3 人の委員の選び方は何通りあるか。 9 C1 × 8 C3 = 504 通り (7) 4 人の委員がすべて女子の選び方は何通りあるか。 8 C4 = 70 通り【参考】上記で求めた値の間には、次の関係が成り立っている。 2380 = 126 + 672 + 1008 + 504 + 70 これを式で表すと、 17 C4 = 9 C4 · 8 C0 + 9 C3 · 8 C1 + 9 C2 · 8 C2 + 9 C1 · 8 C3 + 9 C0 · 8 C4 これは、 (x + 1)17 = (x + 1)9 · (x + 1)8 (1) と書いて、両辺を x で展開して得られる係数の関係だからである。 (x + 1)17 = 17 ∑ 17 Ci x i (x + 1)9 = , i=0 9 ∑ j 9 Cj x , (x + 1)8 = j=0 9 ∑ l=0 (1) 式の xi の係数を比較すると、 17 Ci = ∑ j+l=i 9 Cj · 8 Cl = 9 ∑ 9 Cj · 8 Ci−j j=0 を得る。問 3. ニュートンの公式 n Cr · r Ck = n Ck · n−k Cr−k が成り立つことを証明せよ。 n Cr n! r! · r!(n − r)! k!(r − k)! (n − k)! n! · = k!(n − k)! (r − k)! (n − k) − (r − k))! = n Ck · n−k Cr−k · r Ck = l 8 Cl x