情報基礎 III レポート課題提出期限 2015 年 01 月 06 日（講義中，または，工学部 3 号館 W107 号室に提出）問題 1 以下のデータ (x k , y k ), k = 1, 2, . . . , 5 が与えられたとする． k 1 2 3 4 5 xk −2 −1 0 1 2 yk 5 4 1 −2 −4 (1) データの系列 x k , y k それぞれに対する平均，分散，標準偏差を求めよ．ここで，分散の定義は 2 つあるが，どちらを用いても良い． (2) データの系列 x k , y k 間の共分散を求めよ．また，分散共分散行列を求めよ．問題 2 検定についての以下の文章に含まれる小問 1∼小問 3 に答えよ．すごろくで使われているサイコロが本当に歪みがないものなのかどうか，つまり，1 から 6 までの各面が出る確率が全て 1/6 であるかどうかを検定で確かめたいとする．検定では最初に帰無仮説 H0 と対立仮説 H1 を定める．小問 1 この場合，帰無仮説 H0 と対立仮説 H1 をどのように定めれば良いか．帰無仮説と対立仮説を適切に定めたとして，1 から 6 までの各面が出る確率が全て 1/6 であると仮定しよう．そうすれば，このサイコロを 120 回振って，k の目が出る回数が Tk 回（1 ≤ k ≤ 6）とすると，確率変数 6 (T − 20)2 ∑ k X= 20 k=1 は自由度 5 の χ2 分布に近似的に従うことが知られており，検定統計量としてこれを採用しよう．また，自由度 5 の χ2 分布の上側 5% 点は約 11.1 である．小問 2 危険率 5% で検定を行う場合，危険域をどのように取れば良いか．さて，今，実際にこのサイコロを 120 回振って，1 の目が 25 回，2 の目が 17 回，3 の目が 15 回，4 の目が 23 回，5 の目が 24 回，6 の目が 16 回出たとする．小問 3 この検定の危険率 5% で検定を行うと結果はどうなるか，何が結論付けられるかを述べよ．問題 3 未知関数 y = f (x) は，未知パラメータ θ0 , θ1 , θ2 を用いて f (x) = θ2 x 2 + θ1 x + θ0 と書けるものとする．また，以下のデータ (x k , y k ), k = 1, 2, . . . , 5 が与えられたとする． k 1 2 3 4 5 xk −2 −1 0 1 2 yk 5 4 1 −2 −4 (1) 最小二乗法によって，この未知関数を推定するためには，どのような値を最小化する問題に帰着されるか． (2) (1) で得られた最小化問題を解くには，各パラメータで偏微分して 0 になるようなパラメータを見つければ良い．これは，結局正規方程式と呼ばれる連立一次方程式を解くことに帰着される．この場合の正規方程式を導出せよ． (3) 最小二乗法を用いて未知関数 y = f (x) を推定せよ．裏へ続く問題 4 以下は Excel で回帰分析を行った結果である．この結果を見て，回帰モデルが正しくない，改善の余地がある，などの問題点がありそうであると判断できる根拠を述べよ．問題 5 主成分分析について，以下の問に答えよ． (1) 主成分分析とはどのようなものか，簡潔に説明せよ．（数十字程度で十分であるが，長い分には幾ら長くても構わない） (2) 以下は，データ行列として，各要素が独立な標準正規分布に従う乱数である 10000 行 10 列を用いて，R 言語にて主成分分析を行った結果である．通常の主成分分析で使われるデータと，乱数で作られたデータとの差異を見い出し，その理由を説明せよ．また，乱数行列に対して主成分分析を行うことはナンセンスであることを説明せよ． Standard deviations: [1] 1.0375803 1.0199426 1.0170157 1.0086227 1.0009259 0.9983599 0.9934848 [8] 0.9839683 0.9754013 0.9728017 Rotation: [1,] PC1 PC2 0.10498596 -0.39999420 PC3 PC4 0.2850295 -0.66940789 PC5 0.41606934 PC6 0.03048568 [2,] 0.32749983 0.22984142 0.4259305 0.12740614 0.03877465 -0.48064305 [3,] -0.15792746 -0.12654567 -0.1102931 -0.29759549 -0.16275515 -0.31965691 [4,] -0.17206097 -0.41630160 -0.2394766 0.06609588 0.31835969 -0.45593406 [5,] -0.79518285 0.40101084 0.0584202 -0.13249276 0.20216700 -0.15535249 [6,] -0.27060679 -0.34975436 0.3834472 0.21693763 -0.46967395 -0.34345526 [7,] 0.15087442 0.30133802 -0.4134772 [8,] -0.09911931 -0.08518159 0.4500679 0.09671591 0.48918993 0.33273607 -0.33857602 0.56361877 0.17898733 [9,] 0.04659458 -0.41069582 -0.3467108 0.33889254 0.08326651 -0.09611878 [10,] -0.29474253 -0.21906019 -0.1537863 0.12084633 -0.02762000 0.39998944 PC7 PC8 PC9 PC10 [1,] 以下略 0.27891408 -0.09644877 -0.06400451 -0.18546908