数学問題

Ｈ21
広島県
公立
数学問題
数-09-公-広島-問-01
１
□
次の問１∼問８に答えなさい。
問１ 13−4×2 を計算しなさい。
問２
5
7
÷
6
8
を計算しなさい。
問３ 1−5−2 を計算しなさい。
問４ 2(7x−3y)＋(3x＋5y) を計算しなさい。
問５下の連立方程式を解きなさい。
3 x−4 y = 2

 x＋2 y = 4
問６
7 3 ＋ 48 − 27
を計算しなさい。
問７ (2x−5y)2 を展開しなさい。
問８方程式
x2＋12x＋27＝0 を解きなさい。
−1−
数-09-公-広島-問-02
２
□
次の問１∼問３に答えなさい。
問１右の図のように，正方形 ABCD があります。下の①∼④は
それぞれ，正方形 ABCD から，1 辺の長さが正方形 ABCD
1
の 1 辺の長さのである正方形を切り取った図です。①∼
4
④の中で，直線 AB を軸として 1 回転させてできる立体の体
積が最も大きくなるものはどれですか。その番号を書きなさ
い。
1
x＋ 2 のグラフ上に
3
点 A (3，3)，x 軸上に x 座標が正の数である点 B があ
1
ります。関数 y＝ x＋2 のグラフと y 軸との交点を C
3
問２右の図のように，関数 y＝
とします。四角形 ACOB が線対称な図形であるとき，
2 点 A，B を通る直線の式を求めなさい。
問３右の図のように，点 A を通る関数 y＝
1
x のグラフ
2
と関数 y＝2x のグラフがあります。点 A を通り x 軸に
垂直な直線と，関数 y＝2x のグラフとの交点を B，点
1
B を通り y 軸に垂直な直線と，関数 y＝ x のグラフ
2
との交点を C とします。このとき，△BOC の面積は
△ABO の面積の 4 倍となります。このわけを，点 A
の x 座標を a として，a を使った式を用いて説明しな
さい。ただし，a＞0 とします。
−2−
数-09-公-広島-問-03
３
□
次の問１∼問３に答えなさい。
問１右の図のように，円 O の円周上に 4 点 A，B，C，D が
あり，AC は円 O の直径です。点 D における円 O の接線
と，AC の延長との交点を E とします。∠AED＝42°のと
き，∠ABD の大きさは何度ですか。
問２ A さんは 400 円以内であめとガムを買います。あめは 1 個 40 円，ガムは 1 個 110 円で買うことが
できます。A さんが支払うあめとガムの代金の合計は全部で何通りの場合がありますか。ただし，あ
めもガムも必ず 1 個は買うものとします。
問３右の図のように，x の変域を x＞0 とする関数 y＝
18
x
のグラフ上に 2 点 A，B があります。2 点 A，B から
x 軸にそれぞれ垂線 AC，BD をひきます。線分 AC 上に
BE⊥AC となるように点 E をとります。点 A の x 座標が
2，四角形 BECD の面積が 10 のとき，点 B の座標を求
めなさい。
−3−
数-09-公-広島-問-04
４
□
数字を書いた 5 枚のカード，
，
，
，
，
があります。これらのカードをよくきっ
て，1 枚抜き取ります。抜き取ったカードをもとにもどし，もう一度よくきってから，また 1 枚抜き取
ります。最初に抜き取ったカードの数字を x，次に抜き取ったカードの数字を y とします。下の図のよ
うに，AB＝3 cm，AD＝6 cm の長方形 ABCD の内部に，辺 AB，AD までの距離がそれぞれ x cm，1 cm
である点 P，辺 CD，BC までの距離がそれぞれ y cm，1 cm である点 Q をとります。
これについて，次の問１・問２に答えなさい。
問１ x＝3，y＝4 となるとき，2 点 P，Q から等しい距離にある辺 BC 上の点と，点 B の間の距離は何 cm
ですか。
問２ 3 点 A，D，Q を頂点とする三角形と 3 点 B，C，P を頂点とする三角形が合同となる確率を求めな
さい。
−4−
数-09-公-広島-問-05
５
□
下の図のように，関数 y＝x2 のグラフ上に点 A (2，4)，y 軸上に点 B (0，a) があります。点 B を通り
OA に平行な直線と，関数 y＝x2 のグラフとの 2 つの交点のうち，x 座標が小さい方を C，大きい方を D
とします。ただし，a＞0 とします。
これについて，次の問１∼問３に答えなさい。
問１ a＝5 のとき，△ACO の面積を求めなさい。
問２四角形 ABCO が平行四辺形となるとき，a の値を求めなさい。
問３点 D の y 座標が点 C の y 座標の 16 倍となるとき，点 C の x 座標を求めなさい。
−5−
数-09-公-広島-問-06
６
□
下の図のように，三角形 ABC と平行四辺形 ADEC があり，点 E は辺 BC 上の点です。辺 AB と辺
DE との交点を F とします。また，線分 BF 上に点 G，辺 CE 上に点 H があり，DG＝DA，∠CAH＝
∠BAD です。
これについて，次の問１・問２に答えなさい。
問１ △ABH∽△DGF であることを証明しなさい。
問２ AF＝FG，BG＝16 cm，BE＝27 cm，AD＝9 cm のとき，辺 DE の長さは何 cm ですか。
−6−
Ｈ21
広島県
問題番号
公立
数学
解答用紙
解
答
配点
数
問１
9
0
-
公広島
問２
1
0
K
-
問３
問４
１
□
問５
問６
問７
問８
数
問１
9
0
-
公広島
問２
2
0
Y
K
-
２
□
問３
数
9
0
-
公広島
３
□
問１
度
問２
通り
3
0
Y
K
-
問３
数
cm
問１
-4
9
0
0
Y
K
公
広島
４
□
問２
−7−
備
考
-
問題番号
解
答
配点
数
9
0
-
公広島
問１
５
□
問２
5
0
Y
K
-
問３
数
〔仮定〕図において，四角形 ADEC は平行四辺形，
9
0
-
公広島
DG＝DA，∠CAH＝∠BAD
〔結論〕△ABH∽△DGF
6
0
Y
K
-
〔証明〕
問１
６
□
cm
問２
−8−
備
考
Ｈ21
広島県
問題番号
公立
数学
解答
解
答
配点
備
考
数
9
0
-
公広島
1
0
K
-
１
□
5
2
問２
20
21
2
問３
−6
2
問４
17x−y
2
問５
 x＝2

 y＝1
2
問６
8 3
2
問７
4x2−20xy＋25y2
2
問８
x＝−3，x＝−9
2
問１
①
2
問２
y＝3x−6
3
数
問１
9
0
-
公広島
a
，
2
点 B の座標は (a，2a) である。点 B の y 座標は 2a である
2
0
K
-
点 A の x 座標は a であるから，点 A の y 座標は
２
□
から，点 C の座標は (4a，2a) である。これより BC＝3a，
問３
解答例 AB＝ 3 a である。したがって，△BOC の面積は 1 ×3a
2
2
1
3
3 2
2
×2a＝3a ，△ABO の面積は × a×a＝ a である
2
2
4
から，△BOC の面積は△ABO の面積の 4 倍となる。
3
数
9
0
-
公広島
３
□
66 度
2
問２
12 通り
3
問３
 9 ， 4


2

3
問１
4 cm
2
問２
9
25
3
3
0
K
数
問１
9
4
0
0
K
公
広島
４
□
−9−
内容を正しく
とらえていれば，
表現は異なって
いてもよい。
-
問題番号
解
答
配点
備
考
数
9
0
-
公広島
５
□
問１
5
2
問２
8
2
2
3
−
5
0
K
-
問３
3
数
△ABH と△DGF において
9
0
-
公広島
平行線の錯角は等しいから
∠ABH＝∠DAG
…………①
6
0
K
-
DG＝DA であるから
∠DGF＝∠DAG
…………②
①，②より，∠ABH＝∠DGF ……③
６
□
問１
解答例
また，
∠AHB＝∠ACE＋∠CAH
………④
∠DFG＝∠ADE＋∠BAD
………⑤
3
平行四辺形の向かい合う角は等しいから
∠ACE＝∠ADE
…………⑥
∠CAH＝∠BAD であることと④，⑤，⑥より，
∠AHB＝∠DFG
…………⑦
③，⑦より，2 組の角がそれぞれ等しいから
△ABH∽△DGF
問２
4 17
cm
− 10 −
3
小前提を省略
したものについ
ては，適宜減点す
ること。
Ｈ21
広島県
公立
数学
解説
数-09-公-広島-KS-01
１
□
問６
7 3 ＋ 48 − 27 ＝ 7 3 ＋ 4 3 − 3 3 ＝ 8 3
数-09-公-広島-KS-02
２
□
問２ C(0，2)，A(3，3) より，OC＝2，AC＝ 32＋(3−2)2 ＝ 10 四角形 ACOB が線対称な図形
であるとき，OC≠AC だから，AO が対称軸となる。よって，OB＝OC だから，B(2，0) 直線 AB を
y＝mx＋n とおく。B を通るので，0＝2m＋n…① A を通るので，3＝3m＋n…② ①，②を連立方程式
として解くと，m＝3，n＝−6 よって，y＝3x−6
数-09-公-広島-KS-03
３
□
問１ OD と BC を結ぶ。D は円 O の接点だから，∠ODE＝90° よって，∠EOD＝180°−90°−42°
1
1
1
＝48° 弧 CD において，円周角の定理より，∠CBD＝ ∠COD＝ ∠EOD＝ ×48°＝24°
2
2
2
AC は円の直径より，∠ABC＝90°だから，∠ABD＝90°−24°＝66°
18
問３点 B は y＝
上の点なので，OD×BD＝18 よって，直線 BE と y 軸との交点を H とすると，四
x
角形 HODB＝18 よって，四角形 HOCE＝18−10＝8 OC＝2 より，OH＝8÷2＝4 よって，点 B の
18
18
9
9
y 座標は 4 y＝
に y＝4 を代入して，4＝
x＝
B  ， 4 
x
x
2

2
数-09-公-広島-KS-04
４
□
問１ P から AB，AD までひいた垂線をそれぞれ PE，PF とし，Q から CD，BC までひいた垂線を
それぞれ QG，QH とおく。x＝3，y＝4 のとき，Q から PE に垂線 QI，P から QG に垂線 PJ をひく。
四角形 PIQJ は 1 辺が 1 cm の正方形だから，P，Q から等しい距離にある点の集合である PQ の垂直二
等分線は，対角線 IJ と一致する。PJ の延長と BC の交点を K，IJ の延長と BC との交点を R とする
と，BK＝EP＝3 cm △JKR は∠KJR＝45°，∠JKR＝90°だから，KR＝JK＝1 cm
よって，BR＝3＋1＝4 (cm)
問２カードの組み合わせは，全部で 5×5＝25 (通り) そのうち，2 つの三角形が合同になるのは，
(x，y)＝(1，1)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(4，4)，(5，1)，(5，5) の 9 通り。よって，
9
求める確率は，
25
数-09-公-広島-KS-05
a
問２平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので，OB の中点を M とすると，M  0， 
2

また，AM＝CM で，点 A と C はともに y＝x2 上の点だから，C は点 A と y 軸について対称な点となる。
a
＝4 より，a＝8
よって，C (−2，4)，M (0，4)
2
問３点 C は y＝x2 上の点より，C (s，s2) (s＜0)とおく。点 D の y 座標は，点 C の y 座標の 16 倍だから，
16s2 点 D も y＝x2 上の点より，16s2＝x2 点 D の x 座標は正で，s は負だから，D の x 座標は−4s と
4
おける。D (−4s，16s2) CD の傾きは＝2 より，( y の増加量)＝(変化の割合)×(x の増加量) から，
2
2
2
2
2
(16s −s )＝2×(−4s−s) 15s ＋10s＝0 5s(3s＋2)＝0 s＜0 より，s＝−
3
５
□
数-09-公-広島-KS-06
６
□
問２ △DGA は DG＝DA の二等辺三角形で，AF＝FG より，∠DFG＝90° △ABH∽△DGF だか
ら，∠AHB＝90° △DGF と△EBF は，2 組の角がそれぞれ等しいので，△DGF∽△EBF FG＝
x cm とおくと，DG：EB＝GF：BF 9：27＝x：(16＋x) x＝8 (cm) △DGF で三平方の定理より，
DF＝ 9 2−8 2 ＝ 17 (cm) DF：EF＝9：27
DE＝DF＋EF＝ 17 ＋ 3 17 ＝ 4 17 (cm)
17 ：EF＝1：3 EF＝ 3 17 (cm) よって，
− 11 −

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