講義資料

3.4.7 固有値・固有ベクトル
P56～
n次正方行列Aとある数λ に対して，n次列ベク
トルx についての方程式，Ax = λx，すなわち
（A － λI）x = 0
（27）
を満たすようなベクトルxと数λ が存在するとき
λを行列Aの固有値，x を固有値λ に属する固有ベ
クトルと呼ぶ．
式（27）が自明解以外の解を持つための必要十分
条件は
|A － λI| = 0
備考：ベクトルに行列をかけると，新しいベクトルを生じる．
例題の行列Aについて示すと
⎛ x′ ⎞ ⎛ 1 1/ 2 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ x + y / 2 ⎞
⎜ ⎟=⎜
⎟⎜ ⎟ = ⎜
⎟
⎝ y ′ ⎠ ⎝1/ 2 1 ⎠⎝ y ⎠ ⎝ x / 2 + y ⎠
となる．多くの点でその写った先の点を矢印で結んだ線を描くと図
のようになる．この図を見るとy＝xとy＝－xの方向に引っ張りと圧縮が
みられることがわかる．
y＝x
y＝－x
（28）
である．式（28）は，n次多項式であり，これを
固有多項式（または特性方程式）と呼ぶ．
この図を見るとy＝xとy＝－xの方向に引っ張りと圧縮がみられるこ
とがわかる．そして，この2つの直線上では
⎛ x ⎞ ⎛ 1 1/ 2 ⎞⎛ x ⎞ 3 ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ 1 ⎛ x ⎞
A⎜ ⎟ = ⎜
⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ , A ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
⎝ x ⎠ ⎝1/ 2 1 ⎠⎝ x ⎠ 2 ⎝ x ⎠ ⎝ − x ⎠ 2 ⎝ − x ⎠
となる．このように，
2次元空間の図形的な
イメージから，行列A
の作用として各点の方
向(固有ベクトル)と伸
縮率(固有値)がわかる．
例題5 次の行列の固有値と固有ベクトルを求めよ．
(1)
⎛1 2⎞
⎜
⎟
⎝ 4 3⎠
(1) 特性方程式は，
1− λ
2
=0
4
3−λ
(1－λ) (3－λ)－2×4＝0
3-4λ＋λ2－8＝0
λ2-4λ－5=0
(λ－5)( λ＋1)＝0
ゆえに，固有値はλ1 = 5, λ2 =－1である．
λ1 = 5を式（27）に代入してできる次の
連立方程式は以下のように不定である．
⎧−4 x1 + 2 x2 = 0
⎨
⎩4 x1 − 2 x2 = 0
λ1 = 3/2, λ2 = 1/2
⎛ 1⎞
u1 = c1 ⎜ ⎟ c1 ≠ 0
⎝ 1⎠
⎛ 1⎞
u2 = c2 ⎜ ⎟ c2 ≠ 0
⎝ −1 ⎠
x1＝c1とおくと，x2＝2c1となるので，λ1 に属する固有ベクトルは，
例題5 次の行列の固有値と固有ベクトルを求めよ．
(3)
⎛1 ⎞
u1 = c1 ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
，ただし， c1≠0である．
また，λ2 =－1を式（27）に代入してできる
次の連立方程式も以下のように不定である．
特性方程式は，
⎧2 x1 + 2 x2 = 0
⎨
⎩4 x1 + 4 x2 = 0
x1＝c2とおくと，x2＝－c2となるので，λ2 に属する固有ベクトルは，
⎛1⎞
u 2 = c2 ⎜ ⎟
⎝ −1⎠
⎛0 1 1⎞
⎜
⎟
⎜ −4 4 2 ⎟
⎜
⎟
⎝ 4 −3 −1⎠
，ただし，c2≠0である．
0−λ
−4
1
4−λ
1
2
4
−3
−1 − λ
=0
(0－λ) (4－λ) (－1－λ)＋1×2×4＋1×(－4)×(－3)－1×(4－λ)×4
－(0－λ) ×2×(－3)－1×(－4)×(－1－λ)＝0
1
3.4.8 固有値・固有ベクトルの数値計算法
λ (4－λ) (1＋λ)＋8＋12－4 (4－λ)－6λ－4(1＋λ)＝0
λ (4－λ) (1＋λ)－6λ＝0
λ {(4－λ) (1＋λ)－6}＝0
λ {(4－λ＋4λ－λ2－6}＝0
λ {(3λ－λ2－2}＝0
λ {(λ2－3λ＋2}＝0
λ (λ－1) (λ－2)＝0
ゆえに，固有値はλ1 =0, λ2 = 1, λ3 = 2であり，
式（27）に代入してできる次の連立方程式（不定）
x2
⎧
⎪
⎨−4 x1 +4 x2
⎪ 4x
⎩ 1 −3 x2
+ x3
= 0
+2 x3
− x3
= 0
= 0
⎧ − x1 + x2
⎪
⎨−4 x1 +3 x2
⎪ 4 x −3 x
2
⎩ 1
+ x3
= 0
+2 x3
−2 x3
= 0
= 0
⎧−2 x1
⎪
⎨−4 x1
⎪ 4x
⎩ 1
+ x2
+ x3
= 0
+2 x2
−3 x2
+2 x3
−3 x3
= 0
= 0
を解いて，λ1, λ2 およびλ3 に属する固有ベクトルは，それぞれ
⎛1⎞
⎜ ⎟
u1 = c1 ⎜ 2 ⎟ ,　c1 ≠ 0,
⎜ −2 ⎟
⎝ ⎠
⎛1⎞
⎜ ⎟
u 2 = c2 ⎜ 2 ⎟ ,　c2 ≠ 0,
⎜ −1⎟
⎝ ⎠
⎛0⎞
⎜ ⎟
u3 = c3 ⎜ 1 ⎟ ,　c3 ≠ 0
⎜ −1⎟
⎝ ⎠
• 固有値や固有ベクトルの計算に対する数
値計算法にはヤコビ法，QR法，べき乗法
等が知られている．
• ここでは『べき乗法』について簡単に解説
する．
• べき乗法は，絶対値最大の固有値とこれ
に対する固有ベクトルを同時に求める方法
である．
となる．
n × n行列A＝(aij)が与えられたとしよう．
絶対値最大の固有値をλ*，これに対する
固有ベクトルをu *とすると，固有値と固有
ベクトルの性質から
A u *＝λ* u *
となる．
EXCEL演習12
べき乗法により以下の行列（例題5の行列(1)）の最大固有値
と固有ベクトルを求めてみよ．
⎛1 2⎞
⎜
⎟
⎝ 4 3⎠
[ヒント]
べき乗法により最大固有値と固有ベクトル
を求める例を右のEXCELのワークシートに示す．
このように，λ*＝5，固有ベクトルu *＝(1，2)T に収束していく
様子がわかる．
任意のベクトルu0＝(u01，u02,…，u0n)Tより出発し，
次の反復計算を繰り返す．
初期値：b0＝u01，y0i＝u0i／b0，u1i＝∑aik y0k
(ただし，i,k＝1,2,…n)
１回目：b1＝u11，y1i＝u1i／b1，u2i＝∑aik y1k
(ただし，i,k＝1,2,…n)
：
m回目：bm＝um1，ymi＝u1i／bm，um+1,i＝∑aik ymk
(ただし，i,k＝1,2,…n)
反復計算の過程で，um1≒um+1,1と収束すれば
λ*≒bm +1＝um+1, 1
u *＝(ym +1,1，ym +1,2，… ym +1,n) T
である．
初期値：b0＝u01 ＝0.1 ，
y01＝u01／b0 ＝0.1／0.1＝1 ，
y02＝u02／b0 ＝0.1／0.1 ＝1 ，
u11＝a11 y01 ＋a12 y02 ＝1×1＋2×1＝3
u12＝a21 y01 ＋a22 y02 ＝4×1＋3×1＝7
１回目：b1＝u11 ＝3 ，
y11＝u11／b1 ＝3／3＝1 ，
y12＝u12／b1 ＝7／3＝2.333 ，
u21＝a11 y11 ＋a12 y12 ＝1×1＋2×2.333＝5.666
u22＝a21 y11 ＋a22 y12 ＝4×1＋3×2.333＝11
：
λ*＝5，
固有ベクトルu *＝(1，2)T
に収束していく様子がわかる．
2

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