Ŝř
˜´ª°¥n µŠ ŚřŞ ­¤¤˜·‹»—ž¦³‹»ŽÉ ¹ŠªµŠ°¥¼šn ¸É‹»—„εÁœ·—Äœ¦³¡·„—´ Œµ„ ś
¤·˜·šµÎ Ä®oÁ„·—«´„¥rÅ¢¢oµš¸É‹»— (x, y, z) ÁžÈ œÅž˜µ¤­¤„µ¦
‹Š®µ
1
V (x, y, z) = p
x2 + y 2 + z 2
ř °´˜¦µ„µ¦Áž¨¸É¥œÂž¨Š…°Š«´„¥rÅ¢¢oµš¸É‹»— P (1, −2, 2) Ĝš·«šµŠ
…°Š ~a = 2~j + 3~k
Ś š·«šµŠš¸É «„´ ¥rÅ¢¢oµ Á¡·¤É …¹Êœ Á¦È ª š¸É­»— ‹µ„‹»— P (1, −2, 2) ¨³‡nµ
¤µ„„š¸É­»—…°Š°´˜¦µ„µ¦Áž¨¸É¥œÂž¨Š«´„¥rÅ¢¢oµš¸É‹»— P
ŜŚ
šš¸É Ś ‡¨‡¼¨­´ Áª„Á˜°¦r
Ä®o S ÁžÈ œ¡ºÊœŸ·ªš¸É„µÎ ®œ—×¥­¤„µ¦ f (x, y, z) = c Á¤ºÉ° c ÁžÈ œ
‡nµ‡Šš¸É Ä®o P ÁžÈ œ‹»—œ¡ºÊœŸ·ª S ‹³Å—oªµn Á­oœ­´¤Ÿ´­…°Š¡ºÊœŸ·ªš¸É ‹»—
P ‹³°¥¼nœ¦³œµÁ—¸¥ª„´œ Á¦¸ ¥„¦³œµœ¸Ê ªnµ ¦³œµ­´ ¤Ÿ´­ WDQJHQW
SODQH …°Š S š¸É ‹»— P ™oµÄ®o N~ šœÁª„Á˜°¦r ˜Ê Š´ Œµ„˜n° S ¨oª Á¦µ
­µ¤µ¦™Â­—ŠÅ—oªµn N~ = ;`/ f
Ŝś
˜´ª°¥n µŠ Śřş ‹Š®µÁª„Á˜°¦r …œµ— 5 ®œnª¥Ž¹ÉŠ˜´ÊŠŒµ„˜n°¡ºÊœŸ·ª x3 −
xy 2 = z 3 − 2y + 2 – ‹»— P (1, 2, −1)
ŜŜ
šš¸É Ś ‡¨‡¼¨­´ Áª„Á˜°¦r
‹Š®µ¢´Š„rœ´ ­Á„¨µ¦r f š¸É¤¸Á„¦Á—¸¥œ˜r‡º°
∇f = (2xy 2 + 3x2z 3)~i + (z + 2x2y)~j + (y + 3x3z 2)~k
Ŝŝ
Ä®o f ÁžÈ œ¢´Š„rœ´ …°Š x, y, z ‹³Á¦¸ ¥„­¤„µ¦Á·Š°œ»¡œ´ ›r¥°n ¥
∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f
+ 2+ 2 =0
2
∂x
∂y
∂z
ªnµ­¤„µ¦¨µž¨µŽ /DSODFH
V HTDXWLRQ
Á¦¸ ¥„œ·¡‹œr—µo œŽoµ¥…°Š­¤„µ¦—oµœœªnµ ¨µž¨µÁ¸¥œ…°Š f /DSODFLDQ
RI f ¨³Á…¸¥œÂšœ—oª¥ ∇2f ®¦º ° ∆f ×¥š¸É˜ª´ —εÁœ·œ„µ¦Á·Š°œ»¡œ´ ›r
∇2 ®¦º ° ∆ œ· ¥µ¤Ã—¥
∂2
∂2
∂2
∇ =∆= 2+ 2+ 2
∂x
∂y
∂z
2
ŜŞ
šš¸É Ś ‡¨‡¼¨­´ Áª„Á˜°¦r
‡»–­¤´˜·…°ŠÁ„¦Á—¸¥œ˜r
ř ∇(f + g) = ∇f + ∇g
Ś ∇(f g) = f ∇g + g∇f
ś ∇(f n) = nf n−1∇f
f
g∇f − f ∇g
Ŝ ∇( ) =
g
g2
ŝ ∇2(f g) = g∇2f + 2∇f · ∇g + f ∇2g
Ŝş
ŗÁª°¦r Á‹œŽr …°Š­œµ¤Áª„Á˜°¦r 'LYHUJHQFH RI 9HFWRU )LHOG
Ä®o ~v = v1(x, y, z)~i+v2(x, y, z)~j+v3(x, y, z)~k ÁžÈ œ¢´Š„rœ´
Áª„Á˜°¦r š¸É­µ¤µ¦™®µ°œ»¡œ´ ›rŗoÁš¸¥„´ x, y, z ŗÁª°¦r Á‹œŽr …°Š ~v
Á…¸¥œÂšœ—oª¥ /Bp ~v „ε®œ—×¥
∂v1 ∂v1 ∂v1
/Bp ~v = ∇ · ~v =
+
+
∂x
∂y
∂z
ŗÁª°¦r Á‹œŽr …°ŠÁ„¦Á—¸¥œ˜r
Ä®o f ÁžÈ œ¢´Š„rœ´ …°Š x, y, z ‹³Å—oªµn ŗÁª°¦r Á‹œŽr…°ŠÁ„¦Á—¸¥œ˜r
…°Š f ‡º°
/Bp (;`/ f ) = ∇ · (∇f ) = ∇2f
Á‡·¦r¨…°Š­œµ¤Áª„Á˜°¦r &XUO RI D 9HFWRU )LHOG
Ä®o ~v = v1~i+v2~j+v3~k ÁžÈ œ¢´Š„rœ´ Áª„Á˜°¦rš¸É­µ¤µ¦™®µ°œ»¡œ´ ›r
ŗo Á‡·¦r¨…°Š­œµ¤Áª„Á˜°¦r ~v Á…¸¥œÂšœ—oª¥ +m`H ~v „ε®œ—×¥
+m`H ~v = ∇ × ~v
ŜŠ
šš¸É Ś ‡¨‡¼¨­´ Áª„Á˜°¦r
˜´ª°¥n µŠ ŚřŠ ‹Š®µÅ—Áª°¦rÁ‹œŽr¨³Á‡·¦r¨…°Š¢´Š„rœ´ Áª„Á˜°¦r
~v (x, y, z) = x2y~i + 2y 3z~j + 3z~k
Ŝš
˜´ª°¥n µŠ Śřš Ä®o f (x, y, z) = x2y2z 2 ‹Š®µ /Bp (;`/ f )
ŝŘ
šš¸É Ś ‡¨‡¼¨­´ Áª„Á˜°¦r
°·œš·„¦´¨˜µ¤Á­o œ /LQH ,QWHJUDOV
°·œ š· „¦´¨ ˜µ¤Á­oœ‡º°„µ¦°· œš· Á„¦˜Åž˜µ¤Á­oœÃ‡oŠ C Ĝ­°Š®¦º °
­µ¤¤·˜· ¨³˜´ª™¼„°·œš·Á„¦˜‹³ÁžÈ œ¢´Š„rœ´ š¸Éœ·¥µ¤š¸É˜n¨³‹»—…°ŠÁ­oœ
C Á¦¸ ¥„Á­oœÃ‡oŠ C ªnµÁ­o œšµŠ…°Š„µ¦°·œš·Á„¦˜ SDWK RI LQWHJUDWLRQ
Ä®o C ÁžÈ œÁ­oœÃ‡oŠš¸É šœ—oª¥¢´Š„rœ´ Áª„Á˜°¦r ~r(t) ‹³Á¦¸ ¥„ C ªnµ
Á­oœÃ‡oŠÁ¦¸ ¥ VPRRWK FXUYH ™oµ r~′(t) ÁžÈ œ¢´Š„rœ´ ˜n°ÁœºÉ°ŠÂ¨³Å¤nÁžÈ œ
Áª„Á˜°¦r «¼œ¥rš¸É ėÁ¨¥ ĜšµŠÁ¦…µ‡–· ˜ Á­oœ ÇoŠ Á¦¸ ¥‹³®¤µ¥™¹Š Á­oœ
ÇoŠ C š¸É ˜n¨³‹»— ¤¸ Á­oœ ­´¤Ÿ´­ Á¡¸¥ŠÁ­oœ Á—¸¥ª ¨³¤¸ š·«šµŠÁž¨¸É¥œÅž
°¥nµŠ˜n°ÁœºÉ°Š…–³š¸ÉÁ‡¨ºÉ°œÅž˜µ¤ C
ŝř
šœ·¥µ¤ Śš Ä®o C ÁžÈ œÁ­oœÃ‡oŠÁ¦¸ ¥ šœ—oª¥Áª„Á˜°¦r ~r(t) a ≤
t ≤ b ¨³ F~ ÁžÈ œ¢´Š„rœ
´ Áª„Á˜°¦rš¸Éœ·¥µ¤œ C Á…¸¥œÂšœ—oª¥ F~ (~r)
¨oª°·œš·„¦´¨˜µ¤Á­oœ…°Š¢´Š„rœ´ Áª„Á˜°¦r F~ (~r) ‹³œ·¥µ¤Ã—¥
Z
C
F~ (~r) · d~r =
Z
a
b
d~r
~
F (~r) · dt
dt
„µ¦‡Îµœª–‡nµ°·œš·„¦´¨˜µ¤Á­oœ¤¸…Êœ´ ˜°œ—´Šœ¸Ê
ř Á…¸¥œÁ­oœÃ‡oŠ C Ä®o°¥¼Än œ¦¼ ž„µ¦ÂšœÂ°·Š˜´ªÂž¦Á­¦· ¤ ~r(t)
~
Ś Á…¸¥œ F~ (~r) ĜÁš°¤ F~ (r(t))
ś ®µ
d~r ~′
d~r
Áš¸¥„´ t ‹µ„ a ™¹Š b
= r (t) ¨oª°·œš·Á„¦˜ F~ ·
dt
dt
ŝŚ
šš¸É Ś ‡¨‡¼¨­´ Áª„Á˜°¦r
˜´ª°¥n µŠ ŚŚŘ ‹Š®µ C F~ (~r) · d~r Á¤ºÉ° F~ (~r) = −y~i + xy~j ¨³
C ÁžÈ œÁ­oœš¸É„µÎ ®œ—×¥¢´Š„rœ
´ Áª„Á˜°¦r
R
ř C : ~r(t) = +Qb t~i + bBM t~j 0 ≤ t ≤ 2π
Ś C : ~r(t) = (1 − t)~i + t~j 0 ≤ t ≤ 1
ŝś
˜´ª°¥n µŠ ŚŚř ‹Š®µ C F~ (~r) · d~r Á¤ºÉ° F~ (~r) = z~i + x~j + y~k
Á¤ºÉ° C ÁžÈ œÁ­oœ±¸¨·„Žrš¸É„µÎ ®œ—×¥ ~r(t) = +Qb t~i + bBM t~j + 3t~k
R
0 ≤ t ≤ 2π
ŝŜ
šš¸É Ś ‡¨‡¼¨­´ Áª„Á˜°¦r
„µ¦®µŠµœÃ—¥Äo °œ· š·„¦´¨˜µ¤Á­o œ
šœ·¥µ¤ ŚřŘ Ä®o F~ (~r) ÁžÈ œ¢´Š„rœ´ Áª„Á˜°¦r…°ŠÂ¦Šš¸É„¦³šÎµ˜n°ª´˜™»
×¥š¸É F~ (~r) ÁžÈ œ¢´Š„rœ´ ˜n°ÁœºÉ°Š ¨³ C ÁžÈ œÁ­oœÃ‡oŠÁ¦¸ ¥š¸ÉšœÁ­oœ
šµŠ„µ¦Á‡¨ºÉ°œš¸É…°Šª´˜™» „ε®œ—Ä®oŠµœ…°ŠÂ¦Š F~ (~r) ‡º°
W =
Z
C
F~ (~r) · d~r =
Z
a
b
d~r
F~ (~r) · dt
dt
ŝŝ
˜´ª°¥n µŠ ŚŚŚ ‹Š®µŠµœ…°ŠÂ¦Š F~ (~r) = −y~i + x~j š¸É „¦³šÎµ˜n°
√
√
ª´˜™» ¨³šÎµÄ®o ª˜´ ™» Á‡¨ºÉ°œš¸É ‹µ„‹»— ( 3, 0) Ş¥´Š ‹»— (0, 3) ˜µ¤
Á­oœÃ‡oŠ C š¸É„µÎ ®œ—×¥­¤„µ¦ x2 + y2 = 3

撓ﾁｦｸ・悁ｸﾉ ﾁｦｺﾉｰ ｦｭｰ慊撈瞳 %$6( 0(7+2` ﾁｪｨｵ 愀垪

雪 顔 の 白 虎 穂 高 や 初 夏 の 月

การปjองกันความรุนแรง

撓ﾁｦｸ・悁ｸﾉ ﾁｦｺﾉｰ ｦ緑 ｵﾁ惺 慣恫ｵ､ﾂ沮慣愿律ｪｷ嶌 ｦ惷 ｪｴ 匆・ｮ

HUB - BBSC-Deutschland

ｰﾎｵ愀ﾂｨｳｵ､ｦｴ據ｷ絡ｰ

+RW 1HZV 7ULFN 2U 7UHDW n瓦ｴｰ侃ｵ宍虜ﾇ 惶

擱ｷｬ ｴ 姦rﾁ､ ﾁｰﾈ､ ﾅｰ 勤ｵ ､ｮｵ骨 nｪ悁ｸﾉ

撓垪ﾉ3 ｦｳﾁ攤・擡ｷ嶌ｦｫｹｵ

ｦﾁｭｦｷ､ｭｦoｵ苅ｨｴ寛ｹｱｹｭｼo ﾄｮo∪ﾄ恪ｻ､骨 - Life Skills

¦oｵ愧肱ｵｪｷ虜ﾃｰ