Part 3:多端子対回路千葉大学工学部電気電子工学科橋本研也

平成26年9月19日版
回路理論II
Part 3:多端子対回路
千葉大学工学部
電気電子工学科
橋本研也
[email protected]
http://www.te.chiba-u.jp/~ken
1
線形２端子対（ポート）回路の応答
i1
e1
線形受動回路では
i2
e2
Zji=Zij、Yji=Yij
電流は流れ込む方向を正！
Z=Y-1, Y=Z-1
インピーダンス(Z)
行列表現
 e1   Z11
   
 e2   Z 21
アドミタンス(Y)
行列表現
 i1   Y11 Y12  e1 
   
 
 i2   Y21 Y22  e2 
回路が左右対称ならば
Z12  i1 
 
Z 22  i2 
Z11  Z22 、 Y11 Y22
2
T型等価回路を導く
 e1   Z11
   
 e2   Z 21
i1
e1
e1  i1 ( Z11  Z12 )  Z12 (i1  i2 )
Z12  i1 
 
Z 22  i2 
Z1
Z2
Zt
e2  i2 ( Z 22  Z12 )  Z12 (i1  i2 )
i2
ここで
Z1  Z11  Z12
e2
Z 2  Z 22  Z12
Z t  Z12
型等価回路
3
例
i1
e1
i2
e2
回路の方程式
1
e1  jLi1 
(i1  i2 )
jC
1
e2  jLi2 
(i1  i2 )
j C
これより
 Z11

 Z 21
1

 j L 
Z12  
j C
 
1
Z 22  

j C




1 
j L 
jC 
1
j C
4
型等価回路を導く
i1  e1 (Y11  Y12 )  Y12 (e1  e2 )
 i1   Y11 Y12  e1 
   
 
 i2   Y21 Y22  e2 
i1
i2  e2 (Y22  Y12 )  Y12 (e2  e1 )
ここで
i2
Yt
e1
Y1
Y1  Y11  Y12
Y2
e2
Y2  Y22  Y12
Yt  Y12
型等価回路
5
例
回路の方程式
i1
e1
i2
i1  jCe1 
e2
1
(e1  e2 )
jL
1
i2  jCe2 
(e2  e1 )
j L
これより
 Y11

 Y21
1

 j C 
Y12  
j L
 
Y22    1

jL



jL 
1 
j C 
jL 

1
6
回路の変形(-Y変換)
i1
e1
i2
Yt
Y1
 i1   Y1  Yt
   
 i2    Yt
Y2
i1
e2
 Yt  e1 
 
Y2  Yt  e2 
e1
Z1
Z2
Zt
 e1   Z1  Z t
   
 e2   Z t
i2
e2
Z t  i1 
 
Z 2  Z t  i2 
Yt
Zt 
(Y1  Yt )(Y2  Yt )  Yt 2
一方が他方の逆行列
Y2
Z1 
(Y1  Yt )(Y2  Yt )  Yt 2
Y1
Z2 
(Y1  Yt )(Y2  Yt )  Yt 2
7
多端子対等価回路への拡張
N
N
N
n 1
n 1
n 1
im   Ymn en  ( Ymn )em   (Ymn )(em  en )
ym 0   Ymn
em: 端子mの電位
em-en: 端子m、n間の電位差
y10
y20
y12
y13
y14
y23
y24
N
y34
n 1
ymn  Ymn
y30
回路構成は一意で
ない！
y40
例：Δ-Y変換
8
入力電力


*  e1  
*  Z11
P   i1 i2      i1 i2  
 e2 
 Z 21


 
 Z11 i1  2Z12  i i  Z 22 i2
2
*
1 2
Z12  i1 
 
Z 22  i2 
2


Y12  e1 
*  Y11
*  i1  
 
P   e1 e2      e1 e2  
 i2 
 Y21 Y22  e2 


 
 Y11  e1  2Y12  e e  Y22  e2
2
*
1 2
2
入力に関わらずP0のためには？
Z11   0, Z 22   0, Z11 Z 22   Z12 
2
Y11   0, Y22   0, Y11 Y22   Y12 
2
9
２端子対回路の直列接続
i1
i2
Za
e2
e1
Zb
 e1   e1a   e1b 
       
 e2   e2 a   e2b 
 e1a   Z11a
   
 e2 a   Z 21a
Z12 a  i1a 
 
Z 22 a  i2 a 
 e1b   Z11b
   
 e2b   Z 21b
Z12b  i1b 
 
Z 22b  i2b 
 i1   i1a   i1b 
、         であるから
 i2   i2 a   i2b 
直列接続 Z=Za+Zb
10
２端子対回路の並列接続
i1
i2
Ya
e1
e2
Yb
 i1   i1a   i1b 
       
 i2   i2 a   i2b 
 i1a   Y11a
   
 i2 a   Y21a
Y12 a  e1a 
 
Y22 a  e2 a 
 i1b   Y11b
   
 i2b   Y21b
Y12b  e1b 
 
Y22b  e2b 
 e1   e1a   e1b 
、         であるから
 e2   e2 a   e2b 
並列接続 Y=Ya+Yb
11
線形２端子対（ポート）回路の応答
i1
e1
i2
 e1   F11 F12  e2   A B  e2 
   
   
 
e2  i1   F21 F22  i2   C D i2 
電流の向きに注意！
４端子(FもしくはABCD)
行列表現
1  F11 e1  0  F12 i1 
 
   

0 F21 e2  1 F22 i2 
 e1   F11 / F21 (F11F22  F12F21) / F21 i1 
 
   
F22 / F21
i2 
e2   1/ F21
Z行列は対称 → F11F22  F12F21 1
12
入出力を入れ替える
i1
i2
e1
e2
電流の向きに注意！
 e1   F11 F12  e2 
   
 
 i1   F21 F22  i2 
 e1   F11  F12  e2 
   
 
  i1    F21 F22   i2 
であるから
 e2   F11  F12 
   

  i2    F21 F22 
1
 e1   F22 F12  e1 
   
 
  i1   F21 F11   i1 
回路が左右対称ならば
F11  F22
13
F行列要素を導く
i1
e1
Z1
Z2
Zt
型回路
i2
e1  Z1i1  Z2i2  e2
Zt (i1  i2 )  Z2i2  e2
から
e2  e1   1  Zt Z1 1


 
Z2  e2 
 
 i1  Zt  0 1 1 Zt  Z2  i2 
 Z1 / Zt 1 Z1  Z2  Z1Z2 / Zt  e2 
 
 
Z2 / Zt 1  i2 
 1/ Zt
14
線形２端子対回路の縦続（カスケード）
i1
e1
 e1a   F11a
   
 i1a   F21a
i2
Fa
Fb
F12 a  e2 a 
 
F22 a  i2 a 
 e1b   F11b
   
 i1b   F21b
e2
F12b  e2b 
 
F22b  i2b 
 e2 a   e1b 
 e2   e2b 
 e1   e1a 
     、      、     
 i2   i2b 
 i2 a   i1b 
 i1   i1a 
であるから
縦続(カスケード)接続 F=FaFb
15
同一回路のN段縦続
F行列の固有値展開
 F11 F12   X 1 X 1  
 X 1 X 1 

  



  X 2 X 2 
 F21 F22   X 2 X 2 
ここで
従って
1
F11  F22  (F11  F22 )2 1
 
 exp( )
2
X 1 / X 2  F12 /(  F11)

F  XΛ X
N
1

N
N


 XΛ N X 1  X 

 exp(N )
 1
 X
 X
exp(N ) 

 1

X
N 
 
16
例
回路の方程式
i1
e1
i2
i1  jCe1 
e2
1
(e1  e2 )
j L
1
 i2  jCe2 
(e2  e1 )
jL
2
(
1

e


LC )e2  jLi2
これより 1
i1  jC (2   2 LC )e2  (1   2 LC )i2
 F11

 F21
F12   1   2 LC
j L 

  
2
2
F22   jC (2   LC ) 1   LC 
17
 F11

 F21
F12   1   2 LC
j L 

  
F22   jC (2   2 LC ) 1   2 LC 
2  2(1   2 LC )  1  0 より固有値は
  1   2 LC    2 LC (2   2 LC )  exp( )
それぞれの固有ベクトルは  1 
 
 a
2
2
  LC (2   LC )
ここで a 
j L
正負の方向に伝搬する波
従って
 F11

 F21
F12   1 1  exp( )
 1 1 
  



F22   a  a 
exp( )  a  a 
1
18
 F11

 F21
F12 
  a  1
1  1 1  exp( N )
   



F22 
exp( N )   a 1 
2a  a  a 
N
 cosh(N ) a 1 sinh(N ) 

 

a
sinh(

N
)
cosh(

N
)


 e1a   exp(N )
 1  eNa 
 X  
X    
exp(N )   iNa 
 i1a  
1
電圧、電流⇒
正負に伝搬する波
電圧、電流⇒
正負に伝搬する波
19

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