2014年度試験問題と略解

力学 (2014 年度前期) 定期試験問題
2014.08.04
力学.exm14-1.1
.
【1】x 軸上を運動する質量 m の質点を考える。力のポテンシャル U (x) が以下の式で与えられる場合に，位置 x にあ
る質点に働く力 (の x 成分)Fx (x) を求めなさい。
(1) U (x) = 4x2 + 10x4
(2) U (x) =
1 − cos(2x)
x3
(exm14-1.1.1)
【2】質量 m = 1 の質点が，x 軸上を力のポテンシャル U (x) = −10x2 + x4 による力を受けて運動する。
(1)
この質点にはたらく力の大きさが 0 となる位置を全て求めなさい。
(2) 時刻 t = 0 での初期条件が
x(0) = 2 ,
vx (0) =
√
30
(exm14-1.1.2)
である場合，質点は x 軸上のどの範囲を運動するかを答えなさい。
(3)
時刻 t = 0 での初期条件が
x(0) = 2 ,
vx (0) = v0 (> 0)
(exm14-1.1.3)
√
√
である場合，v0 がある値 vmin より大きければ，質点は x = − 5 に到達し，vmin より小さければ，x = − 5
に到達しない。vmin を求めなさい。
【3】位置 ~r にある質量 m の質点に働く力，F~1 (~r) と F~2 (~2)，を考える：
(
)
F~1 (~r) =
− 2x − y , −x − 4y , −3x − 6z − 2 ,
(
)
F~2 (~r) =
− 2x − y − 3z , −x − 4y , −3x − 6z + 1 .
(1)
(2)
(exm14-1.1.4)
(exm14-1.1.5)
~ × F~1 (~r) と ∇
~ × F~2 (~r) を計算しなさい。
∇
F~1 (~r) と F~2 (~r) が保存力の場合は力のポテンシャル U (~r) を求めなさい。力のポテンシャルは U (~0) = 0 と
なるように定めなさい。
【4】質量 m = 1 の質点の位置ベクトルが
(
)
√
~r(t) = 1 + 2 2 cos(3t) , 1 + 2 sin(3t) , −2 sin(3t)
(exm14-1.1.6)
で与えられている。
~
(1) この質点の時刻 t での原点 O = (0, 0, 0) に関する角運動量 L(t)
を求めなさい。
~
(2) この質点の時刻 t での点 A = (1, 1, 0) に関する角運動量 L(t)
を求めなさい。
【5】質量 m1 = 1 , m2 = 2 , m3 = 1 , m4 = 2 の 4 つの質点からなる剛体を考える。時刻 t = 0 でのそれぞれの質点の
位置ベクトルが
(
)
~r1 = 4 , −4 , 2 ,
(
)
~r2 = 0 , 2 , 1 ,
(
~r3 =
)
− 2 , −4 , 0 ,
(
~r4 =
− 1, 2, 1
で与えられるとする。
(1) 時刻 t = 0 での剛体の質量中心の位置ベクトル ~rG を書きなさい。
(2) この剛体を z 軸を回転軸として回転させる。慣性モーメント Iz を求めなさい。
)
(exm14-1.1.7)
力学 (2014 年度前期) 定期試験略解
力学.exm14-1.2
.
“
” “
”
~ = Fx , 0 , 0 = − dU (x) , 0 , 0 という関係式を用いる。
【1】F
dx
(1)
Fx (x) = −8x − 40x3 .
(2)
Fx (x) =
(exm14-1.2.1)
3 − 3 cos(2x) − 2x sin(2x)
.
x4
(exm14-1.2.2)
【2】
(1)
Fx (x) = −
dU (x)
= 20x − 4x3 = 4x(5 − x2 )
dx
より，Fx (x) = 0 となるのは
x = 0,
(2)
質点の力学的エネルギー E は
E=
(exm14-1.2.3)
√
± 5.
(exm14-1.2.4)
1 “√ ”2
30 + U (2) = 15 − 24 = −9
2
(exm14-1.2.5)
となる。運動する範囲は U (x) ≤ E なので，
x4 − 10x2 ≤ −9
→
(x2 − 9)(x2 − 1) ≤ 0
(exm14-1.2.6)
より，条件
−3 ≤ x ≤ −1 ,
1≤x≤3
(exm14-1.2.7)
が得られるが，最初の質点の位置は x = 2 なので，質点の動く範囲は
1≤x≤3
(exm14-1.2.8)
となる。
(3)
√
√
質点が x = 2 から x = − 5 に到達するためには，質点の力学的エネルギー E が − 5 ≤ x ≤ で E > U (x) となって
いる必要がある。この区間での U (x) の最大値は U (0) なので，E が U (0) = 0 より大きければよい；
E=
√
より，vmin = 4 3 。
1 2
1
v0 + U (2) = v02 − 24 > 0
2
2
→
v0 >
√
√
48 = 4 3
(exm14-1.2.9)
【3】
(1)
~ × F~1 (~r)
∇
=
=
„
«
∂(−3x − 6z − 2)
∂(−x − 4y) ∂(−2x − y)
∂(−3x − 6z − 2) ∂(−x − 4y)
∂(−2x − y)
−
,
−
,
−
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
(exm14-1.2.10)
(0 − 0 , 0 + 3 , −1 + 1) = (0 , 3 , 0) .
~ × F~2 (~r) =
∇
„
«
∂(−3x − 6z + 1)
∂(−x − 4y) ∂(−2x − y − 3z)
∂(−3x − 6z + 1) ∂(−x − 4y)
∂(−2x − y − 3z)
−
,
−
,
−
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
= (0 − 0 , −3 + 3 , −1 + 1) = (0 , 0 , 0) = ~0 .
(exm14-1.2.11)
(2)
~ × F~1 (~r) 6= ~0 なので，F~1 は保存力ではない。また，∇
~ × F~2 (~r) = ~0 なので，F~2 は保存力である。
∇
∂U
F~2 に対する力のポテンシャル U (~r) を求める。まず，
= 2x + y + 3z を x について積分する：
∂x
Z
U = (2x + y + 3z) dx = x2 + xy + 3xz + C1 (y, z)
(exm14-1.2.12)
が得られる。ここで，C1 (y, z) は x の積分に対する積分定数なので，y や z の関数である可能性がある。
力学.exm14-1.3
次に，上式を
∂U
= x + 4y の左辺に代入する：
∂y
∂C1 (y, z)
∂U
=x+
.
∂y
∂y
(exm14-1.3.1)
∂C1 (y, z)
= 4y
∂y
(exm14-1.3.2)
これより，C1 (y, z) が満たすべき条件
が得られる。この式を y について積分して
C1 (y, z) =
Z
4y dy = 2y 2 + C2 (z)
(exm14-1.3.3)
が得られる。C2 (z) は y の積分に対する積分定数なので，z の関数である可能性がある。さらに，得られた結果 U =
∂U
x2 + xy + 3xz + 2y 2 + C2 (z) を
= 3x + 6z − 1 の左辺に代入すると
∂z
dC2 (z)
∂U
= 3x +
∂z
dz
(exm14-1.3.4)
dC2 (z)
= 6z − 1
dz
(exm14-1.3.5)
(6z − 1) dz = 3z 2 − z + C3
(exm14-1.3.6)
より，C2 (z) が満たすべき条件
が得られる。この式を z について積分して
C2 (z) =
Z
が得られる。以上より，力のポテンシャルは
U (~r) = x2 + xy + 3xz + 2y 2 + 3z 2 − z + C3
(exm14-1.3.7)
となる．(C3 は定数。) U (~0) = 0 の条件より，C3 = 0 なので，
U (~r) = x2 + xy + 3xz + 2y 2 + 3z 2 − z
(exm14-1.3.8)
となる．
【4】
(1)
~
L(t)
=
=
“
” “ √
”
√
d~r
= 1 + 2 2 cos(3t) , 1 + 2 sin(3t) , −2 sin(3t) × −6 2 sin(3t) , 6 cos(3t) , −6 cos(3t)
m~r ×
dt
“
”
√
√
√
−6 cos(3t) , 12 2 + 6 cos(3t) , 12 2 + 6 cos(3t) + 6 2 sin(3t) .
(exm14-1.3.9)
(2)
~
L(t)
=
=
“
” d~r
“ √
” “ √
”
m ~r − (1, 1, 0) ×
= 2 2 cos(3t) , 2 sin(3t) , −2 sin(3t) × −6 2 sin(3t) , 6 cos(3t) , −6 cos(3t)
dt
“
√
√ ”
0 , 12 2 , 12 2 .
(exm14-1.3.10)
【5】
(1)
~rG =
m1~r1 + m2~r2 + m3~r3 + m4~r4
= (0 , 0 , 1) .
m1 + m2 + m3 + m4
(exm14-1.3.11)
(2)
Iz =
4
X
i=1
“
”
mi x2i + yi2 = 1 (42 + (−4)2 ) + 2 (02 + 22 ) + 1 ((−2)2 + (−4)2 ) + 2 ((−1)2 + 22 ) = 70 . (exm14-1.3.12)

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