統計的推測Ⅰ(pdfファイル)

統計的推測Ⅰ
統計的推測Ⅰ
０．目次
１．母集団と標本
２．標本平均
３．推定の考え方
３ .１
母平均の推定
３ .１ .１
３ .１ .２
母標準偏差が既知の場合
母標準偏差が未知の場合
３ .２
母分散の推定
３ .３
母比率の推定
- 1 -
統計的推測Ⅰ
１．母集団と標本
推測の対象となる集団全体を母集団という。調査の対象となる性質を特性とい
い、数値で表現できる特性を変量という。
たとえば、１世帯あたりの子供の数、一人あたりの年収や身長などである。
母集団に属するものを個体といい、個体の総数を母集団の大きさという。
大きさ Nの母集団において、変量 Xが、 x 1 ,x 2 ,… x M の値をとり、それぞれ個体数
を f 1 ,f 2 ,… ,f M とする。このとき、変量 Xの度数分布、確率分布は次のようになる。
Xの確率分布は、母集団分布と呼ばれる。
X
x1
x2
…
xM
計
Xの度数分布
f1
f2
…
fM
N
Xの確率分布
f 1 /N
f 2 /N
…
f M /N
1
母平均 μ 、母分散 σ 2、母標準偏差 σ は、次のように定義される。
μ = x 1 × (f 1 /N) + x 2 × (f 2 /N) + … + x M × (f M /N)
σ 2 = (x 1 -μ ) 2 × (f 1 /N) + (x 2 -μ ) 2 × (f 2 /N) + … + (x M -μ ) 2 × (f M /N)
母集団から個体を選び出すことを抽出といい、抽出された個体の集合を標本と
いう。その個体の総数を標本の大きさという。
母集団
抽出
標本
標本の抽出は、母集団の特性を失わないように個体が公平に（同じ確率で）選
ばれなければならない。このような抽出法を無作為抽出という。無作為に抽出さ
れた標本を無作為標本という。
また、母集団から大きさ nの標本を抽出するとき、 1個の個体を抽出するたびに
母集団に戻す操作を n回繰り返すことを復元抽出という。元に戻さないで選ぶ場
合や、一度に n個選ぶ場合を非復元抽出という。
母集団をすべて調査できない場合、標本から得られるデータを使って、母集団
の性質を推定する学問を推測統計学と呼ぶ。
- 2 -
統計的推測Ⅰ
問題１
標本
母集団 {a,b,c}から 2個抽出する。
（１）復元抽出の場合、
aa,ab,ac,ba,bb,bc,ca,cb,cc
の 9(=3 2 )通りの標本が考えられる。
（２）非復元抽出 (元に戻さない )の場合、
ab,ac,ba,bc,ca,cb
の 6(=3× 2)通りの標本が考えられる。
（３）非復元抽出 (一度に 2個選ぶ )の場合、
ab,ac,bc
の 3通りの標本が考えられる。
- 3 -
統計的推測Ⅰ
２．標本平均
「母集団から大きさ nの標本 x 1 ,x 2 ,… ,x n を無作為に抽出する」といった場合、次
のことを意味する。
x 1 ： 1番目に抽出される標本
x 2 ： 2番目に抽出される標本
・・・
x n ： n番目に抽出される標本
x 1 ,x 2 .… ,x n は、独立（互いに影響されない）で、同一の母集団分布に従う確
率変数 X 1 ,X 2 .… ,X n の実現値である。
身長や体重などの測定を慎重に行ったり、大量の製品から無作為に選ぶような
場合が考えられる。
標本の平均値を表す確率変数 X は、標本平均と呼ばれる。
X =
X1 + X2 + … + Xn
n
母集団の母平均が μ 、母分散が σ 2 のとき、確率変数 X 1 ,X 2 ,… ,X n の平均、
分散はμ、σ2 となる。したがって、標本平均の平均と分散は次のように計算さ
れる。
●標本平均の平均
E(X) = E(
=
1
n
X1 + X2 + … + Xn
)
n
(E(X 1 ) + E(X 2 ) + … + E(X n ))
= μ
すなわち、標本平均の平均は、母平均に等しい。
（参考）標本平均のように標本のデータに基づく統計量で、母数を推定する量を
推定量という。また、期待値をとると母数と同じ値になる推定量を
不偏推定量という。
したがって、標本平均は不偏推定量である。
- 4 -
統計的推測Ⅰ
●標本平均の分散
確率変数 X 1 ,X 2 ,… ,X n は独立であるから、
V(X) = V(
=
=
1
n2
X1 + X2 + … + Xn
)
n
(V(X 1 ) + V(X 2 ) + … + V(X n ))
σ2
n
すなわち、標本平均の分散は、母分散の 1/nになる。
一般に、中心極限定理が成り立つ。
母平均 μ 、母分散 σ 2 の母集団から抽出（復元、非復元）した大きさ nの
標本平均 X の分布は、 nが大きければ、平均 μ 、分散 σ 2 /nの正規分布に従う。
X ～ N(μ ,σ 2 /n)
母集団
標本１
x 11 , x 12 , … , x 1n
x 1=
x11+x12+…+x1n
n
標本２
x 21 , x 22 , … , x 2n
x 2=
x21+x22+…+x2n
n
標本３
x 31 , x 32 , … , x 3n
x 3=
x31+x32+…+x3n
n
標本ｋ
x k1 , x k2 , … , x kn
x k=
xk1+xk2+…+xkn
n
母平均：μ
母分散：σ2
母集団から k組の標本（標本１、標本２、 … 、標本ｋ）を無作為抽出し、
k個の標本平均 x 1 , x 2 , … , x k を求める。
標本平均の値をいくつかの階級に分割し、 k個の標本平均から、高さが確率密
度の棒グラフを描くと、平均 μ 、分散 σ 2 /n の正規分布に近づく。
- 5 -
統計的推測Ⅰ
３．推定の考え方
３ .１
母平均の推定
母集団の母平均を標本の値を使って推定する。
３ .１ .１
母標準偏差が既知の場合
母平均 μ 、母分散 σ 2 の母集団から大きさ nの標本 x 1 ,x 2 ,… ,x n を抽出すると
き、標本平均 X は、平均 μ 、分散 σ 2 /nの正規分布にしたがう。
したがって、Z =
X - μ
は、平均 0、標準偏差 1の標準正規分布にしたがう。
σ
n
● 信頼係数 1-α の信頼区間 (0≦ α ≦ 1)
z(α /2)を標準正規分布の上側 α /2点とするとき、確率変数 Z について、
1 - α = P(-z(α /2)≦ Z≦ z(α /2))
= P(-z(α /2)≦
X - μ
σ/
≦ z(α /2))
n
が成り立つ。すなわち、実現値 x 1 ,x 2 ,… ,x n ,x によって得られる zが、
-z(α /2)≦ z≦ z(α /2) の値となる確率が 1-α である。
標準正規分布の確率密度関数
この部分の面積 1-α
この部分の面積 α /2
この部分の面積 α /2
0
z
-z(α /2)
z(α /2)
不等式を変形すると、
1 - α = P(X - z(α /2)
σ
≦ μ ≦ X + z(α /2)
n
σ
)
n
となる。
x - z(α /2)
σ
≦ μ ≦ x + z(α /2)
n
σ
n
を信頼係数 1-α の信頼区間という。
（注意）信頼区間は、実現値によって異なる。
- 6 -
統計的推測Ⅰ
● 信頼係数 95%の信頼区間
α =0.05 のとき、 z(0.025)≒ 1.96 である。
P(|Z|≦ 1.96)≒ 0.95より
標準正規分布の確率密度関数
この部分の面積 0.025
この部分の面積 0.025
0
z
-1.96
1.96
実現値 x 1 ,x 2 ,… ,x n , x に対して、母平均 μ の信頼係数 95%の信頼区間は
x -
1.96σ
≦ μ ≦ x +
n
1.96σ
n
となる。
すなわち、大きさ nの標本を m回抽出すると、 m個の信頼区間を得るが、
このとき、およそ m× 0.95個の信頼区間は、母平均 μ を含んでいるという意味で
ある。
母平均μを含む信頼区間
母平均μを含まない信頼区間
μ
● 信頼係数 99%の信頼区間
α =0.01 のとき、 z(0.005)≒ 2.58 である。
実現値 x 1 ,x 2 ,… ,x n , x に対して、母平均 μ の信頼係数 99%の信頼区間は
x -
2.58σ
n
≦ μ ≦ x +
2.58σ
n
- 7 -
統計的推測Ⅰ
問題１
（１）ある国の国民をランダムに 400人選んで、体重を測定したところ平均 60kg
であった。母標準偏差を 3kgとして、この国の国民の平均体重 μ に対する
信頼係数 95%の信頼区間は、
z(0.05/2)=1.96
1.96× 3
1.96× 3
60 ≦ μ ≦ 60 +
400
60 - 0.29
400
≦ μ ≦ 60 + 0.29
である。
（２）ある国の国民をランダムに 400人選んで、体重を測定したところ平均 60kg
であった。母標準偏差を 3kgとして、この国の国民の平均体重 μ に対する
信頼係数 99%の信頼区間は、
z(0.01/2)=2.58
2.58× 3
2.58× 3
60 ≦ μ ≦ 60 +
400
60 -
400
0.39
≦ μ ≦ 60 +
0.39
である。
（３）ある国の国民一人当たりの体重の母標準偏差を 3kgとする。母平均を
信頼係数 95%で推定し、信頼区間の幅を 0.5kg以下にしたい。
標本の大きさを求めよ。
信頼区間の幅は、
2× 1.96×
3
≦ 0.5
n
より、
n ≧
2× 1.96× 3
2
0.5
= 554
である。
（４）ある国の国民一人当たりの体重の母標準偏差を 3kgとする。母平均を
信頼係数 99%で推定し、信頼区間の幅を 0.5kg以下にしたい。
標本の大きさを求めよ。
信頼区間の幅は、
2× 2.58 ×
3
≦ 0.5
n
より、
n ≧
2× 2.58× 3
0.5
2
= 959
である。
- 8 -
統計的推測Ⅰ
３ .１ .２
母標準偏差が未知の場合
母標準偏差を事前に知ることは難しい。その代わりに不偏標本分散 S2 を考え
る。
n
Σ (X i
S2 =
- X) 2
i=1
n-1
このとき、
X - μ
T =
は、自由度 n-1の t分布にしたがう。
S
n
● t分布は y軸について左右対称で、標準正規分布に近い。
自由度３
自由度１０
自由度５０
t分布
0.16
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
-4
-3.2
-2.4
-1.6
-0.8
0
0.8
1.6
2.4
3.2
4
（考察）
標本調査では、母平均の値はわからないことが多いので、標本平均を使わざる
を得ない。また、分散も標本平均からのずれを示す標本分散 U2 を考えざるを得
ない。
n
Σ (X i - X) 2
i=1
U2 =
n
n-1
ところが、標本分散 U 2 の期待値は、 E(U 2 )=
σ2 となり不偏推定量でない。
n
そこで、
n
n-1
倍して不偏推定量となる不偏標本分散 S2
n
Σ (X i
S2 =
- X) 2
i=1
n - 1
を使う。
- 9 -
統計的推測Ⅰ
●標本分散と不偏標本分散の期待値
・標本分散
1
U 2=
n
n
(X i - X ) 2
i=1
X i - X = (X i - μ ) - (X -μ ) とする。
n
n
(X i - X
)2
(X i- μ )- ( X - μ )
=
i= 1
2
i=1
n
(X i - μ ) 2 - 2 (X i - μ )( X - μ ) + ( X - μ ) 2
=
i=1
n
n
( X i - μ ) 2+
=
i= 1
i= 1
n
n
X i ・ X +2
-2
i= 1
( X - μ )2
n
X i ・μ +2
i= 1
n
X ・μ - 2
i=1
μ2
i=1
n
(X i - μ ) 2+ n( X - μ ) 2 - 2n X 2 +2 μ n X +2 μ n X - 2 n μ 2
=
i= 1
n
(X i - μ ) 2 + n ( X - μ ) 2 - 2 n ( X - μ ) 2
=
i= 1
n
(X i - μ ) 2 - n ( X - μ ) 2
=
i= 1
- 10 -
統計的推測Ⅰ
よって、
E ( U 2) = E
1
=E
=
1
n
=
n
n
1
n
( X i- μ )2- ( X - μ )2
i= 1
n
(X i -μ)2 -E ( X -μ)2
i=1
n
(X i -μ)2 -E ( X -μ)2
E
1
n
i=1
V (X 1 + V ( X 2 ) + … + V (X n ) ) - V ( X )
n・ σ 2 σ 2
=
n
n
n- 1
=
σ 2
n
・不偏標本分散
1
2
S =
S 2=
n- 1
n
( X i- X )2
i= 1
n
U2 より
n- 1
n
E( U 2 )
n- 1
n n- 1
=
σ2
n- 1 n
E ( S 2 )=
=σ 2
- 11 -
統計的推測Ⅰ
ここで、 X、 S は既知なので、母平均 μ について推定ができる。
自由度 n-1の t分布の上側 α /2点を t(n-1;α /2)とする。
自由度 n-1の t分布
この領域の面積は α /2
この領域の面積は α /2
-t(n-1;α /2)
T =
X - μ
S
0
t(n-1;α /2)
は、自由度 n-1の t分布にしたがうことより、
n
1 - α = P(-t(n-1;α /2)≦ T≦ t(n-1;α /2))
X - μ
= P(-t(n-1;α /2)≦
S
≦ t(n-1;α /2))
n
= P(X - t(n-1;α /2)
S
≦ μ ≦ X + t(n-1;α /2)
n
S
)
n
が成り立つ。
実現値 x 1 ,x 2 ,… ,x n , x, s によって得られた
x - t(n-1;α /2)
s
≦ μ ≦ x + t(n-1;α /2)
n
s
n
が信頼係数 1-α の信頼区間である。
すなわち、大きさ nの標本を m回抽出すると、 m個の信頼区間を得るが、
このとき、およそ m(1-α )個の信頼区間は、母平均 μ を含んでいるという意味で
ある。
- 12 -
統計的推測Ⅰ
● t(n;α /2)の値
α
0.001
自由度n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
636.619
31.599
12.924
8.610
6.869
5.959
5.408
5.041
4.781
4.587
0.01
0.05
63.657
9.925
5.841
4.604
4.032
3.707
3.499
3.355
3.250
3.169
12.706
4.303
3.182
2.776
2.571
2.447
2.365
2.306
2.262
2.228
● Excelでの計算法
関数 tinv(α ,自由度）で、両側 α 点を求める。
問題１
（１）あるクラスからランダムに選んだ 8人の成績が、 45,85,26,39,54,10,55,
56 であった。平均 μ に対する信頼係数 95%の信頼区間を求めよ。
このクラスの平均 μ に対する信頼係数 95%の信頼区間は、
46.25 -
t(7;0.05/2)× 22.4
≦ μ ≦ 46.25 +
t(7;0.05/2)× 22.4
8
46.25 -
2.365× 22.4
8
≦ μ ≦ 46.25 +
8
2.365× 22.4
8
46.25 - 18.73 ≦ μ ≦ 46.25 + 18.73
27.52 ≦ μ ≦ 64.98
である。
- 13 -
統計的推測Ⅰ
３ .２
母分散の推定
母分散を σ 2とし、不偏標本分散 S2 を考える。
n
Σ (X i
S2 =
i=1
- X) 2
n-1
このとき、
χ2 =
(n-1)S 2
σ2
は、自由度 n-1の χ 2 分布にしたがう。
● χ 2分布
χ２乗分布（自由度1
乗分布（自由度1～5)
0.60
自由度１
0.50
自由度２
0.40
自由度３
自由度４
0.30
自由度５
0.20
0.10
0.00
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10
ここで、 X、 S は既知なので、母分散 σ 2 について推定ができる。
自由度 n-1の χ 2 分布の上側 α /2点を χ 2 (n-1;α /2)、上側 1-α /2点を χ 2 (n-1;1
-α /2)とする。
自由度 n-1の χ 2 分布
この部分の面積 1-α
この領域の面積は α /2
-χ 2 (n-1;1-α /2)
この領域の面積は α /2
χ 2 (n-1;α /2)
- 14 -
統計的推測Ⅰ
χ2 =
(n-1)S 2
σ2
は、自由度 n-1の χ 2 分布にしたがうことより、
1 - α = P(-χ 2 (n-1;1-α /2)≦ χ 2 ≦ χ 2 (n-1;α /2))
= P(-χ 2 (n-1;1-α /2)≦
= P(
(n-1)S 2
χ 2 (n-1;α /2)
(n-1)S 2
σ2
≦ χ 2 (n-1;α /2))
(n-1)S 2
≦ σ 2≦
)
χ 2 (n-1;1-α /2)
である。
実現値 x 1 ,x 2 ,… ,x n , x, s によって得られた
(n-1)s 2
χ 2 (n-1;α /2)
≦ σ2 ≦
(n-1)s 2
χ 2 (n-1;1-α /2)
が信頼係数 1-α の信頼区間である。
すなわち、大きさ nの標本を m回抽出すると、 m個の信頼区間を得るが、
このとき、およそ m(1-α )個の信頼区間は、母分散 σ 2 を含んでいるという意味で
ある。
- 15 -
統計的推測Ⅰ
３ .３
母比率の推定
不良率が pの母集団から大きさ nの標本を無作為に抽出したとき、不良品の個数
を Xとする。 Xは確率変数で２項分布 B(n,p)に従う。 nが十分に大きいとき、正規
分布 N(np、 np(1-p))に近い。したがって、
X - np
Z =
は、平均 0、標準偏差 1の標準正規分布にしたがう。
n p (1 -p )
● 信頼係数 95%の信頼区間
P(|Z|≦ 1.96)≒ 0.95より
|X - np|
P(|Z|≦ 1.96) = P(--------- ≦ 1.96)
n p (1 -p )
= P(|X - np|≦ 1.96
n p (1 -p ) )
≒ 0.95
P(X - 1.96
n p (1 -p ) ≦ np ≦ X + 1.96
n p (1 -p ) ) ≒ 0.95
となる。 Xの実現値を xとすると、
x
n
- 1.96
p(1-p)
n
≦ p ≦
x
n
p(1-p)
+ 1.96
n
ここで、 pを p 0 = x/n と見なして、
p 0 - 1.96
p0(1-p0)
≦ p ≦ p 0 + 1.96
n
p0(1-p0)
n
を母比率に対する信頼係数 95%の信頼区間を得る。
（考察） pを p 0 = x/n と見なす理由
p=0.2, p 0 =0.1, n=1000とすると ,
p(1-p)
n
-
p0(1-p0)
n
= 0.01265 - 0.00949 = 0.00316
となる。
pと p 0 の値が異なれば、
p(1-p)
の差ほどではない。そこで、
と
n
p(1-p)
n
p0(1-p0)
n
と
しまう。
- 16 -
の値も異なるが、その差は pと p 0
p0(1-p0)
n
はほとんど同じと見なして
統計的推測Ⅰ
● 信頼係数 99%の信頼区間
P(|Z|<2.58)≒ 0.99より
P(X - 2.58
n p (1 -p ) ≦ np ≦ X + 2.58
n p (1 -p ) ) ≒ 0.99
となる。
p 0 - 2.58
p0(1-p0)
n
≦ p ≦ p 0 + 2.58
p0(1-p0)
n
を母比率に対する信頼係数 99%の信頼区間を得る。
問題１
（１）ある工場で、 1000個の製品中、 40個の不良品が見つかった。
不良率の信頼係数 95%の信頼区間は、
p 0 = 40/1000 = 0.04
40/1000 - 1.96
0.04 - 1.96
p0(1-p0)
n
0.04× 0.96
1000
≦ p ≦ 40/1000 + 1.96
≦ p ≦ 0.04 + 1.96
p0(1-p0)
n
0.04× 0.96
1000
0.04 - 0.012 ≦ p ≦ 0.04 + 0.012
0.028 ≦ p ≦ 0.052
（２）ある工場で、 1000個の製品中、 40個の不良品が見つかった。
不良率の信頼係数 99%の信頼区間は、
p 0 = 40/1000 = 0.04
40/1000 - 2.58
0.04 - 2.58
p0(1-p0)
n
0.04× 0.96
1000
≦ p ≦ 40/1000 + 2.58
≦ p ≦ 0.04 + 2.58
0.04 - 0.016 ≦ p ≦ 0.04 + 0.016
0.024 ≦ p ≦ 0.056
- 17 -
p0(1-p0)
n
0.04× 0.96
1000
統計的推測Ⅰ
４．問題
問題１
（１）ある国の国民をランダムに 100人選んで、身長を測定したところ平均 160cm
であった。母標準偏差を 8cmとして、この国の国民の平均身長 μ に対する
信頼係数 95%の信頼区間を求めよ。
信頼係数 95%の信頼区間は、
160 - ①
≦ μ ≦ 160 + ①
である。
（２）ある国の国民をランダムに 100人選んで、身長を測定したところ平均 160cm
であった。母標準偏差を 8cmとして、この国の国民の平均身長 μ に対する
信頼係数 99%の信頼区間を求めよ。
信頼係数 99%の信頼区間は、
160 - ②
≦ μ ≦ 160 + ②
である。
（３）ある国の国民一人当たりの身長の母標準偏差を 8cmとする。母平均を
信頼係数 95%で推定し、信頼区間の幅を 1cm以下にしたい。
標本の大きさ nを求めよ。
n≧ ③
（４）ある国の国民一人当たりの身長の母標準偏差を 8cmとする。母平均を
信頼係数 99%で推定し、信頼区間の幅を 1cm以下にしたい。
標本の大きさを求めよ。
n≧ ④
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