後期No.9

9.1.(ex.6.2.8)
前半
X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) を ⃝
1 未知の平均 µ と既知の分散 σ 2 をもつ正規分布からのランダム標本とす
¯ は µ の有効推定量である
ると,⃝
2X
⃝
1
X1 , . . . , Xn ∼ X, fX (x, µ)
{
}
(xi − µ)2
fXi (xi ; µ) = √
exp −
2σ 2
2πσ 2
1
X1 , . . . , Xn : 互いに独立より, 総合 pdf は
{
}
n
n
1 ∑
2
fX (x, µ) =
fXi (xi , µ) = (2πσ ) 2 exp − 2
(xi − µ)
2σ i=1
i=1
n
∏
−
2
⃝
2 示すべきことは以下の (i) 及び (ii)
(i) X は µ の不偏推定量
(ii) eﬀ µ (X) = 1
(i) 偏り E(X) = µ が 0 であることを言えばよい
[ n
]
n
1∑
1∑
E(X) = E
Xi =
E(Xi )
n i=1
n i=1
=
1
· nµ = µ よって OK
n
(ii) eﬀ(X を算定するための準備
[{
}2 ]
∂
In (µ) = E
log f (x, µ)
∂µ
{
)}2 
(
n
∑
∂
n
1

=E
(Xi − µ)2
− log(2πσ 2 ) − 2
∂µ
2
2σ i=1
{
}2 
n
∑
1
=E
(Xi − µ) 
σ 2 i=1
{
}2 
n
∑
1
n
n
= 4 E
(Xi − µ)  = 4 · σ 2 = 2
σ
σ
σ
i=1
|
{z
}
(∗)


n
∑
∑
(∗) = E  (Xi − µ)2 +
(Xi − µ)(Xj − µ)
i=1
[
1
=n·E
n
i̸=j
n
∑
]
(Xi − µ)2 +
i=1
∑
i̸=j
(
Var(X) = Var
=
E(Xi − µ) E(Xj − µ)
| {z } | {z }
=0
1∑
Xi
n i=1
n
)
=0
( n
)
∑
1
= 2 Var
Xi
n
i=1
n
σ2
1 ∑
1
2
nσ
=
Var(X
)
=
i
n2 i=1
n2
n
1
(∵ Xi ∼ N (µ, σ 2 ))
以上により
eﬀµ (X) =
1
=
In (µ)Var(X)
n
σ2
1
2 = 1
· σn
後半
X−
σ2
n
は µ2 の MUVE であること
[
]
σ2
σ2
2
2
E X −
= E[X ] −
n
n
= Var(X) + {E[X]}2 −
=
2
よって X −
σ2
n
σ2
n
σ2
σ2
+ µ2 −
= µ2
n
n
は µ2 の不偏推定量である.
→レーマンシェフ or クラーメル・ラオの不等式で示す.
9.2.(ex.6.3.2)
2
1
1
e− 2σ2 (x−µ) ,
f (x) = √
2πσ 2
−∞ < x < ∞
ゆうど
ランダム標本であるから尤度関数は
L(µ, x) =
n
∏
f (xi , µ) = (2πσ 2 )− 2
n
e− 2σ2 (xi −µ)
1
)
( n
∑
n
1
2
2
log L(µ, x) = − + log(2πσ )L
(− 2 (xi − µ) )
2
2σ
i=1
n
n
1 ∑
2
(xi − µ)2
= − log(2πσ ) − 2
2
2σ i=1
対数尤度を偏微分したものは
n
∂
1 ∑
log(µ, x) = 2
(xi − µ)
∂µ
σ i=1
尤度方程式は
n
1 ∑
(xi − µ
ˆ) = 0,
σ 2 i=1
n
∑
xi − nˆ
µ=0
i=1
よってこの方程式を満たす µ
ˆは
1∑
µ
ˆ=
(xi ) = X
n i=1
n
さいゆう
実際に µ
ˆ = X のとき L(µ, x) は最尤となる
したがって,ˆ
µ = X は平均の MLE である
9.3.(ex.6.4.5)
2
i=1
i=1
対数尤度関数は
n
∏

e−(x−θ) θ ≤ x
f (x; θ) =
0 その他
2
ここで µ1 は母関数の 1 次積率とすると
∫
∞
µ1 = E[X] =
=e
xe−(x−θ) dx
θ
[
θ
−xe−x
]∞
[
]∞
+ e−x θ
θ
−θ
= eθ (θe−θ + e
)
=θ+1
より,θ = µ1 − 1
θ のモーメント法推定量は
θˆ = µ
ˆ 1 − 1 = µ1 − 1 = X − 1
1∑
Xi の 1 次の積率確率 )
n i=1
n
(µ1 =
9.4.(ex.6.5.8)
3

Download Report