中２ 連立方程式 １．連立方程式の計算 中２で出てくる連立方程式は、正式には２元１次方程式といいます。「元」というのは文字の種類。つま り、２種類の文字を使っている１次方程式、ということで、普通ｘとｙの２つの文字を使います。これらのｘや ｙを求めるためには、２つの式が必要となります。例えば、ｘ＋ｙ＝５という１つの式だけでｘやｙを求めよう としても、ｘ＝１，ｙ＝４とか、ｘ＝２，ｙ＝３とか、無数の解が存在することになり、１つ（１組）に特 定することはできません。（不定といいます）ですから、ｘとｙの解をそれぞれ１つに特定するためには２つの 式が必要になるのです。 例えば、３ｘ＋２ｙ＝５，ｘ＋２ｙ＝３という２つの式があったとします。この連立方程式を解く方法は ２種類。加減法と代入法という２つの方法があります。ほとんどの教科書では加減法から入っているので、ここ でも加減法から説明していきます。加減法というのは、その名前の通り、加減、つまり、加法や減法を使う方法 です。ここでは、最初の式から２番目の式を引きます。といっても、「辺々を引く」というのですが、これらの式を上 下２段に書きます。そして、３ｘからｘを、２ｙから２ｙを、５から３を引くのです。さらにその答えを下に書き ます。そうすると、ｙの部分が消えて、２ｘ＝２だけが残り、ｘ＝１と、ｘの値を求めることができます。 ３ｘ＋２ｙ＝５ －）ｘ＋２ｙ＝３ ２ｘ ＝２ ｘ＝１ ｘを求めることができたら、次は、元の式のどちらかのｘに１を代入します。下の式のｘに１を代入すると、 １＋２ｙ＝３というように、今度はｙだけの式になります。これを解いて、ｙ＝１。これで連立方程式を解い たことになるのです。ちなみに、今の２つの式を足してみると、４ｘ＋４ｙ＝８という式になり、これでは解けま せん。加減法のポイントは、ｘまたはｙ、どちらかの文字を消すことです。２つの式を足しても消せないとき引い てみる。しかし、次のように足しても引いても２つの文字が残ったまま、ということもあります。 ３ｘ＋２ｙ＝５ ２ｘ－５ｙ＝－３ これらの２つの式を足すと５ｘ－３ｙ＝２，引くとｘ＋７ｙ＝８になってしまい、どちらもｘ、ｙの２つの 文字が残ったまま。こういう場合は、ｘかｙのどちらかにターゲットを絞り、その文字の係数、この場合のｘなら、 ３と２，ｙなら２と－５の最小公倍数を考えます。ｘにターゲットを絞ったとしましょう。３と２の最小公倍数 は６ですね。そこで、ｘの係数を最小公倍数の６にするのです。そのためには、３ｘの方は２倍、２ｘの方は ３倍しなければなりません。もちろん、３ｘだけ２倍するのではなく、上の式全体を２倍します。下の式も全体 を３倍します。そうすると、 ６ｘ＋４ｙ＝１０ ６ｘ－１５ｙ＝－９ これで、ｘの係数が揃いました。あとは引き算をすればｘが消えて１９ｙ＝１９，ｙ＝１と、ｙを求めるこ とができます。上の式を５倍、下の式を２倍してｙを消すこともできます。どちらを消しても構いませんが、できる だけ計算が簡単になるように、ターゲットを決めて下さい。 このとき、間違いやすいポイントは、左辺だけを何倍かしたけれど、右辺はそのまま、という点です。また、連立 方程式の場合、ｘとｙの両方の答えが合っていないと正解にはなりません。ｘは合っていたけど、ｙを間違え た、というときに、△にはなりません。バツです。なので、最初にｘが出たからといって安心せず、ｙが出るまで気を 抜かずに計算することが大事です。 では次に、代入法について説明しましょう。連立方程式の問題の中には、下のような形で書かれている問題 があります。 ３ｘ＋２ｙ＝５ ｙ＝４ｘ－３ この場合、１つの方法として、下の式の右辺にある４ｘを左辺に移項し、－４ｘ＋ｙ＝－３としてから加 減法で解くこともできます。が、普通、このように１つ式がｙ＝とかｘ＝という形になっている場合は、代入法と いう方法を使います。これは、上の式のｙの代わりに、下の式の４ｘ－３を入れる、代入するという方法です。 そうすると、上の式が、３ｘ＋２（４ｘ－３）＝５という形になります。このあとは、普通の１次方程式を解 くのと同じです。ここでｘ＝１と、ｘを求めたら、下の式のｘに１を代入するとｙを求めることができます。このよ うに、代入法では、片方の答えが出ると、もう一方の答えが比較的簡単に出せるという長所があります。あと は、途中の（）を外すときに間違えずに計算する、ということが大事です。 基本的に、連立方程式は、加減法でも代入法でも、好きな方で解いて構いません。ただし、中学校のテス トでは、「加減法で解きなさい。」とか「代入法で解きなさい。」と方法を指定され、途中の計算も書かなければ ならないという場合もあります。どちらの方法もしっかりマスターしておきましょう。 ２．連立方程式の応用 連立方程式の応用問題は、中１の１次方程式に比べてパターンが多く、結構苦労するところでもありま す。今回は、その中でも特によく出題される問題を例に挙げながら見ていきましょう。 （１）整数に関する問題 「２けたの整数がある。この整数の各位の数の和は１２で、十の位の数と一の位の数を入れかえると、もと の整数より１８小さくなるという。もとの整数を求めなさい。」 問題としてはそれほど難しくないのですが、式を作るときに結構間違いやすい問題でもあります。１次方程式 と違って、連立方程式の場合は、求めたい数が２つあるので、片方をｘ、もう一方をｙとします。この問題で は、もとの整数の十の位の数をｘ、一の位の数をｙとします。１つめの式は、「各位の数のわは１２」というとこ ろから、ｘ＋ｙ＝１２。２つめの式は、「十の位と一の位を入れかえると、もとの整数より１８小さくなる。」と いうところから作ります。もとの整数をｘとｙを使って表すと、１０ｘ＋ｙ。十の位と一の位を入れかえた数は ｘ＋１０ｙとなります。ここでよく考えないといけないのは、１０ｘ＋ｙから１８を引くのか、ｘ＋１０ｙから １８を引くのか、迷うところです。このような場合、もとの数と入れかえた数、どちらが大きいのか、を考えてみて 下さい。十の位と一の位を入れかえると、もとの整数より１８小さい、と言っているのですから、大きいのはもとの 整数ですね。つまり１０ｘ＋ｙの方が大きいわけです。そこで、１０ｘ＋ｙとｘ＋１０ｙを＝でつなげようと すると、１０ｘ＋ｙの方が大きいわけですから、このままでは＝でつなぐことはできません。＝にするためには、大 きい方から１８を引くか、または小さい方に１８を足すことで＝になるのです。つまり、２つめの式は、１０ｘ ＋ｙ－１８＝ｘ＋１０ｙ（または１０ｘ＋ｙ＝ｘ＋１０ｙ＋１８）ということになります。 このように、両辺のどちらに足せばよいのか（どちらから引けばよいのか）がわからなくなった場合、足したり引 いたりする前の状態を考え、それをイコールでつなげるためにはどちらに足すか、引くかを考えるとよいでしょう。 式：ｘ＋ｙ＝１２ １０ｘ＋ｙ－１８＝ｘ＋１０ｙ 答：７５ （２）速さに関する問題 その１ 「Ａ地点から１２km 離れたＢ地点に行くのに、途中のＣ地点までは毎時３km の速さで歩き、Ｃ地点から Ｂ地点までは毎時５km の速さで歩いたら３時間かかった。Ａ地点からＣ地点までと、Ｃ地点からＢ地点ま での距離をそれぞれ求めなさい。」 連立方程式の速さの問題ではよくあるパターンです。必ず途中で速さが変わります。普通、このように途中で 速さが変わる場合、出発の地点から速さが変わる地点までの距離をｘkm、速さが変わった地点から目的地ま での距離をｙklm とおきます。１つめの式は道のりの式、つまり、Ａ地点からＣ地点までをｘkm、Ｃ地点から Ｂ地点までをｙkm、さらにＡ地点からＢ地点までは１２km なので、ｘ＋ｙ＝１２となります。２つめの式 は時間です。Ａ地点からＢ地点までは３時間かかっていますね。では、Ａ地点からＣ地点までの時間はという 距離 ｘ 速さ ３ と、毎時３Km でｘkm の道のりを進んでいるので、そのときにかかる時間＝ なので、 時間となります。同 ｙ 様に、Ｃ地点からＢ地点までは毎時５km でｙkm 進んだので、 時間と表せます。合計で３時間かかってい ５ ｘ ｙ ３ ５ るので、２つめのは ＋ ＝３という式になります。どうしても分数はイヤだ、という人は、Ｃ地点までの時間をｘ 時間、Ｃ地点からの時間をｙ時間とおく方法もありますが、答えが出た後で距離を求めないといけないので、で きれば距離をｘ、ｙとおいた方がよいと思います。 式：ｘ＋ｙ＝１２ ｘ ３ ｙ ＋ ＝３ ５ 答：Ａ～Ｃ ９ １５ ２ ２ km,、Ｃ～Ｂ km （３）速さに関する問題 その２ 「ある電車が長さ９００m の鉄橋を渡り始めてから渡り終わるまでに５４秒かかった。また、同じ電車が長 さ３２００m のトンネルに入ってから出るまで、トンネルに隠れていた時間は１５１秒だった。この電車の長さ と速さを求めよ。」 速さの問題でも少し難易度が高い問題です。この場合、電車の長さと速さという、種類の異なる２つのもの を求めなければいけない、という点が難しく感じるところです。難易度の低い問題では、x も y もどちらも値段だっ たり、どちらも人数だったり、長さだったり…と、求めたいものの種類、単位が同じであることが多いので、この問題 のように電車の長さと速さという種類の違うものを求めることに戸惑うことがありますね。さらに、鉄橋とトンネルが 登場してくるところもポイントで、問題に書かれている時間に電車が進んだ距離と、トンネルや鉄橋の長さが一 致しないという点も間違いやすいところです。まず、鉄橋を渡り始めてから渡り終わるまでに電車が進んだ距離 は、鉄橋の長さに電車の長さをプラスしなければいけません。鉄橋を渡り始めた瞬間というのは、電車の先頭 が、鉄橋の端っこを通過した瞬間。鉄橋を渡り終わった瞬間は、電車の最後尾が鉄橋の反対側の端っこを通 過した瞬間。そのとき、先頭はこの電車の長さ分だけ先にいることになるからです。一方、トンネルに隠れていた 時間に電車が進んだ距離は、トンネルの長さから電車の長さを引かなければいけません。これは、トンネルに隠 れる瞬間は、電車の最後尾がトンネルの入り口を通過した瞬間。先頭はその電車の長さ分だけもうトンネルの 中に入っています。トンネルから出る瞬間は、先頭がトンネルの出口を通過する瞬間。この間に電車が進んだ 距離は、トンネルの長さから電車の長さを引いた距離になります。 では、式を作ってみましょう。求めたいのは電車の長さと速さなので、電車の長さをｘm、速さを秒速ｙm とし ましょう。１つめの式は鉄橋を渡っている間の距離。５４秒間に秒速ｙm で走る電車が進んだ距離は５４ ｙと表せます。一方、先ほど書いたように、この間に電車が進んだのは鉄橋の長さと電車の長さを加えたもので すから、９００＋ｘ。従って、１つめの式は５４ｙ＝９００＋ｘとなります。２つめは、トンネルに隠れてい る間の距離。同じように、秒速ｙm の電車が１５１秒間に進む距離は１５１ｙ。この間、電車はトンネル の長さから電車の長さを引いた分を走るで、３２００－ｘ。従って、２つめの式は、１５１ｙ＝３２００ －ｘとなります。 式：５４ｙ＝９００＋ｘ １５１ｙ＝３２００－ｘ 答：電車１８０ｍ、秒速２０ｍ （４）人数の増減に関する問題 「ある学校の昨年の生徒数は５００人だった。今年は男子が６％、女子が２％増えたので、５１８人に なった。今年の男子と女子の人数をそれぞれ求めなさい。」 これもよくある問題ですが、注意したいのは、このような人数の増減などに関する問題では、求めたいものが 今年の人数であっても、必ず昨年の人数をｘやｙと置く、ということです。どうしても今年の人数を求めよと言わ れたら、今年の人数をｘやｙと置きたくなるところですが、６％増えたとか２％増えたといっているもとになるのが 昨年の人数なのです。昨年の男子の６％、昨年の女子の２％が増えた、ということですから、もとになっている 昨年の人数をｘ、ｙと置いて下さい。 さて、１つめの式ですが、これは昨年の人数ｘ＋ｙ＝５００という式です。２つめの式は２通りあって、今 年の人数（この問題なら１．０６ｘ＋１．０２ｙ＝５１８）の式を作る場合と、増減だけ（この問題な ら０．０６ｘ＋０．０２ｙ＝１８）の式を作る場合があります。どちらでもよいのですが、計算を簡単にし たいのなら増減だけの式の方がよいでしょう。ただし、男子が６％減り、女子が２％減ったので昨年より１８人 減った、という場合は－０．０６ｘ－０．０２ｙ＝－１８という式になります。それから、このｘやｙは昨 年の人数なので、ｘｙをそのまま答えに書くのではなく、今年の人数を計算することを忘れないようにしましょう。 式：ｘ＋ｙ＝５００ ０．０６ｘ＋０．０２ｙ＝１８ ｘ＝２００，ｙ＝３００ 答：男子２１２人、女子３０６人 （５）食塩水の濃度に関する問題 「４％と９％の食塩水を混ぜて６％の食塩水を４００g 作りたい。それぞれ何 g ずつ混ぜればよいか。」 この食塩水の問題、苦手な人が多いのではないでしょうか。まずは普通の解き方を紹介しておきましょう。 ４％の食塩水の量をｘｇ、９％の食塩水の量をｙｇとします。１つめの式は食塩水の量の式、ｘ＋ｙ＝ ４００になります。２つめの式は食塩の量です。４％の食塩水ｘｇの中に含まれる食塩の量、どう表せるか わかりますか？そもそも４％の食塩水というのは、食塩水の４％が食塩。言い換えると、食塩水の０．０４ 倍が食塩ということなのです。ですから、ｘｇの０．０４倍が食塩ということになります。小学校の割合でつま ずいている人が多いのですが、１％＝０．０１倍、１割＝０．１倍と覚えておいて下さい。ですから、ｘｇ の中の食塩の量は０．０４ｘ、ｙｇの中の食塩の量は０．０９ｙと表せます。そこで、２つめの式ですが、 混ぜた後、６％の食絵水が４００ｇになっているので、０．０４ｘ＋０．０９ｙ＝４００×０．０６と なります。 式：ｘ＋ｙ＝４００ ０．０４ｘ＋０．０９ｙ＝４００×０．０６ 答：４％２４０ｇ、９％１６０ｇ ところで、このように２種類の食塩水を混ぜる問題では、連立方程式を使わずに簡単に解く方法があるので 紹介しておきます。途中式を書け、という問題には使えませんが見直しをするときには使えるでしょう。 ２種類の濃度の違う食塩水を混ぜる場合、必ずできあがる食塩水の濃度は２種類の濃度（この場合は ４％と９％）の間の数（この問題では６％）になります。当たり前ですが４％と９％の食塩水を混ぜて ３％や１０％の食塩水になることは絶対にありません。そこで、この最初の２種類の食塩水の濃度と、混ぜた 後の食塩水の濃度との差に着目します。４％と６％、９％と６％の差はそれぞれ２％と３％ですね。これを ２：３という比に置き換えます。そしてそれを入れ替えて３：２にします。実はこれが４％の食塩水と９％の 食塩水の量の比になっているのです。４％と９％の食塩水を３：２の割合で混ぜると、６％の食塩水になる ことを表しているのです。４００ｇの食塩水にしたいのなら、４００ｇを３：２に分け、２４０ｇと１６０ ｇとなります。これが裏技。ただし、先ほども書いたように、式や途中の計算を書かなければならない問題では 使えません。式の作り方をしっかりとマスターした上で、見直しなどをするときに使うとよいでしょう。
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