数値解析
[2014 第５回目]
1
補間法
y = f (x)
x-2 x-1 x0 x1 x2

標本点　x
y=f (x) の値がとびとびの x につ
いてしか得られない場合がある。
これは、 f (x) の値が実験によっ
て与えられるような現実の問題で
は切実である。
これを数値解析により克服する
方法を学習する。
求めたい x の値が標本点の最大
と最小の区間内にあるときには
『内挿』、区間外にあるときは『外
挿』と呼ぶ
2
補間法
Lagrange補間
線形補間 = 一次補間
y = f (x) 求めたい近似式
近似式 = [0] + [1]
( x − x1 )
[0] = ( x − x ) f ( x0 )
0
1
形状関数と言う．
x0
a
x1
b
[0] x0でf(x0)， x1で0
( x − x0 )
f ( x1 )
[1] =
( x1 − x0 )
[1] x0で0， x1でf(x1)
3
補間法
Lagrange補間
二次補間
y = f (x) 求めたい近似式
近似式 = [0] + [1] + [2]
( x − x1 )( x − x2 )
[0] = ( x − x )( x − x ) f ( x0 )
0
1
0
2
[1]
[0]
x0
a
[2]
x1
x2
b
[0] x0でf(x0)， x1で0 ， x2で0
[1] x0で0， x1でf(x1) ， x2で0
[2] x0で0， x1で0 ， x2でf(x2)
( x − x2 )( x − x0 )
f ( x1 )
[1] =
( x1 − x2 )( x1 − x0 )
( x − x0 )( x − x1 )
f ( x2 )
[2] =
( x2 − x0 )( x2 − x1 )
x0，x1，x2が等間隔ならば
もっと楽
4
補間法
Lagrange補間
一般的な場合
y = f (x)
求めたい近似式
近似式 = [0] + [1] + ･･･+[j]+･･･[n]
( x − x1 )( x − x2 )  ( x − xn )
f ( x0 )
[0] =
( x0 − x1 )( x0 − x2 )  ( x0 − xn )
…
[0]
x0 x1
a
xn
[1]
b
j
[j] =
( x − x1 )( x − x2 )  ∨  ( x − xn )
j
f (x j )
( x j − x1 )( x j − x2 )  ∨  ( x j − xn )
n
n
近似式 =
∑
j =0
∏ (x − x )
i
i =1( ≠ j )
n
∏ (x
j
f (x j )
− xi )
i =1( ≠ j )
5
補間法
Lagrange補間　等間隔の標本点のとき
２点 f (x0 + ph) ≈ (1− p) f0 + pf1
３点 f (x0 + ph) ≈
４点
５点
p( p −1)
( p +1)p
f−1 − ( p +1)( p −1) f0 +
f1
2
2
f (x0 + ph) ≈ −
p( p −1)( p − 2)
( p +1)( p −1)( p − 2)
f−1 +
f0
6
2
( p +1)p( p − 2)
( p +1)p( p −1)
−
f1 +
f2
2
6
p( p 2 −1)( p − 2)
p( p −1)( p 2 − 4)
f (x0 + ph) ≈
f−2 −
f−1
24
6
( p 2 −1)( p 2 − 4)
( p +1)p( p 2 − 4)
( p + 2)p( p 2 −1)
+
f0 −
f1 +
f2
4
6
24
これらを微分すると数値微分公式が得られる
6
補間法
誤差推定
f(x)がn次以下の多項式である場合は、その多項式は一
意に決まるので誤差は零。
一般にラグランジュ補間の誤差は、最大と最小の標本点
の間にある t について、以下の式で表わすことができる
ことが知られている。
f (n+1) (t)
ε = (x − x0 )(x − x1 )(x − xn )
(n +1)!
また、標本点の間隔が一定の場合は、誤差が標本の間
隔のn+1乗に比例することが予想される。
7
補間法
次数と補間誤差
ラグランジュ補間において，近似する多項式の次数 n を
上げることによって生じる問題．
1
Rungeの現象 f ( x) =
1 + 25 x 2
1.5
1
y
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
x
8
補間法
次数と補間誤差
ラグランジュ補間において，近似する多項式の次数 n を
上げることによって生じる問題．
1
Rungeの現象 f ( x) =
1 + 25 x 2
1.5
n=0
n=2
1
y
0.5
0
n=1
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
x
9
補間法
次数と補間誤差
ラグランジュ補間において，近似する多項式の次数 n を
上げることによって生じる問題．
1
Rungeの現象 f ( x) =
1 + 25 x 2
1.5
1
y
0.5
0
-0.5
n=4
n=8
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
x
10
補間法
次数と補間誤差
ラグランジュ補間において，近似する多項式の次数 n を
上げることによって生じる問題．
多数の標本点を利用できるのであれば、補間によって値
を得たい点をできるだけ標本点群の中央に近づけられる
ような標本点を選択して補間計算を行なうと良い.
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