解説 - H.Yagyu Web

高３数 γ
No. 13
積分（３）
（平成１７年東工大）
問 31
数列 {an } を，an =
!
e
1
（理系問題演習／柳生）
(log x)n dx (n = 1, 2, 3, · · · ) で定義する．
(1) n ! 3 のとき，次の漸化式を示せ．
an = (n − 1)(an−2 − an−1 )
(2) n ! 1 に対し，an > an+1 > 0 となることを示せ．
(3) n ! 2 のとき，次の不等式が成立することを示せ．
3 · 5 · · · · · (2n − 1)
a2n <
(e − 2)
4 · 6 · · · · · (2n)
!
#
解答の方針 $
"
・(2) 「積分の単調性」の利用を考える．
・(3) 帰納法．結論から逆にたどり，示すべき不等式を明確にする．
(解) (1) 部分積分法より
!
"
!
#e
e
1
(log x) dx = x(log x)
−
x · · n(log x)n−1 dx
x
1
1
1
! e
=e−n
(log x)n−1 dx = e − nan−1 · · · "
1
an =
e
n
n
1
"
1 で n を n − 1 とすると
an−1 = e − (n − 1)an−2 · · · "
2
",
1 "
2 の辺々を引くと
an − an−1 = −nan−1 + (n − 1)an−2 よって an = (n − 1)(an−2 − an−2 )
が成り立つ．
（証明終）
(2) 1 " x " e のとき，0 " log x " 1 が成り立つ．よって
0 " (log x)n+1 " (log x)n (1 " x " e) · · · "
3
が成り立つ．"
3 の等号は恒等的には成り立たないから，辺々を [ 1, e ] で積分すると
!
e
0dx <
1
!
e
(log x)
n+1
dx <
1
!
e
(log x)n dx すなわち 0 < an+1 < an
1
が成り立つ．
（証明終）
(3) 自然数 n(! 2) に関する数学的帰納法で示す．
n = 2：
!
e
"
#e
!
e
1
x · 2 log xdx = e − 2
x
1
1
1
3
3
(1), (2) より，a4 = 3(a2 − a3 ) < 3(a2 − a4 ) よって a4 < a2 = (e − 2) が成り立つ．
4
4
n = k (k ! 2) のときに不等式
a2 を求めると，a2 =
2
(log x) dx =
a2k <
x(log x)
2
−
3 · 5 · · · · · (2k − 1)
(e − 2) · · · "
4
4 · 6 · · · · · (2k)
2014/9/11
が成り立つと仮定する．
n = k + 1 のときを考える．"
4 の両辺に
2k + 1
を掛けると
2(k + 1)
2k + 1
3 · 5 · · · · · (2k − 1)(2k + 1)
a2k <
(e − 2) · · · "
5
2(k + 1)
4 · 6 · · · · · (2k)(2(k + 1))
となる．
!
♠（答案外）ここでどう考えたか
2k + 1
あとは a2(k+1) <
a2k が成り立てばよい．式変形してみると．
．
．
2(k + 2)
"
2k + 1
2k + 1
a2k ⇐⇒ (2k + 1)(a2k − a2k+1 ) <
a2k
2(k + 2)
2(k + 1)
⇐⇒ (2k + 2)(a2k − a2k+1 ) < a2k
a2(k+1) <
⇐⇒ (2k + 1)(a2k − a2k+1 ) < a2k+1
⇐⇒ a2k+2 < a2k+1 · · · ★
これを逆にたどれば，不等式は示せる．
もう少し考えてみようかな．(1) より
a2k+2 = (2k + 1)(a2k − a2k+1 )
だから
a2k+1 = a2k −
1
a2k+2
2k + 1
★にこれを代入すれば，すぐに目的の不等式が示される！やったね！
#
また，(2) より a2k+2 < a2k+1 が成り立つ．よって
$
1
a2k+2 < a2k+1 ⇐⇒ a2k+2 < a2k −
a2k+2 (∵ (1))
2k + 1
2k + 2
2k + 1
⇐⇒
a2k+2 < a2k ⇐⇒ a2(k+1) <
a2k · · · "
6
2k + 1
2(k + 1)
が成り立つので，",
5 "
6 より
a2(k+1) <
3 · 5 · · · · · (2k − 1)(2k + 1)
(e − 2)
4 · 6 · · · · · (2k)(2(k + 1))
が成り立ち，n = k + 1 のときにも不等式が成り立つ．よって，数学的帰納法により題意は示された．
（証明終）
（平成１４年東大）
$
%
k
k
問 32 O を原点とする xyz 空間に点 Pk , 1 − , 0 (k = 0, 1, · · · , n) をとる．また，z 軸上 z ! 0
n
n
の部分に点 Qk を線分 Pk Qk の長さが 1 となるようにとる．
n−1
&
三角錐 OPk Pk+1 Qk の体積を Vk とおいて，極限 lim
Vk を求めよ．
n→∞
k=0
(解) （図は省略．答案には書いた方がいい．
）
√
2
Pk Pk+1 = ．
n
'$ %
'
$
%2 (
$
% (
2
k
k
2k 2k 2
2k 2k 2
2k 2k 2
OPk =
+ 1−
= 1 − + 2 より OQk = 1 − 1 − + 2 =
− 2
n
n
n
n
n
n
n
n
1
O と直線 y = −x + 1 との距離は，√
2
よって
(
√ '$ % $ %2
2
2 1 1
2k 2k 1
2
k
k
Vk =
·√ · ·
− 2 · =
−
n
n
n 3 6n
n
n
2 2
√
したがって
'$ % $ %
n−1 √
2
&
2
k
k
lim
Vk = lim
−
n→∞
n→∞
6n
n
n
k=0
k=0
√ ! 1
√
2
=
x − x2 dx
6 0 '
√ ! 1
√ ! 1
$
%2
)
2
1
1
2
=
− x−
dx =
1 − (2x − 1)2 dx
6 0
4
2
12 0
√ ! π )
x
0 −→ 1
2 2
cos θ
cos θ
=
1 − sin2 θ ·
dθ
2x − 1 = sin θと置換：dx =
dθ
12 − π
2
2
θ − π2 −→ π2
√ ! π2
2 2
=
cos2 θdθ
24 − π2
√ ! π
2 2 1 + cos 2θ
=
dθ
24 π
2
√ " −2
2
sin 2θ # π2
=
θ+
48
2
− π2
√
2π
=
48
'
$
%2
! 1
1
1
1
π
※円の面積を利用し，
− x−
dx = 半径の円の面積の半分 = としてもよい．
4
2
2
8
0
n−1
&

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