スミスチャート科 v1.4 Jun.2014 1. 反射係数とインピーダンスの関係特性インピーダンス Z0 の伝送線路が負荷インピーダンス ZL で終端年番氏名: を足すと ( )2 ( ) 2Γi 2Γi 1 2 − + (18) xL xL xL となる。式 (18) を整理すると次式 (19) が得られる。 ( )2 ( ) 1 2 1 = (Γr − 1)2 + Γi − (19) xL xL ( 1 ) 式 (19) も円の方程式を表しており，その中心は 1, x ，半径は x1 L L (1 − Γr )2 + Γi 2 − されているとき，終端における反射係数は ZL − Z0 zL − 1 = (1) ZL + Z0 zL + 1 で与えられる。ここで zL = ZL /Z0 を正規化負荷インピーダンス (normalized load impedance) と呼ぶ*1 。式 (1) を変形して zL を反射係数 Γ で表現すると 1 + |Γ| ejθ 1+Γ zL = (2) = 1−Γ 1 − |Γ| ejθ となる。ここで反射係数 Γ と正規化負荷インピーダンス zL をそれぞ Γ = |Γ| ejθ = 2Γi + xL 1 xL = であることが分かる。これをリアクタンスサークルと呼ぶ。 4. まとめ以上の結果をまとめると，式 (15) より，反射係数 Γ と正規化インピーダンス実部 rL の間には次式 (20) の関係がある。 ( ( ) ) 2 2 rL 1 + Γi 2 = (20) 1 + rL 1 + rL 一方，式 (19) より，反射係数 Γ と正規化インピーダンス虚部 xL の間には次式 (21) の関係があることが分かる。 ( ) ( )2 1 2 1 (Γr − 1)2 + Γi − (21) = xL xL 4 図 1 と図 2 にスミスチャートの描画例を示す* 。図 1 の同心円状の 4 つの円は式 (20) において rL = 0, 1/3, 1, 3, ∞ の場合を示している。また，図 1 右端の点 (1,0) から放射状に伸びている 7 本の線は，式 (21) において xL = 0, ±1/3, ±1, ±3, ±∞ の場合を示している。一方，図 2 の同心円状の 6 つの円は式 (20) において rL = 0, 0.2, 0.5, 1, 2, 5, ∞ の場合を示している。また，図 2 右端の点 (1,0) から放射状に伸びている 11 本の線は式 (21) において xL = 0, ±0.2, ±0.5, ±1, ±2, ±5, ±∞ の場合を示している。れ実部と虚部に分けて Γ = Γr + jΓi (3) zL = rL + jxL (4) とおいて式 (2) に代入すると 1 + (Γr + jΓi ) (1 + Γr ) + jΓi zL = rL + jxL = = (5) 1 − (Γr + jΓi ) (1 − Γr ) − jΓi 2 * となる。式 (5) の分母を有理化すると ( ) 1 + Γr 2 − Γi 2 + j2Γi zL = rL + jxL = (6) (1 − Γr )2 + Γi 2 となる。これを実部と虚部に分解すれば，次式 (7) と式 (8) のように複素数を取り除いた 2 つの方程式が得られる*3 。 1 + Γ r 2 − Γi 2 rL = (7) (1 − Γr )2 + Γi 2 2Γi xL = (8) (1 − Γr )2 + Γi 2 Γr − 2. レジスタンスサークルの導出ここで，式 (7) に着目して次のような式変形を機械的に実行する。まず式 (7) の両辺に 1 を足すと 1 + Γ r 2 − Γi 2 2 − 2Γr rL + 1 = +1= (9) 2 2 (1 − Γr ) + Γi (1 − Γr )2 + Γi 2 となる。式 (9) を変形して 2 − 2Γr (1 − Γr )2 + Γi 2 = (10) 1 + rL x=1 r=0 0.3 3 0.33 1 3 ∞ 0 となる。さらに式変形して整理すると (1 − 2Γr ) (1 + rL ) 2 − 2Γr − 1 + rL 1 + rL 1 + 2Γr rL − rL = 1 + rL となる。次に，式 (11) の両辺に次の値 ( )2 2Γr rL rL − + rL + 1 rL + 1 Γr 2 + Γ i 2 = を足すと ( -0.3 -1 (12) 図1 1 1+rL スミスチャートの描画例 (エクセル VBA) ) 2 2Γr rL rL + rL + 1 rL + 1 ( )2 1 + 2Γr rL − rL 2Γr rL rL = − + (13) 1 + rL rL + 1 rL + 1 となる。式 (13) を整理すると ( )2 ( )2 rL rL 1 − rL Γr − + (14) + Γi 2 = 1 + rL 1 + rL 1 + rL となり，最終的に次式 (15) が得られる。 ( )2 ( )2 rL 1 Γr − + Γi 2 = (15) 1 + rL 1 + rL ( rL ) 式 (15) は円の方程式を表しており，その中心は 1+r , 0 ，半径は L Γr 2 + Γ i 2 − -3 (11) 0.2 r=0 x=1 0.5 0.2 0.5 1 2 5 2 5 0 であることが分かる。これをレジスタンスサークルと呼ぶ。 -5 -0.2 3. リアクタンスサークルの導出同様にして，今度は式 (8) に着目して次のような式変形を機械的に実行する。まず式 (8) を次式 (16) のように変形し，両辺に式 (17) の値 2Γi (1 − Γr )2 + Γi 2 = (16) ( )2 xL 2Γi 1 − + (17) xL xL ∞ -2 0.5 -1 図2 スミスチャートの描画例 (gnuplot) *1 これは線路の特性インピーダンスが Z0 = 1Ω のときの負荷インピーダンスと同じ意味である。 *2 分母の複素共役 (1 − Γr ) + jΓi を分子分母に掛けて分母の虚部を消す *3 これで正規化負荷インピーダンス zL の実部 rL と虚部 xL をそれぞれ反射係数 Γ の実部 Γr と虚部 Γi で表現することができた。 *4 1 図 1 はエクセルマクロによって描画している。詳しくは「杉尾、塩見：“高周波・マイクロ波回路 CAD とプログラミング’’pp.12-14, ケイラボ出版」を参照。同様に図 2 は gnuplot によって描画している。詳しくは「山本： “gnuplot の精義第 2 版’’pp.142-148, カットシステム」を参照