回答は必要時応じて GNUPLOT で作った図や表を含め、LATEX により文章にまとめよ。図には説明文 (caption) をつけ、x, y 軸のラベル、凡例も付けるように。また使用したプログラムも一緒に提出すること。問題 2：1 から 6 までの数字がでるサイコロを n 回ふり、6 が出る回数 S を記録する。S は 0 から n までの値を取り得て、S は平均値である n/6 回を中心に分布するはずである。この試行を m 回繰り返し行い、S の確率分布関数を以下のような C 言語による数値実験のプログラムを書いて調べよう。 (a) (b) (c) (d) (e) (f) 要素の数 n の int 型の配列 A を用意する。全ての要素を 0 にしておく。 1 から 6 までの乱数を n 回発生させ、6 が出た回数 S を計算する。配列 A の S 番目に格納されている数を+1 増加させる。 (b) ー (c) を m 回繰り返すと、S の頻度分布の配列 A が求まる。 m 回の試行を行っているので、配列 A 全体を m で割り規格化すると、確率分布関数 P を得る。 S, P (X = S) をテキストファイルに書き出す。このとき P は式 (8) のポアソン分布に従い、λ は S の期待値、すなわち n/6 に等しい。 P (X = S) = [λS exp(−λ)]/S! (8) 乱数を発生させる方法は以下の例を参考にすること。rand()/(double)RAND_MAX という関数で、[0,1] の乱数を得ることができる。ただし、起動する度に異なる乱数を発生させるために、その時の時刻をもとにして初期化 (srand) するとよい。 #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <time.h> int main(void) { int dice; srand((unsigned)time(NULL)); /* 乱数を初期化する */ dice = (int)(rand()/(double)RAND_MAX*6 + 1); /*サイコロをふる*/ printf("%d\n",dice); return 0; } (1) n の回数を 60 回のとき、m を 10 回、100 回、1,000 回にしてプログラムを実行し、確率分布関数がどのように収束するか、GNUPLOT を用いて図示せよ。 (2) m を十分大きくとり（例えば 10,000 回）、n を {6,12,24,42,60,120} 回として確率分布関数を調べる。ポアソン分布関数は n が大きくなるとどのように変化するかを図示せよ。このとき数値実験による結果と、式 (8) から得たポアソン確率を図上に示し、比較せよ。注）P (X = S) を計算する際、S! は非常に大きな値になるため、S > 20 では 4 バイト長の整数では表現できないことに気をつけること。 1 (3) λ が大きい時、ポアソン分布は正規分布に近づく。n を {6,12,24,42,60,120} 回としたとき、数値実験で求めた確率分布の分散 (σ) をフィッティングにより求めよう。GNUPLOT でそれぞれ正規分布の式 (9) にフィットさせパラメーター a, µ, σ を求め、誤差とともに以下の表にまとめよ。注）フィットがうまく収束しないときは、グラフから読み取ったおよその初期値を与えてからフィットさせると良い。 [ f (x) = a exp −(x − µ)2 2σ 2 ] (9) Table 1: Fitting 結果 n 6 12 24 42 60 120 ... ... ... ... ... ... a ± ± ± ± ± ± ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 µ ± ± ± ± ± ± ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... σ ± ± ± ± ± ± ... ... ... ... ... ...