03演習

演習 3
問題 1：１企業，２個人{A，B}，２財{第１財，第２財}か
ら構成される経済において，企業の生産集合が，
Y={ ( y1 , y 2 ) ｜y1＜2，y2≦8－
16
}
2 − y1
で示され，２個人の効用関数と初期保有量がそれぞれ
uB= x1 x 2 ,
eA=(8, 0)， eB=(0, 2)
uA= x1 x 2 ,
で示されるとする。企業の利潤は２個人に分配され，個人 A
1
2
1
2
と個人 B への分配率はそれぞれ θA= ，θB= であるとする。
このとき以下の問に答えよ。
ただし，第１財と第２財の価格を p1，p2，企業の利潤を π
で表すものとする。
(1) 企業の供給関数と利潤関数を求めよ。
(2) 個人 A と B の需要関数を求めよ。
(3) 競争均衡における価格比
p1
を求めよ。
p2
（解答）
16
(1) 生産集合のフロンティア：y2=8－
2 − y1
利潤：π=p1y1＋p2y2=p1y1＋p2(8－
利潤最大化の条件：
16
)
2 − y1
16
dπ
=p1－p2
=0（ただし，y1＜2）
dy1
(2 − y1 ) 2
これより以下の企業の供給関数と利潤関数を得る。
1
y1=2－4
p2
，
p1
y2=8－4
p1
，
p2
π=2p1+8p2－8 p1 p2
1
2
(2) [個人A] 予算制約： p1x1＋p2x2=8p1+ π
∂U A
∂U A x 2 p1
効用最大化の条件：
÷
= =
∂ x2
∂ x1
x1 p 2
これらより以下の個人Aの需要関数を得る。
x1=
1
1
1
1
(8 p1 + π )
(8 p1 + π ) ，x2=
2 p2
2
2 p1
2
1
2
[個人B] 予算制約：p1x1＋p2x2=2p2+ π
∂U B
∂U B x 2 p1
÷
= =
効用最大化の条件：
∂ x2
∂ x1
x1 p 2
これらより以下の個人Bの需要関数を得る。
x1=
1
1
(2 p 2 + π ) ，
2 p1
2
x2=
1
1
(2 p 2 + π )
2 p2
2
A
B
(3) 第１財の需給均衡条件： x1 + x1 =8＋y1
∴
1
1
1
1
(8 p1 + π ) +
(2 p 2 + π ) =8＋(2－4 p2 )
2 p1
2
2 p1
2
p1
ただし，π=2p1+8p2－8 p1 p2
∴
∴
4+
p2
4p
+ (1+ 2 －4
p1
p1
p2
)=10－4
p1
p1
=1
p2
2
p2
，
p1
問題 2[公試 II, 99]：２個人 A，B と２財ｘ，ｙからなる交換経
済において，個人 A と個人 B の効用関数はそれぞれ，
uA=min{2x，y}, uB=min{x，2y}
で示されるとする。この経済にはｘ財が 8 単位，ｙ財が 10
単位だけ存在するものとする。
(1) 二個人の無差別曲線を図示せよ。
(2) エッジワース・ボックスにおいてパレート最適な配分を
図示せよ。
(3) 効用フロンティアを図示せよ。
（解答）
(1) 二個人の無差別曲線は以下の図で示される。
(2) エッジワース・ボックスにおいてパレート最適な配分の
集合は黄色の領域である。
3
(3) ２点 OA，E を通る直線上のパレート最適な配分として，
２個人に以下のように財を与える（ただし，0≦t≦5）。
個人 A：(t, 2t)，個人 B：(8－t，10－2t)
２人の効用は
uA=min{2t，2t}=2t
uB=min{8－t，20－4t}
場合１：8－t≦20－4t，すなわち t≦4 のとき，
uB=8－t，
∴
uB=8－0.5uA
(0≦uA≦8 のとき)
①
場合２：8－t＞20－4t のとき，すなわち 4＜t のとき，
uB=20－4t，
∴
uB=20－2uA
(8＜uA≦10 のとき)
②
①と②から，効用フロンティアは図のようになる。
4
5

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