7．γ準備体操：6要素Tr展開

γ 準備体操：6 要素 Tr 展開
−Tr [/
a/b /c d//ef/ ] −
伊藤榮信
2014 年 9 月 23 日
Dirac 粒子の散乱計算での最終段階には γ 行列が現れ，そのやっかいな
計算を γ 体操というらしい．この γ 行列の 6 個の積で構成される量のトレー
ス (行列の対角和のことで Tr で記す) を計算するための具体式を導いた．簡
単で，面倒なだけの導出であるが，面倒なだけにあまり見当たらない式なの
で，馬鹿げているが，
「隙間」の話題とした．
1
対角和 Tr に関して
対角和 Tr とは，例えば，2 × 2 の正方行列の場合
A=
a11
a12
a21
a22
2
−→ Tr[A] = a11 + a22 =
aii
(1)
i
である．すなわち，行列 A の (i, j) 要素 aij をとり添字の j を j = i とするな
らば，aij → aii これは対角要素となる．次にこの要素 aii を i で和をとるな
らば対角和，つまりトレースである．
Tr 公式 I
Tr[AB] = Tr[BA]
(2)
証明
この 2 つの行列の積の結果に得られる行列の (i, j) 要素は
る．ここで添字の j を j = i とするならば，
k
k
aik bkj とな
aik bki となり，これは対角要
素である．更に i について和をとればトレースとなる．
Tr[AB] =
aik bki
i
k
aik bki =
=
i
k
bki aik
k
となる．
1
i
= Tr[BA]
Tr 公式 I’
Tr[AQB] = Tr[QBA]
(3)
(3) の確認　例 1
A を 2 列の横ベクトル A = (a1 , a2 ) の (1 × 2) 行列，Q を 2 行 2 列 (2 × 2) の
行列 Qij ，B を縦ベクトル B T = (b1 , b2 ) の (2 × 1) ベクトルとする．よって，
(1 × 2)(2 × 2)(2 × 1) の積であるから，結果は (1 × 1) すなわちスカラーと
なる，n 次正方行列の n = 1 という特別のケースである．つまり
AQB = (a1 a2 )
Q11
Q12
b1
Q21
Q22
b2
2
= a1 Q11 b1 + a1 Q12 b2 + a2 Q21 b1 + a2 Q22 b2 =
ai Qij bj
i,j
よって，
2
Tr[AQB] = a1 Q11 b1 + a1 Q12 b2 + a2 Q21 b1 + a2 Q22 b2 =
ai Qij bj
i,j
したがって，
2
Tr[AQB] = Q11 b1 a1 + Q12 b2 a1 + Q21 b1 a2 + Q22 b2 a2 =
Qij bj ai
i,j
とするならば，和の内容は異なるが (1)，(2) 式と同じ形で述べることができ
る．
一方，
QBA =
Q11
Q12
b1
Q21
Q22
b2
=
(a1 a2 ) =
Q11
Q12
b1 a1
b1 a2
Q21
Q22
b2 a1
b2 a2
Q11 b1 a1 + Q12 b2 a1 , ∗∗
∗∗, Q21 b1 a2 + Q22 b2 a2
であるから
2
Tr[QBA] = Q11 b1 a1 + Q12 b2 a1 + Q21 b1 a2 + Q22 b2 a2 =
Qij bj ai
i,j
となり，Tr[AQB] = Tr[QBA] が確認できた．
2
(3) の確認　例 2
A, Q, B をすべて (n × n) の正方行列とする．よって，(n × n)(n × n)(n × n)
の積であるから，結果は (n × n) 正方行列となる．行列の積の定義より，結
果の (i, j) 要素は
[AQB]i,j =
aik Qkℓ bℓj
k,ℓ
となるから，この行列の対角要素は j = i とすることで得られ，さらに，そ
の i についての和をとれば対角要素の和，すなわちトレースとなる．


Tr[AQB] =
[AQB]ii =
i
i

k,ℓ
aik Qkℓ bℓi  =
aik Qkℓ bℓi
i,k,ℓ
となる．一方
Tr[QBA] =
[QBA]kk =
i
k
=


ℓ,i

Qkℓ bℓi aik  =
Qkℓ bℓi aik
k,ℓ,i
aik Qkℓ bℓi = Tr[AQB]
i,k,ℓ
であるから，Tr[AQB] = Tr[QBA] が示せた．
Tr 公式 II
α, β を複素数とし，A, B を任意の行列とすると
Tr[αA + βB] = αTr[A] + βTr[B]
2
(4)
γ 行列と Tr
Dirac 方程式に使用される γ 行列は 4 × 4 行列である．すなわち




1 0 0
0
0
0 0 1




 0 1 0
 0
0 
0 1 0 
0
1




γ =
 , γ =  0 −1 0 0  ,

 0 0 −1 0 

0 0 0 −1
−1 0 0 0

0

 0
γ2 = 
 0

−i
0
0 −i
0
i
i
0
0
0
0
0
0







0
0

 0 0
γ3 = 
 −1 0

0 1
3
1
0


0 −1 

0 0 

0 0
(5)
である．γ µ に対して
γ µγν + γν γµ = γ µ, γν
= 2g µν I
(6)
が成立する．ここで慣性系の計量テンソル g µν は µ = ν の場合，g µµ =
(1, −1, −1, −1) で µ = ν の場合 g µν = 0 となる．また I は 4 × 4 単位行
列である．
したがって
Tr[γ 0 ] = Tr[γ 1 ] = Tr[γ 2 ] = Tr[γ 3 ] = 0,
である．
一方 4 元ベクトルを a = (a0 , a1 , a2 , a3 ) とした場合
γ µ aµ = γ 0 a0 − γ 1 a1 − γ 2 a2 − γ 3 a3 ≡ a
/
(7)
として，a
/ なる量を新たに導入する．以下，上下に現れるギリシャ文字 µ, ν, · · ·
については µ = 0, 1, 2, 3 と 4 個の和をとり，アルファベット i, j, · · · について
は i = 1, 2, 3 の 3 個の和をとる．具体的な量として，4 元ベクトルのエネル
ギー運動量 pµ = (p0 , p) = (E, p1 , p2 , p3 ) の場合
γ µ pµ = γ 0 E − γ 1 p1 − γ 2 p2 − γ 3 p3 ≡ /p
(8)
となる．
今回の話題で基本となる式は，
//////////////////////////////////////////////////////
a
//b = 2(a · b) − /ba
/
(9)
Tr[/
a/b] = 4(a · b)
(10)
Tr[/
a/b · · · z/] = Tr[b/ · · · /z a
/]
(11)
//////////////////////////////////////////////////////
(9) の証明
a
//b = (γ 0 a0 − γ i ai )(γ 0 b0 − γ j bj ) = (γ 0 )2 a0 b0 − γ i γ 0 ai b0 − γ 0 γ j a0 bj + γ i γ j ai bj
= (γ 0 )2 a0 b0 − γ i γ 0 ai b0 − γ 0 γ j a0 bj + (γ 1 )2 a1 b1 + (γ 2 )2 a2 b2 + (γ 3 )2 a3 b3 + γ k γ ℓ ak bℓ
となる．ここで k = ℓ である．(γ 0 )2 = I,
(γ i )2 = −I であり，γ µ γ ν =
−γ ν γ µ , µ = ν であるから
= (a0 b0 − a1 b1 − a2 b2 − a3 b3 )I − γ i γ 0 ai b0 − γ 0 γ j a0 bj + γ k γ ℓ ak bℓ
4
(12)
= 2(a0 b0 − a1 b1 − a2 b2 − a3 b3 )I − (a0 b0 − a1 b1 − a2 b2 − a3 b3 )I
+γ 0 γ i b0 a0 + γ j γ 0 bj a0 − γ ℓ γ k bℓ ak
= 2(a · b) − {(γ 0 )2 b0 a0 − γ 0 γ i b0 ai − γ j γ 0 bj a0 + γ i γ j ai bj } = 2(a · b) − /b a
/
□
(10) の証明
Tr[I] = 4 であり，また µ = ν の場合，Tr[γ µ γ ν ] = 0 であることに注意して，
(12) 式を使うと
Tr[/
a/b] = (a · b)Tr[I] − ai b0 Tr[γ i γ 0 ] − a0 bj Tr[γ 0 γ j ] + ak bℓ Tr[γ k γ ℓ ] = 4(a · b)
となることが分かる．しかし，これにはもっとエレガントな証明もある．
Tr[/
a/b ] = Tr[b/a
/] =
=
1
1
Tr [/
a/b + /b a
/] = Tr [γ µ aµ γ ν bν + γ ν bν γ µ aµ ]
2
2
1
1
Tr [aµ bν (γ µ γ ν + γ ν γ µ )] = Tr aµ bν γ µ , γ ν
2
2
=
1
Tr [aµ bν 2gµν I] = aµ bµ Tr[I] = 4(a · b)
2
を得る．ここで (6) 式と，添字の上げ下げとしての計量テンソルの性質を使
い，aµ bν g µν = aµ bµ を使った．　□
(11) の確認
(1)Tr[/
a/b ] = Tr[b/a
/] の場合 (一部で和の記号も記す．)
a
//b = γ µ aµ γ ν bν = aµ bν γ µ γ ν であるが，ここで µ, ν について 0～3 までの和が
とられていることに注意する．これらの和の中で，例えば µ, ν を µ = 0, ν = 1
の項を考える．その 4 × 4 行列の (αδ) 要素は
3
(/
a/b)01
αδ =
a0 b1 (γ 0 )αβ (γ 1 )βδ
β=0
であるから，対角要素は δ → α としたものである．なお，(γ 0 )αβ や (γ 1 )βδ は
複素数のスカラーであることを注意しておく．よって，この項のトレースは


3 

01
Tr (/
a/b )
(γ 0 )αβ (γ 1 )βα = a0 b1
(γ 0 )αβ (γ 1 )βα
= a0 b 1


α=0
β
αβ
である．同様に /b a
/ の上と同じ項を考える．
10
(γ 1 )αβ (γ 0 )βδ
(b/a
/)αδ = b1 a0
β
5
であるから，対角要素は δ → α としたものである．よってそのトレースは




10
Tr (b/a
/)
(γ 1 )αβ (γ 0 )βα = b1 a0
(γ 1 )αβ (γ 0 )βα
= b 1 a0


α
β
αβ
01
(γ 0 )βα (γ 1 )αβ = Tr (/
a/b )
= a0 b 1
βα
このように対応する項はすべて等しくなるから，Tr の公式 II を用いて全て
の項の和をとれば
Tr [/
a/b ] = Tr [b/a
/]
が示せる．
(2)Tr[/
a/b · · · z/] = Tr[b/ · · · /z a
/] の場合
a
//b · · · z/ = aµ bν · · · zρ γ µ γ ν · · · γ ρ
ここでも添字 µν · · · ρ のすべてについて 0～3 までの和となっているが，その
中の µ = 0, ν = 1, · · · ρ = 1 となる項を考える．この 1 つの項で 4 × 4 行列 γ
の任意の数の積の結果はやはり 4 × 4 行列である．その (αδ) 要素は
01···1
(/
a/b · · · /z )αδ
= a0 b 1 · · · z 1
(γ 0 )αβ (γ 1 )βǫ · · · (γ 1 )λδ
β,ǫ,··· ,λ
であるから，対角要素は δ → α としたものである．よってそのトレースは


3 

Tr (/
a/b · · · /z )01···1 = a0 b1 · · · z1
(γ 0 )αβ (γ 1 )βǫ · · · (γ 1 )λα


α=0
β,ǫ,··· ,λ
(γ 0 )αβ (γ 1 )βǫ · · · (γ 1 )λα
= a0 b1 · · · z1
α,β,··· ,λ
となる．一方 a
/ を最後尾に巡回させたものの /b · · · z/a
/ の (αδ) 要素は
(b/ · · · z/a
/)1···10
= b 1 · · · z 1 a0
αδ
(γ 1 )αβ · · · (γ 1 )σλ (γ 0 )λδ
β,ǫ,··· ,λ
と書かれる．ただし，b 以降 z 以前のスラッシュ量 x
/ の並びは，巡回する前
の式と同じとする．よって，δ → α とした対角要素の和をとると


3 

Tr (b/ · · · z/a
/)1···10 = b1 · · · z1 a0
(γ 1 )αβ · · · (γ 1 )σλ (γ 0 )λα


α=0
β,ǫ,··· ,λ
(γ 1 )αβ · · · (γ 1 )σλ (γ 0 )λα
= a0 b1 · · · z1
α,β,··· ,λ
6
= a0 b1 · · · z1
(γ 0 )λα (γ 1 )αβ · · · (γ 1 )σλ = Tr (/
a/b · · · /z )01···1
λ,α,β,··· ,
となる．再度，(γ 0 )λα や (γ 1 )σλ は複素数のスカラーであることを注意して
おく．a
//b · · · /z と /b · · · /z a
/ の添字 µν · · · ρ のすべてについて対応する項が一致
することと Tr の公式 II によりそれらの総和を考えるならば
Tr[/
a/b · · · z/] = Tr[b/ · · · /z a
/]
の等号の成立を確認できる．
以上を使い次の二つの公式を導く．
公式 I
Tr [/
a/b /cd
/] = 4[(a · b)(c · d) + (a · d)(b · c) − (a · c)(b · d)]
(13)
公式 I の導出
/ を右へ移行し，a
/ を右端にまでもって
導出の指針は，関係式 (9) を使い a
行き，等式 (11) を使うことである．
Tr [/
a/b/c d
/] = Tr [2{(a · b) − /ba
/}c/d
/] = 2(a · b)Tr [c//d] − Tr [b/a
//c /d]
= 8(a · b)(c · d) − Tr [b/a
//c d
/] = 8(a · b)(c · d) − Tr [b/{2(a · c) − /c a
/}/
d]
= 8(a · b)(c · d) − 2(a · c)Tr [b/d
/] + Tr [b//ca
/d
/] = 8(a · b)(c · d) − 8(a · c)(b · d)
+Tr [b//ca
/d
/] = 8(a · b)(c · d) − 8(a · c)(b · d) + Tr [b//c {2(a · d) − d
/a
/}]
= 8(a · b)(c · d) − 8(a · c)(b · d) + 2(a · d)Tr [b//c ] − Tr [b//c d
/a
/]
= 8(a · b)(c · d) − 8(a · c)(b · d) + 8(a · d)(b · c) − Tr [/
a/b /cd
/]
∴
2Tr [/
a/b /c /d] = 8(a · b)(c · d) − 8(a · c)(b · d) + 8(a · d)(b · c)
が得られ，両辺を 2 で割れば (13) 式が導出される．　□
公式 II
Tr [/
a/b /c d
//ef/ ] = 4(a · b)[(c · d)(e · f ) − (c · e)(d · f ) + (c · f )(d · e)] −4(a · c)[(b · d)(e · f ) − (b · e)(d · f ) + (b · f )(d · e)]
+4(a · d)[(b · c)(e · f ) − (b · e)(c · f ) + (b · f )(c · e)]
7
−4(a · e)[(b · c)(d · f ) − (b · d)(c · f ) + (b · f )(c · d)]
+4(a · d)[(b · c)(d · e) − (b · d)(c · e) + (b · e)(c · d)]
(14)
公式 II の導出
公式 I の導出と全く同じである．
Tr [/
a/b /cd
//ef/ ] = Tr [{2(a · b) − /b a
/}c/d
//ef/ ] = 2(a · b)Tr [c//d/ef/ ] − Tr [b/a
//c d
//ef/ ]
= 2(a · b)Tr [c/d
//ef/ ] − Tr [b/{2(a · c) − /c a
/}/
d/ef/ ] = 2(a · b)Tr [c/d
//ef/ ] − 2(a · c)Tr [b//d/ef/ ]
+Tr [b//c a
/d
//ef/ ] = 2(a · b)Tr [c/d
//ef/ ] − 2(a · c)Tr [b/d
//ef/ ] + Tr [b//c {2(a · d) − d
/a
/}e/f/ ]
= 2(a · b)Tr [c/d
//ef/ ] − 2(a · c)Tr [b/d
//ef/ ] + 2(a · d)Tr [b//c /ef/ ] − Tr [b//c /da
//ef/ ]
= 2(a · b)Tr [c/d
//ef/ ] − 2(a · c)Tr [b//d/ef/ ] + 2(a · d)Tr [b//c /ef/ ] − Tr [b//c d
/{2(a · e) − /ea
/}/
f]
= 2(a · b)Tr [c/d
//ef/ ] − 2(a · c)Tr [b//d/ef/ ] + 2(a · d)Tr [b//c /ef/ ] − 2(a · e)Tr [b//c /df/ ]
+Tr [b//cd
//ea
/f/ ] = 2(a · b)Tr [c/d
//ef/ ] − 2(a · c)Tr [b/d
//ef/ ] + 2(a · d)Tr [b//c /ef/ ]
−2(a · e)Tr [b//cd
/f/ ] + Tr [b//c d
//e{2(a · f ) − f/ a
/}]
= 2(a · b)Tr [c/d
//ef/ ] − 2(a · c)Tr [b//d/ef/ ] + 2(a · d)Tr [b//c /ef/ ] − 2(a · e)Tr [b//c /df/ ]
+2(a · f )Tr [b//c d
//e] − Tr [b//c /d/ef/ a
/]
よって
2Tr [/
a/b/c /d/ef/ ] = 2(a · b)Tr [c/d
//ef/ ] − 2(a · c)Tr [b/d
//ef/ ] + 2(a · d)Tr [b//c/ef/ ]
−2(a · e)Tr [b//cd
/f/ ] + 2(a · f )Tr [b//c d
//e]
すなわち
Tr [/
a/b /c d
//ef/ ] = (a · b)Tr [c/d
//ef/ ] − (a · c)Tr [b/d
//ef/ ] + (a · d)Tr [b//c/ef/ ]
−(a · e)Tr [b//cd
/f/ ] + (a · f )Tr [b//c d
//e]
が得られる．この後は公式 I を使って各 4 つの積に関するトレースを計算し
代入すれば公式 II(14) が得られる．　□
8

Download Report