KURENAI : Kyoto University Research Information Repository Title Author(s) Citation Issue Date URL 間欠型カオスの統計力学的定式化(基研長期研究会「カオスとその周辺」,研究会報告) 佐藤, 信一; 本田, 勝也物性研究 (1989), 51(6): 792-793 1989-03-20 http://hdl.handle.net/2433/93573 Right Type Textversion Departmental Bulletin Paper publisher Kyoto University 研究会報告間欠型カオスの統計力学的定式化静大･教養佐藤信一名大･工本凹勝也力学系のマルチフラクタル性が注目されて以来､その定式化が熱力学的定式化と対応することは数多くの論文が述べている｡我々は､一連の熱力学形式に対する考察に基づいて､単純化した間欠塾カオスのモデルに挽計力学的定式化を適用し､マルチフラクタル･スペクトラムを議論した｡まず､統計力学的議論を展開するために､間欠型カオスを 2状態のランダム変数の確率過程に単純化する｡ 2状態 + 1､ - 1をとるランダム変数を s iとし､部分列 tsl.S2, - ･.S｡) が観測される確率を p (sl ,- ･.S｡)とする｡ + 】が時系列におけるバースト状態を表し､ - 1が層流的状態を表す｡また､ i番目の状態 s iを知うたときに部分列生じる条件付き確率を p (s i Is い ( S い 1. ･･･.S い｡) 1. ･･･.S i.n)とすがる｡ここで､次の式で表される間欠型カオスのモデルを考える｡ p (1卜 l )= a. p (-Iレ (1. a) p(l J 1)- b l.･... -1.1)- ｡了･リ () =1. 2...) (1. b) (I. b)式は､ - 1の次に j - 1個の - 1が続き､ j 番目に 1が来る条件付き確率を表す｡確率の保存則から a +b だし､ Eは R i e man1 1 のゼ r タ関数 ) ｡ =1､ C=(古くV)〉である (良 -1 こ･のモデルに対して､更に次の対応を考える :時間軸を l次元空間と見なし､ + i- 粒子占有状態､ - 1空状態を対応させる｡これにより､我々は間欠型カオスと 1次元格子気体との対応を得た事になる｡以下では､すべて格子気体との対応に基づいて述べることにする｡距離 jだけ離れた隣合う粒子間の相互作用エネルギー I J(j)は (I. a)､ (1.b)式より U (j)=- 1n b =-1n a- for j=l 1 n c+l n(j - 1) for ja2 (2) となる｡逆温度を ( _ 1 (ただし､ - … ≦ q ≦ c o) とし､サ･ . (ズ n の格子系で ( 1 ･ l個の粒子を含む系の分配関数を Z n.m(q)とする｡そして､次の母関数己を斗人する｡ -7 9 2- ｢カオスとその周辺｣ . I , ≡( p. q ./ ) =冒 n=1 ' i , =1 -P n 〃m e e m Z n. m 3 ) (q) ( ここで P は圧力に､〃はケミカル･ポテンシャルに対応する｡己を関数 U(､ i )を用いて書き下すと (4) =(P .q ,F L)= 1/ (1- 0(P .q･)i 0 0 (5) 申 (P .q )= ∑ exp I-P j- q U' (j)) ､ i =1 となる｡後は統計力学の処方毒に従って､サイト当りのヘルムホルツ自由エネルギー f(q)を計算すると熱力学的極限において f(q)ニー P (q) ただし､｡(P ,q)= 1 が容易に示される｡もともとの間欠型カオスの時系列との対応を考えると f(q)=(q-1)K qが得られるので ( l次 Renyiエントロピー K . が代数方程式 (7)の解として求められる｡ (7)式に対する考察から､ q = 1が相転移の臨界点であり､臨界指数の V 依存性から相転移のタイプが三つに分煩されることが分かる = V>3. CaseH = 2<V<3,CaseH l= 1<V<2: (easel Caselと Casell が 1次相転移であり､ CaselH が 2 次相転移である )｡実際に観測する物理量は q = 1における値であり､それがちょうど臨界点に対応している事は間欠型カオスの局所軌道拡大率の大きなゆらぎ､過渡的カオスの存在が相転移の臨界性に由来していることを示している｡ - 793-