素数の逆数和が発散することの証明
風あざみ
2014/04/08
定理：素数の逆数和は発散する。
証明：素数の逆数和が収束すると仮定する。
pn を小さい方から n 番目の素数とする。ある正の整数 k に対して、以下が言
える
∞
∑
n=k+1
1
1
<
pn
2
(1)
十分大きな整数 N をとる。そして 2 種類の集合 A1 , A2 を考える。
A1 ={p1 , p2 , · · · , pk 以外の素数を素因数に持ちえない N 以下の正の整数の集
合}
A2 ={p1 , p2 , · · · , pk 以外の素数を素因数に持つ N 以下の正の整数の集合 }
集合 A1 の個数を N1 、集合 A2 の個数を N2 とすると以下が言える。
N = N1 + N2
(2)
ここで、A1 の元 x は、平方自由な正の整数 s と正の整数 t の二乗 t2 を用いて
x = st2 とかける。s の素因数になりうる素数は、p1 , p2 , · · · , pk のみだから、
√
s はせいぜい 2k 通りしか取れない。また t2 ≤ x ≤ N だから、1 ≤ t ≤ N が
√
いえる。よって t も高々[ N ] 個しかとれない。したがって、以下が言える。
√
√
N1 ≤ 2k [ N ] ≤ 2k N
(3)
また、式（1）より以下も言える。
N2 ≤
∞
∑
n=k+1
[
∞
∑
N
1
N
]≤N
<
pn
pn
2
(4)
n=k+1
式 (3) と式 (4)、および式 (2) より
√
N
N = N1 + N2 < 2k N +
2
(5)
よって、N < 22k+2 がいえるが、N は十分大きいから不合理。よって素数の逆数
和は発散することが言えた。
□
参考にしたサイト：http://www.renyi.hu/~p_erdos/1938-13.pdf
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