f (x) - nifty

2014 年北海道大学 (前期) 理系
解答
1
(1) f (x) の導関数
f (x) = 4x3 − 12x2 − 16x = 4x(x + 1)(x − 4)
の符号変化から， f (x) の増減は
x
f (x)
f (x)
−1
0
4
−
0
+
0
−
0
+
極小極大極小となる。よって， f (x) の
極大値は f (0) = 0
極小値は f (−1) = −5, f (4) = −128
(答)
である。
(2) 求める複接線の方程式を
y = px + q (p, q は定数)
とおくと， x の恒等式
f (x) − (px + q) = (x − a)2 (x − b)2
が成り立つから，
x4 − 4x3 − 8x2 − px − q
= x4 − (2a + 2b)x3 + (a2 + 4ab + b2 )x2 − (2a2 b + 2ab2 )x + a2 b2
係数を比べると

−(2a + 2b) = −4



 a2 + 4ab + b2 = −8
 2a2 b + 2ab2 = p


 2 2
a b = −q
······
······
······
······
1 より
a+b=2
2 より
(a + b)2 + 2ab = 22 + 2ab = −8
3, 4 に代入して
p = 2ab(a + b) = 2 × (−6) × 2 = −24
q = −(ab)2 = −36
求める複接線の方程式は
y = −24x − 36
(答)
— 1 —
∴ ab = −6
1
2
3
4
2014 年北海道大学 (前期) 理系
解答
2
(1) 解と係数の関係より， p, q を 2 解とする 2 次方程式は
1
1
=0
······ x2 − tx +
2
ここで，
1
t2
t 2
1
f (x) = x2 − tx +
−
= x−
+
2
2
4
2
とおき，方程式 f (x) = 0 の 2 解がともに 0 x 1 の範囲にある条件を求めて，
 t2
1
t


=
−
+
0
f


4
4
2





 f (0) = 1 0
2

3


0
f (1) = −t +


2




0 t 1
2
よって， t のとり得る値の範囲は
√
3
2
(答)
2 t
······ 2
(2) 座標空間において O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) とおくこと
ができて，このとき
−→ −→ −→
CP = OP − OC = (p, 0, 0) − (0, 0, 1) = (p, 0, −1)
−→ −−→ −→
CQ = OQ − OC = (0, q, 0) − (0, 0, 1) = (0, q, −1)
であるから，面積公式より
1 −→2 −→2 −→ −→2
S=
CP CQ − CP CQ
2
1 2
1 2 2
=
(p + 1)(q2 + 1) − 12 =
p q + p2 + q 2
2
2
1
=
(pq)2 + (p + q)2 − 2pq
2
1
1
3
1 1 2
2
3 (答)
=
······ +t −2×
t2 −
=
2
2
2
2
4
9
3 より
であるから， 4
√
3
1
5
=
(答)
S の最小値は
2−
2
4
4
√
2 も考えて t = 2 であり， 2 次方程式
1 を解くことにより，
このとき， 1
1
(答)
(p, q) = √ , √
2
2
2 より 2 t 2 (3) — 2 —
2014 年北海道大学 (前期) 理系
3
An+1 An = An + 2E
解答
(n = 1, 2, 3, · · · )
1
······ 1 より
(1) (Ak+1 + E)Ak = 2(Ak + E)
Ak + E が逆行列をもつとすれば，行列式の性質より
det(Ak+1 + E) det Ak = 22 det(Ak + E) = 0
特に det(Ak+1 + E) = 0 であるから，
Ak+1 + E も逆行列をもつ。
A1 + E は逆行列をもつから，数学的帰納法により，すべての自然数 n に対して
An + E は逆行列をもつ。
1
2(An +E) = (An+1 +E)An の両辺左から (An+1 +E)−1 , 右から (An +E)−1 を
2
かけると
1
2
(An+1 + E)−1 = An (An + E)−1
······ 2
(証明おわり )
2, 1 を用いて変形すると
(2) Bn+1 = (2E − An+1 )(An+1 + E)−1
1
= (2E − An+1 )An (An + E)−1
2
1
= (2An − An+1 An )(An + E)−1
2
1
2An − (An + 2E) (An + E)−1
=
2
1
= (An − 2E)(An + E)−1
2
1
= − Bn (答)
2
となるから，等比数列と同様に考えて，
1 n−1
Bn = −
B1 (答)
2
— 3 —
2014 年北海道大学 (前期) 理系
解答
4
(1) a を通り抜ける経路は， a 以前の経路は東と北へ 1 区間ずつ， a 以降の経路は
東へ 2 区間，北へ 3 区間であるから，
2 × 5 C2 = 20 通り (答)
(2) a を通リ抜けないで b を通り抜ける経路は，次図の通りである。
G
b
S
図の 3 点のいずれを通るかで場合を分けることにより，
(3 + 1) + 2 × 2 + 1 = 9 通り (答)
(3) a も b も通り抜ける経路は
2 × 3 × 1 = 6 通り
a を通り抜けるが， b を通り抜けない経路は
20 − 6 = 14 通り
すべての経路は
8×7×6×5
= 70 通り
4×3×2×1
であるから， a も b も通り抜けない経路は
70 − (20 + 9) = 41 通り
8 C4
=
経路を等確率で選ぶとき，S 地点から G 地点に到達するのにかかる時間の期待
値Eは
9
6
14
41
+ 22 ×
+ 21 ×
+ 15 ×
E = 16 ×
70
70
70
70
328 + 99 + 63 + 105
=
35
595
=
35
= 17 分 (答)
— 4 —
2014 年北海道大学 (前期) 理系
5
(1) f (x) =
(2) 0 x 解答
x+ π
3
| sin θ | dθ を微分すると
π f (x) = sin x +
− | sin x|
3
x
2
π のとき
3
x+ π
3
f (x) =
sin θ dθ
x
= − cos θ
x+ π
3
x
π
= cos x − cos x +
3
π
π
sin
= 2 sin x +
6
6
π
= sin x +
6
2
π x π のとき
3
π
f (x) =
sin θ dθ +
x
= − cos θ
π
x
x+ π
3
π
+ cos θ
(− sin θ)dθ
x+ π
3
π
π
= −2 cos π + cos x + cos x +
3
π
π
cos
= 2 + 2 cos x +
6
6
√
π
+2
= 3 cos x +
6
三角関数の性質より， f (x) の増減は
x
0
π
3
f (x)
1
2
極大 2
5
π
π
3
6
1
極小 2
となるから， f (x) の
π


=1
最大値は
f

3
√

 最小値は f 5 π = 2 − 3
6
— 5 —
(答)
π
1
2

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