145 第 23 講平面図形（ⅵ）数学 A 【問題1】半径 5cm の円 O がある

第 23 講平面図形（ⅵ）
数学 A
【問題１】
半径 5cm の円 O がある．円 O 外の点 P を通る直線がこの円と 2 点 A ， B で交わり， P に近
い方の点を A とする． OP = 10 cm， AB = 6 cm のとき， PA の長さを求めよ．
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【問題２】
中心を O とする円 O 外の異なる 2 点 P ，Q から接線 PA ，PB および QC ，QD をひき，弦 AB ，
CD の中点をそれぞれ M ， N とすれば，4 点 P ， Q ， M ， N は同一円周上にあることを示せ．
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【問題３】
半径 r の円に内接する四角形 ABCD において AB × CD + BC × DA = AC × BD であることを証明せ
よ．
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第 23 講平面図形（ⅵ）解答
数学 A
【問題１】
半径 5cm の円 O がある．円 O 外の点 P を通る直線がこの円と 2 点 A ， B で交わり， P に近
い方の点を A とする． OP = 10 cm， AB = 6 cm のとき， PA の長さを求めよ．
P
5
5 C
5
O6
x
A
D
B
前図のように，C，D， x を定めると，方べきの定理から PC × PD = PA × PB である．
よって
5 × 15 = x ( x + 6)
ゆえに x 2 + 6x - 75 = 0
x ＞ 0 であるから
x = -3 + 2 21
ゆえに PA = -3 + 2 21 cm
（別解）
A
P
C
5
B
6
O
5
5
D
上図において，△PAD と△PCB は相似であるから
PA : 15 = 5 : PA + 6
よって
PA(PA + 6) = 15 × 5
整理して
PA 2 + 6PA - 75 = 0
PA ＞ 0 より PA = -3 + 2 21 (cm)
148
【問題２】
中心を O とする円 O 外の異なる 2 点 P ，Q から接線 PA ，PB および QC ，QD をひき，弦 AB ，
CD の中点をそれぞれ M ， N とすれば，4 点 P ， Q ， M ， N は同一円周上にあることを示せ．
△PAO と △ AMO において
Ð POA = Ð AOM （共通）
PO ^ AB
PA は接線だから， Ð PAO = ÐR ．
よって， Ð PAO = Ð AMO = ÐR
ゆえに， △ PAO ∽ △ AMO だから
OM × OP = OA 2 ……①
同様に， △ QCO と △ CNO において，
Ð QOC = Ð CON
Ð QCO = Ð CNO = ÐR
\ △ QCO ∽ △ CNO
よって， ON × OQ = OC2 ……②
A ， C は同一円周上の点だから， OA = OC
P
C
A
B
M
O N
D
①，②から
OM × OP = ON × OQ
方べきの定理の逆により， P ， Q ， M ， N は同一円周上にある．･･･終
149
Q
【問題３】
半径 r の円に内接する四角形 ABCD において AB × CD + BC × DA = AC × BD であることを証明せ
よ．
右図のように
ÐBAE = ÐCAD となる点 E を BD 上にとる．
 の円周角)であるから
ÐABD = ÐACD ( AD
△ABE ∽ △ACD
よって AB : BE = AC : CD
\ AB × CD = BE × AC …①
次に， ÐBAC = ÐEAD ， ÐBCA = ÐEDA
 の円周角)であるから
( AB
△ABC ∽ △AED
よって BC : AC = ED : DA
\ BC × DA = ED × AC …②
①，②の辺々加えて
AB × CD + BC × DA = (BE + ED) × AC
= BD × AC
すなわち AB × CD + BC × DA = AC × BD
150
･･･終
A
×
E
●
B
×
●
C
D

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