非平衡グリーン関数（基礎） 1

伝搬行列、 S 行列、グリーン関数
(Version 1.0 : 1998 年 12 月 25 日)
小川真人1
目次
1
2
3
4
5
伝達関数と S 行列
1
1.1
ユニタリ性
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
重要な点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
総和則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
コンダクタンス行列の総和則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.5
相反性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.6
注意 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
S 行列の結合
2.1
ファインマン経路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
連続部分の非コヒーレント接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3
連続部分の部分的コヒーレント接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
9
グリーン関数
3.1
遅延グリーン関数と先進グリーン関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.2
微小量 η
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.3
多モード線路でのグリーン関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.4
固有関数展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
S 行列とグリーン関数
14
4.1
多モードリード . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4.2
リード中の磁場の効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
強束縛モデル（有限差分法）
15
5.1
一次元での Hop の行列表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
5.2
離散格子の分散関係
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
5.3
二次元での Hop の行列表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
5.4
行列の打ち切り（無限次元 (開放境界) から有限次元へ） . . . . . . .
18
5.5
自己エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
5.6
伝達関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
5.7
総和則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
5.8
いくつかの注意 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1 [email protected],
http://www2.kobe-u.ac.jp/~ lerl2
i
6
7
8
自己エネルギー
22
6.1
固有状態の寿命 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
6.2
固有関数展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
6.3
スペクトル関数と局所状態密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
6.4
局所状態密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
6.5
有用な恒等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
他の理論との関係
27
7.1
久保公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
7.2
伝搬行列法 (伝搬ハミルトニアン法) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
7.3
ファインマン経路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
7.4
アハラノフ-ボーム効果 (A-B 効果) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
34
まとめ
この文書およびファイルの取り扱い
ここに印刷された文章は部分でも全体でも著者に断りなく配布・利用ができないもの
とします。どうかご協力のほどお願いいたします
ii
1
伝達関数と S 行列
この節では、コヒーレント2 な導体に対して伝達関数と散乱行列（あるいは S 行列）の関係を議
論する。コヒーレントな導体は異なるリードで入射波の振幅と出射波の振幅とを関係付ける S 行
列によって特徴付けることができる。特に、リードに 3 つのモードがあるとすると
⎛
⎞ ⎡
⎤⎛
⎞
s11 s12 s13
a1
b1
⎜
⎟ ⎢
⎥⎜
⎟
⎜
⎟ ⎢
⎥⎜
⎟
⎜ b2 ⎟ = ⎢ s21 s22 s23 ⎥ ⎜ a2 ⎟
⎝
⎠ ⎣
⎦⎝
⎠
b3
s31 s22 s33
a3
(1. 1)
と書ける。任意のエネルギー E においてリード p における伝搬モードを Mp と表すことにす
る。全モード数は個々のリードでのモードの数を合計することによって得られる。
MT (E) =
Mp (E)
(1. 2)
p
散乱行列は MT × MT の次元である。
原理的にはもし、導体内部のベクトルポテンシャル A とポテンシャルエネルギー U (x, y) を
知っていれば、(有効質量) シュレディンガー方程式から出発して S 行列を求めることができる。
Es +
(i¯h∇ + eA)
+ U (x, y) Ψ(x, y) = EΨ(x, y),
2m
(1. 3)
以下では、特別な構造に対して S 行列を求める方法について議論する。しかし、暫くはその詳細
は重要ではない。重要な点は、コヒーレント導体に対しては S 行列を定義でき、（必要ならば）
S 行列を計算できるということである。
透過確率 Tnm は対応する S 行列の要素の二乗の大きさをとることで得られる。
Tm←n = |sm←n |2
(1. 4)
伝達関数 T¯pq (E) に注目する。以前説明したように、この量はリード q 内の全てのモード m と
リード p 内の全てのモード n とにわたる透過確率 Tnm の和をとることで得られる。
T¯p←q (E) =
(1. 5)
Tm←n .
m∈q n∈p
伝搬の方向が二番目の添え字から最初の添え字に逆向きであることに注意するために添え字に矢
印を入れている。通常、矢印なしに添え字を書く。
1.1
ユニタリ性
電流が保存されることを保証するために S 行列はユニタリでなければならないことを示す。行
列表示で
{b} = [S] {a}
(1. 6)
2 「コヒーレント」とは、電子波の位相が入射してから出射するまで乱れない状態を言う。
1
と書ける。ただし、行列 [S] は、 MT を全てのリードの中の全モード数として、 MT × MT の次元
である。 {a} , {b} はリード内の異なるモードにおける入射波と出射波の振幅を表す列ベクトルで
ある。特別なモード m での入射と出射の流束（電流）はそれぞれ対応するモード振幅 am , bm の
二乗に比例すると仮定する。電流保存則は次式を要求する。
|am |2 =
m
|bm |2 .
(1. 7)
m
†
†
†
†
すなわち、{a} {a} = {b} {b} でなければならない。{b} = [S] {a} なので、{a} {a} = {Sa} {Sa} =
{a}† [S]† [S] {a} と書ける。従って
[S]† [S] = I = [S][S]† ,
(1. 8)
が成り立つ。 S 行列の要素で書くと
MT
|smn |2 = 1 =
m=1
MT
|snm |2
(1. 9)
m=1
である。これらの関係式のうち左側は明らかである。なぜなら、左辺は与えられた入力モード n の
全ての出力モード m にわたる透過確率の和を表すからである。電子は必ずどこかに行かなけれ
ばならない、換言すれば、電流は保存されねばならないからこの和は 1 に等しくなければならな
い。しかし、右側はそれほど明白ではない。固定した出力 (モード n ) に対して全ての可能な入
力にわたる透過確率を足し合わせている。これが 1 である簡単な理由はなさそうである。しかし、
この結果はどちらも電流保存に不可欠な S 行列のユニタリ性から生じている。
1.2
重要な点
注意すべき重要な点は散乱波にともなう電流は波動関数の二乗に速度を掛けたものに比例する
ということである。この理由で、 S 行列を電子波の振幅に速度の平方根をかけた「流束振幅」で
定義することが習慣になっている。その代わり、われわれは行列 [s ] を
snm =
vm
snm
vn
(1. 10)
と流束振幅で定義することができる。行列 [s] と異なり行列 [s ] はユニタリではない。もはや、
S 行列がユニタリであることを証明したように電流保存を {a}† {a} = {b}† {b} ( {a} , {b} は
リード内の異なるモードにおける入射波と出射波の振幅) と書くことはできない。
1.3
総和則
式 (1. 8), 式 (1. 9) を用いると次のことが分かる。
T¯qp =
q
Tmn =
n∈p m=1
T¯pq =
q
MT
1 = Mp
(1. 11)
1 = Mp
(1. 12)
n∈p
MT
Tnm =
n∈p m=1
n∈p
2
したがって、伝達関数は次の総和則を常に満たす。
T¯pq (E) =
q
T¯qp (E) = Mp (E)
(1. 13)
q
ただし、 Mp (E) はリード p のモード数である。
N 本のリードのあるデバイスに対しては伝達関数 T¯pq (E) は N × N 行列の形で書ける。
N = 3 とすると次の 3 × 3 行列を得る。
T¯pq (E)
p=1
p=2
p=3
: q=1
⎛
xx
⎜
⎜ xx
⎜
⎝
xx
SUM =
q=2 q=3
xx
xx
⎞
xx
→ SUM = M1
⎟
⎟
xx ⎟→ SUM = M2
⎠
xx
→ SUM = M3
↓
↓
↓
M1
M2
M3
xx
(1. 14)
総和則は個々の行と個々の列の要素を加えたものがその端子のモード数に等しくなることを要
求している。
総和則は2 端子デバイスに対して磁場が存在する時でも伝達関数が相反的、すなわち、T¯12 = T¯21 である
ことを意味することに注意することは面白い。これを理解するために、2 端子デバイスを考えよう。
T¯pq (E)
p=1
p=2
: q=1
⎛
xx
⎝
xx
SUM =
q=2
xx
xx
↓
↓
M1
M2
⎞
⎠
→ SUM = M1
(1. 15)
→ SUM = M2
T¯11 + T¯12 = M1 = T¯11 + T¯21 なので T¯12 = T¯21 である。
1.4
コンダクタンス行列の総和則
伝搬行列で表現したコンダクタンスの定義を用いて、コンダクタンス行列の総和則を得ること
ができる。
Gpq =
q
Gqp =
q
2e2
h
Mp (E) −
2e2
Mp (E)
=
h
1.5
∂f0
∂E
dE
(1. 16)
極低温
相反性
コヒーレント輸送では、 S 行列の対称性から相反性が満たされることが保証される。我々が
用いる S 行列の基本的性質は磁場を反転させると S 行列が次のように変換される (上付き添え
3
字 t で表す) ことである。
[S]+B = S t
すなわち [smn ]+B = [snm ]−B
−B
(1. 17)
である。これを証明するために、次のシュレディンガー方程式
Es +
(i¯h∇ + eA)2
+ U (x, y) Ψ(x, y) = EΨ(x, y)
2m
(1. 18)
を外向き伝搬波の振幅 {b} と内向き伝搬波の振幅 {a} とを結びつける S 行列を得るために解く。
上式の複素共役をとると
Es +
(−i¯h∇ + eA)2
+ U (x, y) Ψ∗ (x, y) = EΨ∗ (x, y)
2m
(1. 19)
同時にベクトルポテンシャル A (したがって磁場 B ) を反転させると
Es +
(i¯h∇ + eA)2
+ U (x, y) Ψ∗ (x, y) = EΨ∗ (x, y)
2m
(1. 20)
上の 2 式に現れる微分演算子は同一のものである。このことは
[Ψ∗ (x, y)]−B = [Ψ(x, y)]+B .
(1. 21)
を意味する。換言すれば、磁場 +B の中でのシュレディンガー方程式の解を知れば、 −B に対
して正しい解を単にその複素共役をとるだけで得られるということである。しかし、複素共役を
とることは、入射波を出射波にし、出射波を入射波にするということである。したがって、もし、
すなわち {b∗ } = [S ∗ ]+B {a∗ }
{b} = [S]+B {a}
(1. 22)
ならば
{a∗ } = [S ∗ ]−B {b∗ }
すなわち {b∗ } = S −1
−B
{a∗ }
(1. 23)
従って
[S ∗ ]+B = S −1
(1. 24)
−B
である。しかしユニタリ性から S −1
[S ∗ ]+B = S †
−B
−B
⇒ [S]+B = S t
= S†
−B
なので、
(1. 25)
−B
式 (1. 17) で述べた式が成り立つ。
次に、式 (1. 17) の両辺の大きさの二乗をとり、リード p の中の全てのモード m とリード q の
中の全てのモード n とにわたり和をとると
|smn |2+B =
m∈p, n∈q
を得る。式 (1. 4) から
|smn |2−B .
(1. 26)
m∈p, n∈q
T¯pq
+B
= T¯qp
−B
を得る。従って [Gpq ]+B = [Gqp ]−B
が成り立
つ。これが望んでいた結果である。前節で議論した総和則はバイアスに関わらず成立したがこの
4

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