(1) どのクリアファイルでも種類は構わないので、1 回目は任意の 1 種類が当たる。2 回目は 異なる種類が出て、3 回目は 10 で 1 回目と 11 9 10 9 90 で 1, 2 回目と異なる種類が出るので、 1 ・ ・ 11 11 11 121 (2) 10 種類までが揃っているとき、残り 1 種類を引く確率は 初めて引くまでの試行の期待値は 1 。一般に確率 p の独立事象の試行であれば、 11 1 となるので、 11 回 p 【上のが省略しすぎだった場合】 確率 p の独立事象の試行を考える。 k 回目に初めて残り 1 種類(=当たり)を引く確率 P (k ) は、 k 1 回目まで に一度も当たりを引けなかった、かつ、 k 回目に当たりを引いたことになるので、 P (k ) (1 p ) つまり、求める期待値は kp(1 p) k 1 k 1 k 1 p …①で表される無限等比級数の和になる。 1 (無限等比級数の公式より)なので、 p k 1 1 k 2 k (1 p ) k 1 2 となる。ということは、 両辺を微分して ( k 1)(1 p ) p k 2 k 1 1 1 1 k (1 p ) k 1 2 …②なので、①と②から、① p k (1 p ) k 1 p・ 2 p p p k 1 k 1 ここで、 p 1 であれば (1 p) k 1 (3)0 種類が揃っているとき、1 種類目が揃うまでの期待値は 1 11 回。 11 10 11 。つまり、期待値は(2)より 回。 11 10 9 11 2 種類が揃っているとき、3 種類目が揃う確率は 。つまり、期待値は(2)より 回。……と続いて、 11 9 12 n 11 n 1 種類が揃っているとき、 n 種類目が揃う確率は 。つまり、期待値は(2)より 回。 11 12 n 1 1 1 1 ) 。 つまり、全種類をコンプリートするための期待値はこれらの和になるので、 11( 11 10 9 1 1 種類が揃っているとき、2 種類目が揃う確率は ※観賞料金はこれに 1800 を掛ければよい。約 59794 円。 (4) まじめに書くと包除原理の式をこねくり回すことになるが、とりあえず…… t 回観賞した際に、1 種類のクリアファイルしか出てこなかった場合は、t 回全て同じファイルが出る場合で、 ファイル自体は n 種類あるので、確率は n となる。 nt 2 種類のクリアファイルが出てくる場合は、(t 回全て「ファイル A または B」の場合−「t 回全てファイル A」 または「t 回全てファイル B」の場合)×(n 種類のうちの A, B の組み合わせ= n C 2 )なので、確率は t 2 t 1 となる。 n C 2 2 n n 3 種類のクリアファイルが出てくる場合は、(t 回全て「ファイル A または B または C」の場合−t 回全て「A または B の場合」−t 回全て「A または C の場合」−t 回全て「B または C の場合」+「t 回全て A」また は「t 回全て B」または「t 回全て C」の場合)×(n 種類のうち A, B, C の組み合わせ= t C 3 )なので、確率は 3 t 2 t 1 t C n 3 3 3 となる。 n n n これらを一般化した場合、n-1 種類のクリアファイルが t 回目の観賞までに揃う場合の確率は t n 1 i n i 1 …(4)のこたえ n C1 1 n 1 C i i 1 n となる。また、n 種類のクリアファイルが出てくる確率は、(4)で「t-1 回目に n-1 種類が揃った状態で、t 回 目の観賞で残り 1 種類を引く」という計算をしてもいいが、素直に一般化した式から出せばよかった。 n 1 n i i 1 t i …(5)のこたえ n Ci n ※これで合ってるか自信ない (6) (3)から類推して考えると、7 種類が集まる観賞回数の期待値は 10.3 回、8 種類が集まる観賞回数の期待 値は 13.0 回、9 種類が集まる期待値は 16.7 回、10 種類は 22.2 回、11 種類は 33.2 回となる。すなわち、 コンプに向けて残り 4 種類程度から急激に難易度が上昇する。このとき、代表的な方法としては以下が考え られる。 (A)…友人が多い場合、友人全員で延べ 40 回程度見てトレードする。例えばたかし君が 11 回、残り 10 人× 3 回で、たかし君が任意の友人とクリアファイルをトレードをすることでコンブ可能な確率が飛躍的に高まる。 (B)…友人が少ない場合、ヤフーオークションを利用する。おおむね落札相場は 1 枚 2,000∼2,500 円なの で、「次に持っていないクリアファイルを得るための観賞料金の期待値」を上回る場合にヤフオクを利用すれ ば良い。 11 2,475 円、4 種類持ってい 8 例えば、3 種類持っているとき、4 種類目を得る観賞料金の期待値は、 1800・ 11 2,829 円である。この場合、5 種類目以降はヤフオ 8 るとき、5 種類目を得る観賞料金の期待値は、1800・ クを活用したほうが安上がりとなる。
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