∑ ∑ ∑ = ∑

(1) どのクリアファイルでも種類は構わないので、1 回目は任意の 1 種類が当たる。2 回目は
異なる種類が出て、3 回目は
10
で 1 回目と
11
9
10 9
90
で 1, 2 回目と異なる種類が出るので、 1
・・ 
11
11 11 121
(2) 10 種類までが揃っているとき、残り 1 種類を引く確率は
初めて引くまでの試行の期待値は
1
。一般に確率 p の独立事象の試行であれば、
11
1
となるので、 11 回
p
【上のが省略しすぎだった場合】
確率 p の独立事象の試行を考える。 k 回目に初めて残り 1 種類(=当たり)を引く確率 P (k ) は、 k  1 回目まで
に一度も当たりを引けなかった、かつ、 k 回目に当たりを引いたことになるので、 P (k )  (1  p )

つまり、求める期待値は
 kp(1  p)
k 1

k 1
k 1
p
…①で表される無限等比級数の和になる。
1
(無限等比級数の公式より)なので、
p
k 1


1
k 2
  k (1  p ) k 1   2 となる。ということは、
両辺を微分して   ( k  1)(1  p )
p
k 2
k 1


1
1
1
k (1  p ) k 1  2 …②なので、①と②から、①  p  k (1  p ) k 1  p・ 2 

p
p
p
k 1
k 1
ここで、 p  1 であれば
 (1  p)
k 1

(3)0 種類が揃っているとき、1 種類目が揃うまでの期待値は 1 
11
回。
11
10
11
。つまり、期待値は(2)より
回。
11
10
9
11
2 種類が揃っているとき、3 種類目が揃う確率は。つまり、期待値は(2)より回。……と続いて、
11
9
12  n
11
n  1 種類が揃っているとき、 n 種類目が揃う確率は
。つまり、期待値は(2)より
回。
11
12  n
1 1 1
1
  ) 。
つまり、全種類をコンプリートするための期待値はこれらの和になるので、 11( 
11 10 9
1
1 種類が揃っているとき、2 種類目が揃う確率は
※観賞料金はこれに 1800 を掛ければよい。約 59794 円。
(4) まじめに書くと包除原理の式をこねくり回すことになるが、とりあえず……
t 回観賞した際に、1 種類のクリアファイルしか出てこなかった場合は、t 回全て同じファイルが出る場合で、
ファイル自体は n 種類あるので、確率は
n
となる。
nt
2 種類のクリアファイルが出てくる場合は、(t 回全て「ファイル A または B」の場合−「t 回全てファイル A」
または「t 回全てファイル B」の場合)×(n 種類のうちの A, B の組み合わせ= n C 2 )なので、確率は
t
  2 t
 1  

となる。
n C 2    2 
 n 
 n  

3 種類のクリアファイルが出てくる場合は、(t 回全て「ファイル A または B または C」の場合−t 回全て「A
または B の場合」−t 回全て「A または C の場合」−t 回全て「B または C の場合」＋「t 回全て A」また
は「t 回全て B」または「t 回全て C」の場合)×(n 種類のうち A, B, C の組み合わせ= t C 3 )なので、確率は
  3 t  2 t  1 t 


C
n 3     3   3   となる。
n
n
n








これらを一般化した場合、n-1 種類のクリアファイルが t 回目の観賞までに揃う場合の確率は
t
 n 1
 i  
n i 1

…(4)のこたえ
n C1   1
n 1 C i  
 i 1

n




となる。また、n 種類のクリアファイルが出てくる確率は、(4)で「t-1 回目に n-1 種類が揃った状態で、t 回
目の観賞で残り 1 種類を引く」という計算をしてもいいが、素直に一般化した式から出せばよかった。
n
  1
n i
i 1
t
i
 …(5)のこたえ
n Ci 
n
※これで合ってるか自信ない
(6) (3)から類推して考えると、7 種類が集まる観賞回数の期待値は 10.3 回、8 種類が集まる観賞回数の期待
値は 13.0 回、9 種類が集まる期待値は 16.7 回、10 種類は 22.2 回、11 種類は 33.2 回となる。すなわち、
コンプに向けて残り 4 種類程度から急激に難易度が上昇する。このとき、代表的な方法としては以下が考え
られる。
(A)…友人が多い場合、友人全員で延べ 40 回程度見てトレードする。例えばたかし君が 11 回、残り 10 人×
3 回で、たかし君が任意の友人とクリアファイルをトレードをすることでコンブ可能な確率が飛躍的に高まる。
(B)…友人が少ない場合、ヤフーオークションを利用する。おおむね落札相場は 1 枚 2,000∼2,500 円なの
で、「次に持っていないクリアファイルを得るための観賞料金の期待値」を上回る場合にヤフオクを利用すれ
ば良い。
11
 2,475 円、4 種類持ってい
8
例えば、3 種類持っているとき、4 種類目を得る観賞料金の期待値は、 1800・
11
 2,829 円である。この場合、5 種類目以降はヤフオ
8
るとき、5 種類目を得る観賞料金の期待値は、1800・
クを活用したほうが安上がりとなる。

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