Cluster Variables on Double Bruhat Cells and
Monomial Realizations of Crystal Bases
上智大学 理工学研究科
金久保 有輝
Yuki Kanakubo
Faculty of Science and Technology,
Sophia University
記号
G : simply connected semi simple algebraic group of rank r, B, B− : opposite Borel subgroups,
N , N− : unipotent radicals, H := B ∩ B− , W : Weyl group of G, ωi : fundamental weight,
g := Lie(G), [1, i] := {1, 2, · · · , i} (For i ∈ Z>0 ), I := [1, r] = {1, · · · , r}.
1 Introduction
1.1 Cluster algebra
1930 年代, totally positivity の研究が行われていた. Totally positivity とは, 全ての小行列式 (minor) が
非負になる, という行列の性質のことである. この初等的な行列の性質の研究は, 1994 年に Lusztig によって
一般化された. 小行列式は, 行列の集合の上の関数と見なすことができる. Lusztig は, この “行列の集合”を一
般の “代数群 G”に, “小行列式”を “generalized minor” に置き換えて研究したのである. この研究の中で,
代数群 G の非交和分解
G=
⨿
Gu,v , Gu,v := BuB ∩ B− vB−
u,v∈W
が用いられた. 各 Gu,v を, Double Bruhat cell と呼ぶ.
2002 年には, Fomin と Zelevinsky により, Gu,v の座標環 C[Gu,v ] と generalized minors ∆(k, i) に関する
予想が立てられた [3]. これは, C[Gu,v ] が generalized minors {∆(k, i)} を生成元の一部に持ち, 他の生成元も
exchange relation と呼ばれる関係式によって, {∆(k, i)} から次々と生成される, という予想である. 他の代数
多様体の座標環でも, このような性質を持つものが多く見つかっており, これらを統一的に扱うために cluster
algebra が導入された. このとき, ∆(k, i) は cluster variables と呼ばれた.
1.2 Main results : Cluster variable and crystal
今回は, G = SLr+1 (C) とし, generalized minors ∆(k, i) ∈ C[Gu,v ] を座標変換することを考える. 座標変
換を施すと,
1. ∆(k, i) は, 係数 1 の Laurent 多項式となることがわかった.
2. 更にその各項を, ある crystal base B(λ) の元として書き表すことができた.
二つ目の項目について, 少し詳しく説明しよう. B(λ) は, 量子群 Uq (g) の既約最高ウエイト表現 V (λ) の
q = 0 における基底と考えることのできるもので, 作用素 e˜i , f˜i と絡んだ, 扱い易い性質を持っている (Sect.
4). B(λ) の各元は, しばしば Young tableau によって表示され, これにより, e˜i , f˜i の作用やウエイトの勘
1
定を組合せ論的に扱うことができるようになる. それ以外にも B(λ) の表示法は多く知られているが, 今回は
monomial 表示という方法を用いる. これは, B(λ) の各元を Laurent 単項式で表示する方法である. ∆(k, i)
を座標変換して得られた Laurent 多項式の各項が, ある crystal base を monomial 表示したものであること
がわかったのである. この結果について紹介する. 本研究は, 上智大学の 中島俊樹 教授との共同研究である.
2 Generalized minors for A type
Generalized minor を定義しよう [4]. G0 = N− HN を, Gaussian decomposition を持つような元 x ∈ G 全
体として定義される開部分集合とする. この分解は一意的であり, この分解に即して x = [x]− [x]0 [x]+ , [x]− ∈
N− , [x]0 ∈ H, [x]+ ∈ N と記すことにする.
定義 2.1. 各 u, v ∈ W = Sr+1 と i ∈ [1, r] に対する generalized minor ∆uωi ,
−1
で, 開部分集合 u
¯G0 v¯
vωi
とは, G 上の正則関数
へのその制限が
∆uωi ,
vωi (x)
= ([¯
u−1 x¯
v ]0 )ωi
で与えられるものである.
G = SLr+1 (C) の場合, ∆uωi ,
vωi (x)
は次のようにして求めることができる:
命題 2.2. [4] ワイル群 W = Sr+1 の元 u, v に対し, ∆uωi ,
vωi
の x ∈ G = SLr+1 (C) での値 ∆uωi ,
vωi (x)
は, 行が, 集合 u([1, i]) の元, 列が, 集合 v([1, i]) の元でラベル付けされる x の小行列式として与えられる.
つまり, G が A 型の代数群の場合, generalized minors は普通の意味での minor(小行列式) に他ならないの
である. 例を見てみよう.
例 2.3. r = 3, u = s1 s2 s3 , v = s1 s2 , x = (xij ) ∈ G = SLr+1 (C) のとき, ∆uω2 ,
vω2 (x)
は次のようにして求
められる:
u[1, i] = s1 s2 s3 {1, 2} = {2, 3}, v[1, i] = s1 s2 {1, 2} = {2, 3}
より,
∆uω2 ,
vω2 (x)
=
x22
x32
x23
= x22 x33 − x23 x32
x33
となる.
定義 2.4.
(1)
u = si1 · · · sin , v = sin+1 · · · = sin+m を, u, v ∈ W の reduced expressions とする. このとき, (u, v)
と, その reduced expressions に対する reduced word を
i = (i¯1 , · · · , i¯n , in+1 , · · · , in+m )
で定める. ここに, ¯
j は形式的な記号である.
(2)
k ∈ [1, l(u) + l(v)] に対し, 次のようにおく.
{
u≤k = u≤k (i) :=
2
si1 · · · sik
u
if k ≤ n,
if k > n.
v>k
{
sin+m sin+m−1 · · · sik+1
= v>k (i) :=
v −1
if k ≥ n
if k < n.
以上の準備のもと, upper cluster algebra C[Gu,v ] の中で, cluster variables の役割をする ∆(k, i) を次のよ
うにして定義する.
定義 2.5.
∆(k; i)(x) := ∆u≤k ω|ik | ,
v>k ω|ik | (x).
3 Double Bruhat cells and coordinate transformations
Introduction でも述べたように, double Bruhat cell は次のように定義される:
定義 3.1. ワイル群の二つの元 u, v ∈ W に対し, Gu,v := BuB ∩ B− vB− を double Bruhat cell,
Lu,v := N uN ∩ B− vB− ⊂ Gu,v を reduced double Bruhat cell という.
Gu,v , Lu,v を座標変換することを考えよう. そのために, 次のように三つの行列を用意する.
1 ≤ i ≤ r に対し
1
0
i 行目
xi (t) =
0
1
..
.
1 t
0 1
..
.
1
0
,
0
1 0
0 1
i 行目
x¯i (t) =
..
.
1
t
..
1
1
0
i 行目
x−i (t) =
0
1
.
, (1)
1 0
0 1
0
1
..
.
t−1
1
0
t
..
.
1
0
0
1
× n+m
と置く. u, v ∈ W , i を定義 2.4 のように取り, 写像 xG
→Gを
i : H × (C )
xG
i (a, t1 , · · · , tn , tn+1 , · · · , tn+m ) := axi¯1 (t1 ) · · · xi¯n (tn )xin+1 (tn+1 ) · · · xin+m (tn+m )
× n+m
で定める. また, xL
→Gを
i : (C )
xL
i (t1 , · · · , tn , tn+1 , · · · , tn+m ) := x−i1 (t1 ) · · · x−in (tn )xin+1 (tn+1 ) · · · xin+m (tn+m )
で定める. このとき, Gu,v , Lu,v に関する次の同型対応が成り立つことが知られている:
3
定理 3.2. [2][3] ある Gu,v (resp. Lu,v ) の Zariski open な部分集合 U (resp. U ′ ) があり, 次の双正則同型が成
り立つ:
∼
× n+m
xG
−→ U
i : H × (C )
∼
× n+m
(resp. xL
−→ U ′ )
i : (C )
となる.
この定理を用いて, Gu,v 上の関数である ∆(k, i) を, H × (C× )n+m , または (C× )n+m 上の関数と見なすこ
とにする:
定義 3.3. a ∈ H と, t, τ ∈ (C× )n+m に対し, H × (C× )n+m (resp. (C× )n+m ) 上の関数 ∆G (k, i)(a, t)
(resp. ∆L (k, i)(τ )) を
∆G (k; i)(a, t) := (∆(k; i) ◦ xG
i )(a, t),
∆L (k; i)(τ ) := (∆(k; i) ◦ xL
i )(τ )
で定める.
4 Crystal
4.1 Crystal と, 量子群の表現論
一般に, crystal は次のように定義される [6]:
定義 4.1. A = (aij )i,j∈I を対称化可能な一般 Cartan 行列, (A, Π, Π∨ , P, P ∨ ) を A の Cartan datum とする.
Cartan datum (A, Π, Π∨ , P, P ∨ ) に付随する crystal とは, 集合 B と, 写像 wt : B → P , e˜i , f˜i : B → B∪{0}
と εi , φi : B → Z ∪ {−∞}, (i ∈ I) との組で, 以下を満たすもののことである:
b ∈ B, i ∈ I に対し,
1. φi (b) − εi (b) =< hi , wt(b) >,
2. wt(e˜i b) = wt(b) + αi , if e˜i b ∈ B,
3. wt(f˜i b) = wt(b) − αi , if f˜i b ∈ B,
4. εi (e˜i b) = εi (b) − 1, φi (e˜i b) = φi (b) + 1 if e˜i b ∈ B,
5. εi (f˜i b) = εi (b) + 1, φi (f˜i b) = φi (b) − 1 if f˜i b ∈ B,
6. f˜i b = b′ ⇔ b = e˜i b′ , if b, b′ ∈ B,
7. φi (b) = −∞, (b ∈ B) ⇒ e˜i b = f˜i b = 0.
この定義は, 量子群 Uq (g) の既約最高ウエイト表現 V (λ) の crystal base B(λ) の性質を一般化したもので
ある. そこで, 量子群の表現論を簡単に復習しておこう. 詳細は [6] を参照して頂きたい.
Uq (g) を Cartan datum (A, Π, Π∨ , P, P ∨ ) に付随し, F を基礎体とする量子群とする. V (λ) (λ は dominant
weight) を Uq (g) の既約最高ウエイト表現, uλ をその最高ウエイトベクトルとする. V (λ) には Kashiwara
operators f˜i , e˜i が作用する. これは, fi , ei ∈ Uq (g) の作用を修正した作用素である (定義は [6]).
V (λ) は F(q) 上のベクトル空間となる. F(q) の元で, q = 0 で正則なもの全体を A とおく. L(λ) を,
˜
fi1 f˜i2 · · · f˜is uλ (s ∈ Z≥0 , ik ∈ I) で張られる V (λ) の自由 A 部分加群とする. 更に集合 B(λ) を,
B(λ) := {f˜i1 f˜i2 · · · f˜is uλ | s ∈ Z≥0 , ik ∈ I}
4
で定める. このとき, 次が成り立つ [6]:
1. e˜i L(λ) ⊂ L(λ), f˜i L(λ) ⊂ L(λ) (i ∈ I),
2. e˜i B(λ) ⊂ B(λ) ∪ {0}, f˜i B(λ) ⊂ B(λ) ∪ {0} (i ∈ I),
3. B(λ) は, L(λ)/qL(λ) の F 基底となる.
L(λ)/qL(λ) は, V (λ) において, q = 0 とした空間である. このように, B(λ) は V (λ) の q = 0 における基底
と考えることができるのである.
また, i ∈ I に対し, 写像 εi , φi : B → Z を
εi (b) = max{k ≥ 0| e˜i k b ∈ B},
k
φi (b) = max{k ≥ 0| f˜i b ∈ B}
で定める. また, wt : B → P を, b ∈ Bµ := B(λ) ∩ V (λ)µ のとき, wt(b) = µ として定める. このとき,
B = B(λ), f˜i , e˜i , εi , φi , wt は, crystal の公理 (定義 4.1, 1∼7) を満たす [6].
組 (L(λ), B(λ)) のことを, V (λ) の crystal base と呼ぶ. このように, crystal は, crystal base を一般化し
た概念なのである.
最低ウエイト表現 V − (λ) に対しても, crystal base (L− (λ), B − (λ)) を構成することができ, これも crystal
となる. ここに,
B − (λ) := {e˜i1 e˜i2 · · · e˜is u′λ | s ∈ Z≥0 , ik ∈ I}
で, u′λ は V − (λ) の最低ウエイトベクトルである. これと区別するために, 以下, V (λ) のことを V + (λ),
(L(λ), B(λ)) のことを (L+ (λ), B + (λ)) と書くことにする.
4.2 Monomial realizations
B ± (λ) を, Uq (g)-既約最高 (最低) ウエイト加群 V ± (λ) に対する crystal bases とする. Young tableau を
始め, crystal base の表示方法は多く知られている. 今回はその表示方法の一つである monomial realization
に着目する. これは, B ± (λ) の各元を Laurent 単項式で表し, Kashiwara operators e˜i , f˜i の作用を Laurent
単項式の積で表すものであり ([1], [5]), 以下のように構成される:
A = (ai,j )i,j∈I を対称化可能な一般 Cartan 行列とする. (A, Π, Π∨ , P, P ∨ ) を A の Cartan datum とする.
整数の集合 p = (pi,j )i,j∈I,
i̸=j
で, pi,j + pj,i = 1 を満たすようなものを一つ取り, 固定する.
Y の定義
変数の集合 {Ym,i |i ∈ I, m ∈ Z} に対し, Laurent 単項式の集合 Y を
Y := {Y =
∏
l
m,i
Ym,i
|lm,i ∈ Z, lm,i は有限個を除いて 0}.
m∈Z, i∈I
で定める.
写像 wt, εi , φi の定義
写像 wt : Y → P と, εi , φi : Y → Z, (i ∈ I) を, 次のように定める:
Y の元 Y =
∏
l
m∈Z, i∈I
wt(Y ) =
∑
i,m
m,i
Ym,i
に対し,
lm,i Λi , φi (Y ) = max
∑
k≤m
lk,i |m ∈ Z , εi (Y ) = φi (Y ) − wt(Y )(hi )
5
で定める.
f˜i , e˜i の定義
Am,i := Ym,i Ym+1,i
∏
a
j,i
Ym+p
j,i ,j
j̸=i
とおく.
Kashiwara operators f˜i , e˜i の Y への作用を, 次のように定める:
{
{
if
φ
(Y
)
>
0
Ane ,i Y if εi (Y ) > 0
i
f˜i Y =
e˜i Y =
0
if εi (Y ) = 0.
if φi (Y ) = 0,
∑
∑
ここに, nf :=min n|φi (Y ) =
lk,i , ne :=max n|φi (Y ) =
lk,i である.
A−1
nf ,i Y
0
k≤n
k≤n
定理 4.2. [1, 5]
(1) 上のように定めた (Y, wt, φi , εi , f˜i , e˜i )i∈I は, crystal となる.
(2)Y ∈ Y が全ての i ∈ I について εi (Y ) = 0 を満たすなら, Y を含む連結成分は B(wt(Y )) に同型である.
例 4.3. i1 , i2 , · · · , in ∈ I とし, 無限列
j = (i1 , i2 , i3 , · · · ),
を ik = il , if k ≡ l mod n で定める. この j から, 整数の集合 (pk,l ) を次のようにして定める:
pk,l
{
1
=
0
if ik < il ,
if il < ik .
λ = βΛd (resp. λ = −βΛd ) , (β ∈ Z>0 , d ∈ I) に対し, Crystal B + (λ) (resp. B − (λ)) を Y に以下のように
して埋め込むことができる:
vλ → Yβ+γ,d Yβ−1+γ,d · · · Y1+γ,d , (resp. vλ →
1
),
Yβ+γ,d Yβ−1+γ,d · · · Y1+γ,d
ここに, vλ は B + (λ) (resp. B − (λ)) の highest (resp. lowest) weight vector で, γ は任意の整数である. こ
の埋め込みを µ+ (β, γ) (resp. µ− (β, γ)) と記すことにする.
4.3 Demazure Crystal
ワイル群 W の元 w に対し, Demazure crystal B + (λ)w が定められる. これは, crystal B + (λ) の部分集
合で, 次のようにして定められる.
定義 4.4. vλ を, B + (λ) の highest weight vector とする. ワイル群 W の単位元 e に対し, B + (λ)e := {vλ }
と定める. w ∈ W に対し, si w < w のとき,
B + (λ)w := {f˜ik b | k ≥ 0, b ∈ B + (λ)si w , e˜i b = 0} \ {0}
と定める.
6
同様にして, B − (λ)w を次のようにして定める.
定義 4.5. vλ を, B − (λ) の lowest weight vector とする. B − (λ)e := {vλ } と定める. w ∈ W に対し,
si w < w のとき,
B − (λ)w := {˜
eki b | k ≥ 0, b ∈ B − (λ)si w , f˜i b = 0} \ {0}
と定める.
5 Main result
以下, G が A 型代数群の場合, つまり G = SLr+1 (C) の場合を考えていく.
5.1 v = e の場合
ワイル群の元 u, v ∈ W を次のようなものとして取ろう:
u = s1 s2 · · · sr s1 · · · sr−1 · · · s1 · · · sr−m+2 s1 · · · sin , v = e.
これに応じて, u, v に対する reduced word i を
¯ 1, · · · , ¯1, · · · , r − m
¯ + 2, ¯1, · · · , i¯n )
1, · · · , r −
i = (¯
1, · · · , r¯, ¯
1 周目
2 周目
m−1 周目
m 周目
で定める. i の中で, 左から k 番目の数を i¯k とする. i¯k が m′ 周目に属するとする.
例 4.3 のように,
j = (1, · · · , r, 1, · · · , (r − 1), · · · , 1, · · · , (r − m + 2), 1, · · · , in )
1 周目
2 周目
(m−1) 周目
m 周目
に対して, B − (λ) (λ = (m′ − m)Λd ) を β = m − m′ , γ = m′ − 1 として, Y へ埋め込む. 更に l0 := 0, l1 :=
r, l2 := r + (r − 1), · · · , lm := r + (r − 1) + · · · + (r − m + 1), · · · , lr := r + (r − 1) + · · · + 2 + 1 とおき,
変数 Ym,j を, τ の変数 τlm +j に変数変換する. これにより, {τlm +j } を Y の元と見なす.
このとき, 次の定理が成り立つ:
定理 5.1. ik = d とする.
∆L (k; i)(τ ) =
∑
µ− (m − m′ , m′ − 1)(x),
λ := (m′ − m)Λd
x∈B − (λ)u≤k
が成り立つ.
このように, generalized minor を座標変換したところ, 各項を, ある Demazure crystal の元で書き表すこ
とができた.
例 5.2. u = s1 s2 s3 s4 s1 s2 s3 s1 , v = e, i = (−1, −2, −3, −4, −1, −2, −3, −1) とする. 定理 3.2, 命題 2.2 を用
いて計算をすると,
∆L (1; i)(τ ) =
τ1
1
τ1 τ5
+
+
,
τ2 τ6
τ2 τ8
τ5 τ8
7
となる.
一方, 今は A 型の場合を考えているので, 一般 Cartan 行列 A = (aij ) は, ai,i+1 = ai,i−1 = −1, aij =
0, (|i − j| > 1) を満たす. これと e˜i の作用の定義から
e˜1
e˜1 e˜1
1
τ1 τ5 1
τ1
=
=
,
τ5 τ8
τ2 τ5 τ8
τ2 τ8
1
τ1
τ5 τ8 τ1
τ1 τ5
= e˜1
=
=
τ5 τ8
τ2 τ8
τ6 τ2 τ8
τ2 τ6
である. よって,
∆L (1; i)(τ ) = e˜1 e˜1
となる. この場合,
1
τ5 τ8
1
1
1
+ e˜1
+
=
τ5 τ8
τ5 τ8
τ5 τ8
∑
µ− (2, 0)(x)
x∈B − (−2Λ1 )s1
が, ウエイト −2Λ1 を持つ最低ウエイトベクトルである.
5.2 v が一般の場合
u は, u = s1 s2 · · · sr s1 · · · sr−1 · · · s1 · · · sr−m+2 s1 · · · sinu ととる. これに対し, v は u と順番を逆にして,
v = si′nv · · · s1 sr−m+2 · · · s1 · · · sr−1 · · · s1 sr · · · s2 s1 ととる.
これに対応して, (u, v) の reduced word i を
i = (¯1, · · · , r¯, ¯
1, · · · , r − 1, · · · , ¯
1, · · · , r − mu + 2, ¯1, · · · , inu ,
1 周目
mu −1 周目
i′nv , · · · , 1, (r
2 周目
mu 周目
− mv + 2), · · · , 1, · · · , (r − 1), · · · , 1, r, · · · , 1 )
mu +mv −1 周目 mu +mv 周目
mu +2 周目
mu +1 周目
(2)
と設定する. k が m′ 周目に属するとする.
ˆ L (k; i)(τ ) を定義する. これは, ∆L (k; i)(τ ) を修正したものであり, 変数変換を施すこと
まず, 新たな関数 ∆
で, ∆L (k; i)(τ ) や ∆G (k; i)(a, t) と一致する.
∆L (k; i)(τ ) を求めるためには, 行列
x−1 (τ1 )x−2 (τ2 ) · · · xinu (τnu )xi′nv (τnu +1 ) · · · x2 (τnu +nv −1 )x1 (τnu +nv )
の, 行 u≤k {1, · · · , d}, 列 v>k {1, · · · , d} で作られる小行列式であった. (定理 3.2, 命題 2.2).
そこで, 新たに行列 x
i
(τj ), (i > 0) を
x
i
1
0
i 行目
(τj ) :=
0
1
..
.
τj
0
1
τj−1
..
.
1
0
8
0
1
(3)
で定義し, (3) の積の中の xi (τj ), (i > 0, nu + 1 ≤ j ≤ nu + nv ) を全て x
x−1 (τ1 )x−2 (τ2 ) · · · xinu (τnu )xi′ (τnu +1 ) · · · x
nv
2
i
(τj ) で置き換えた
(τnu +nv −1 )x
1
(τnu +nv )
(4)
ˆ L (k; i)(τ ) を次のように定義する:
という行列を考える. 関数 ∆
ˆ L (k; i)(τ ) を, 行列 (4) の, 行 u≤k {1, · · · , d}, 列 v>k {1, · · · , d} で作られる小行列式として定める
定義 5.3. ∆
ことにする.
定義 5.4. Dominant weight λ と, ワイル群の元 u, v ∈ W に対し, Double Demazure crystal Bu,v (λ) を
Bu,v (λ) := B + (λ)u ∩ B − (λ)v
で定める.
Zd 上の半順序 ≤ を, a = (a1 , · · · , ad ), b = (b1 , · · · , bd ) に対し,
a ≤ b ⇔ ai ≤ bi , f or all i
で定める. m0 := min(mv , m′ ), α := (1, 2, · · · , d), β := (m0 + 1, m0 + 2, · · · , m0 + d) とおくとき, 次が成
り立つ.
定理 5.5. ik = d, (1 ≤ k ≤ nu ) とする. 各 ξ ∈ Zd , (α ≤ ξ ≤ β) に対し, ある dominant weights λξ , λ′ξ と,
uξ , vξ ∈ W (uξ ≤ u, vξ ≤ v) と, Zξ ∈ Y, そして埋め込み M : Bv−1 ,vξ (λξ ) → Y, M ′ : Bu≤k ,uξ (λ′ξ ) → Y
が存在し,
∑
ˆ L (k; i)(τ ) =
∆
(
α≤ξ≤β
∑
M (x))Zξ (
x∈Bv−1 ,v (λξ )
ξ
∑
M ′ (y))
y∈Bu≤k ,uξ (λ′ξ )
となる.
ˆ L (k; i)(τ ) に適当に変数変換を施すことで, 得ることができる.
定理 5.6. ∆G (k; i)(a, t), ∆L (k; i)(τ ) は, ∆
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