3回目 - 佐藤(邦)

平成 26 年度数学Ｃ演習３
（ H26.
担当佐藤邦）
（次回の講義開始時に回収します。
解以外の途中の計算等も余白に書くこと。）
問１
次の複素数を x + i y の形で表せ。 ⃝
(3 + 7 i) − (5 i − 4)
1
⃝
(2 − 3 i) (4 + i)
2
⃝
(3 + 5 i) (3 i − 2)
3
⃝
4
学籍番号
氏名
3 − 5i
2 + 3i
=
= 3 + 7i − 5i + 4 = 7 + 2i
⃝
1
7 + 2i
⃝
2
11 − 10 i
⃝
3
9 − 19 i
9
19
−
i
13 13
= 8 − 12 i + 2 i + 3 = 11 − 10 i
= (3 + 5 i) (−3 i − 2) = −9 i + 15 − 6 − 10 i = 9 − 19 i
(3 − 5 i)(2 − 3 i)
6 − 10 i − 9 i − 15
−9 − 19 i
9
19
=
=
=− −
i
(2 + 3 i)(2 − 3 i)
4+9
13
13 13
⃝
4
⃝
5
⃝
6
⃝
7
問２
i.
4 + 2i
3 − 5i
7 + 3i
4 − 5i
4 − 2i
(4 − 2 i)(3 + 5 i)
12 − 6 i + 20 i + 10
22 + 14 i
11
7
=
=
=
=
+
i
3 − 5i
(3 − 5 i)(3 + 5 i)
9 + 25
34
17 17
11
7
⃝
+
i
5
17 17
−2 + 3 i
(−2 + 3 i)(2 + i)
−4 + 6 i − 2 i − 3
−7 + 4 i
7 4
=
=
=
=
=− + i
2−i
(2 − i)(2 + i)
4+1
5
5 5
7 4
⃝
− + i
6
5 5
=
3i − 2
i+2
(
−
)
=
−5
i.
ii.
6e
√
√
(
5 )
3
1)
5
+i
= 6 cos π + i sin π = 6 −
= −3 3 + 3 i
6
6
2
2
iv.
5
3 e3π i
4 e− 4 π i
29
15
v.
e 2 πi
2+i
(
√
3 + 3i
√
3 3 3
+
i
2
2
iv.
√
√
−2 2 + 2 2 i
v.
1 2
− − i
5 5
ii.
iii.
7 − 3i
(7 − 3 i)(4 − 5 i)
28 − 12 i − 35 i − 15
13 − 47 i
13 47
=
=
=
=
−
i
4 + 5i
(4 + 5 i)(4 − 5 i)
16 + 25
41
41 41
13 47
⃝
−
i
7
41 41
次の複素数を x + i y の形で表せ。 (
)
(
)
5 e3π i
= 5 cos 3π + i sin 3π = 5 − 1 + i 0 = −5
5
πi
6
(
5
1
1 )
1
= 3 e− 3 π i = 3 e 3 π i = 3 cos π + i sin π 3
√ )
√ 3
(1
3
3 3 3
=3
+i
= +
i
2
2
2
2
{
}
(
3
3
3 )
−8π i+ 43 π i
= 4e
= 4 e 4 π i = 4 cos π + i sin π 4
4
√
√
√
√
(
2
2)
=4 −
+i
= −2 2 + 2 2 i
2
2
{
}
3
6 π+ 23 π i
cos 32 π + i sin 32 π
e
e2π i
0 + i (−1)
=
=
=
=
2+i
2+i
2+i
2+i
2
−i (2 − i)
−2 i + i
−2 i − 1
2
1
=
=
=
=− i−
← 訂正
(2 + i)(2 − i)
4+1
4+1
5
5
iii.
−3
(
)
次の複素数 z を r cos θ + i sin θ の形の極形式で表せ。
√
(イ) z = 1 − 3 i
√
√
(1
3 )
π)
5 (
r = |z| = 1 + 3 = 2 , z = 2 −
i より θ = π = −
2 (2
3
3
(
5
5 ) (
π
π) )
z = 2 cos π + i sin π ,
= 2 cos − i sin
3
3
3
3
√
3 + 3i
√
(ロ) z =
2 2
√
√
√
√ (√
9 3
12
3
3
3 1 )
π
r = |z| =
+ =
=
, z=
+ i より θ =
8
2
2 2
2
6
√ ( 8 8
3
π
π)
z=
cos + i sin
2
6
6
問３
(イ)
(
5 )
5
2 cos π + i sin π
3
3
√ (
3
π
π)
(ロ)
cos + i sin
2
6
6
√
(
√
√ (
3
5π
5π ) )
3
(ハ) z =
i− √
出題ミス 2 → 2, もしそうなら z = 3 cos
+ i sin
2
6
6 √
2 √
√
√
√
√
(
)
3 9
21
21
21
1
6
1
6
r = |z| =
+ =
=
, z=
−√ +
i より cos α = − √ cos α =
と置くと
4
2
2
7
7
7
7
√ ( 4 2
)
√ (
21
)
z=
cos α + i sin α
21
cos α + i sin α
(ハ)
2
2
√
√
12
12
12 (1 + 3 i)
3 (1 + 3 i)
√
√
= √
(ニ) z = √
= √
=
√
2 (1 − 3 i)
2 (1 + 3)
2
2 + 6i
√
√
√
√
√ (1
9 27
36 √
3 )
π
r = |z| =
+
=
= 18 = 3 2 , z = 3 2 +
i より θ =
2
2
2
3
√ ( 2π 2
π)
√ (
z = 3 2 cos + i sin
π
π)
3
3
(ニ)
3 2 cos + i sin
3
3
問４
次の複素数 z を reiθ の形の極形式で表せ。
√
√
⃝
A z = 6 + 6i
√
√
√
√
√ ( 2
√
2 )
π
r = |z| = 6 + 6 = 12 = 2 3 , z = 2 3
+
i より θ =
2
2
4
√
√
3i
1
3
⃝
=− −
i
B z = −
2
6
√6
√
√
3
1
1
9+3
12
+
=
=
=√ ,
r = |z| =
4 36
36
36
3
√ π
∴ z = 2 3e4 i
⃝
A
√ π
2 3e4 i
3+
√
7
1 7
1 (
3 1 )
− i より θ = π ∴ z = √ e 6 π i
z=√ −
2
2
6
3
3
√
3 7 πi
⃝
e6
B
3
√
√
3
3 (1 − 3 i)
3 3 3
√
⃝
=
= −
i
C z =
1+3
4
4
1 + 3i
√
√
√
27
6
3
3(1
5
3 5 (
3 π )
9
36
3 )
+
=
= = , z=
−
i より θ = π ∴ z = e 3 π i
= e− 3 i
r = |z| =
16 16
16
4
2
2 2
2
3
2
2
⃝
C
3 −π i
e 3
2
⃝
D
6 e4 π i
√
√
√
√
√
√
6 2
6 2
6 2
6 2 (1 − i)
⃝
=
=−
=−
= −3 2 + 3 2 i
D z =
−i − 1
1+i
1+1
i−1
√
√
√
√
(
3
3
2
2 )
r = |z| = 18 + 18 = 36 = 6 , z = 6 −
+
i より θ = π ∴ z = 6 e 4 π i
2
2
4
3

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